高中数学笔记总结高一至高三很全.docx
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高中数学笔记总结高一至高三很全
高中数学第一章-集合
①任何一个集合是它本身的子集，记为AA；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果AB，同时BA，那么A=B.
如果AB，BC，那么AC.
Z={全体整数}（×）
sA={0}）
3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的点集.
4.①n个元素的子集有2n个
有2n－2个.
.②n个元素的真子集有2n
③n个元素的非空真子集
.否命题逆命题.
.原命题逆否命题.
②x1且y2，
xy3,故
补：
CUA{xU,且xA}
（2）等价关系：
AB
0）
的解可以根据各区间的符号确
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；
由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为
真，其他情况时为假；
（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为否命题
若┐p则┐q
假，其他情况时为真．
（原命题逆否命题）
高中数学第二章-函数
§02.函数知识要点
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为
这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才
是同一函数.
y=f（x）的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数
（2）f（x）
f（x）
4．如果f（x）是偶函数，则
f（|x|），反之亦成立。
时有意义，则
⑴偶函数：
f（x）f（x）
a,b）也是图象上一点.
②满足f（x）f（x），或f（x）f（x）0，若f（x）0时，
⑵奇函数：
f（x）
a,b）也是图象上一点.
在[1,1）上不是奇函数.
②满足f（x）
例如：
已知函数f（x）=1+
解：
f（x）的值域是f（f（x））的定义域B，f（x）的值域R，故BR，而Ax|x1，故BA.
2x1|→|y|关于x轴对称.
定义域{x|x3,xR}
值域{y|y2,yR}→值域x前的系数之比.
指数函数ya（a0a1）的图象和性质
（）过定点（，），即
3
log（MN）logMlogaN
（以上M0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1,a,a...a0且1）
且M0时，
M0，故取
“—”.
（a0,a1）
与y
互为反函数.
当a1时，
yloagx的
a值越大，越
靠近x轴；当
在（0，+∞）上是减函数
log（MN）logMlogN
注⑴：
当a,b0时，log（ab）log（a）log（b）.
⑵：
当
0时，取“+”，当n是偶数时且M0时，M
（a0,a1）与ylogax互为反函数
大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等
f（-x）与f（x）之间的关
为偶；f（x）+f（-x）=0
系：
①f（-x）=f（x）
§03.数列知识要点
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前n项和
anan1d；a
apaq（m,n,p,qN*,mnpq）
a=a+（n-1）d=a+（n-k）d=dn+a-da
a（1q）aaq
1
若m+n=p+q则aman
{a}若{kn}
①anan1d（n2,d为常数）
③anknb（n,k
ac，是a、b、c成等比的双非条件，即
a、b、c等比数列.
ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
ac→为a、b、c等比数列的必要不充分.
ac且ac0→为a、b、c等比数列的充要.
注意：
任意两数a、c不一定有等比中项，除非有
③ancqn（c,q
）.
loga（
⑷数列{}
a的前项和S与通项a的关系：
[注]：
①ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列
项和SnAn2Bn
2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k倍S,S
③若等差数列的项数为2n1nN
代入n到2n1得到所求项数.
an10n1；5，55，555，⋯
4.等比数列的前n项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量
成等比数列，公比为1r.其中第n年产量为a（1r）n1，且过n年后总产量为：
a元，利息为r，每月利息按复
利计算，则每月的a元过n个月后便成为a（1r）
⑶分期付款应用题：
a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.
5.数列常见的几种形式：
（p、q为二阶常数）
x2对应a，对应a），并设二根x,x②若xx
；③由初始值a,a确定c,c
1212
an；④
accP
n12
（公式法），c,c由a,a
1212
⑴等差数列的前n项和为
S，在d0时，有最大值如何确定使S取最大值时的n值，有两
an10，成立的n值；二是由
求此数列前n项和可依照
等比数列前n项和的推倒导方法：
错位相减求和
.例如：
1,3,...（2n1）
）为同一常数。
（2）通项公式法。
（3）中项公式法:
验证
aa）nN都成立。
nn2
3.在等差数列｛a｝中,有关S的最值问题：
（1）当>0,d<0时，满足
.
（2）a<0,d>0
的项数m使得sm
取最小值。
在解含绝对值
3.错位相减法:
适用于anbn
bn
是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法:
类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
4）123
n（n2）2nn2
高中数学第四章-三角函数
arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．
§04.三角函数知识要点
（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角
SINCOS三角函数值大小关系图
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在区域
°≈57.30°=57°18ˊ．
16.几个重要结论:
tan
tan
3,tan75
kZ）
sinx与ysinx的单调性正好相反；y
注意：
①y
一般地，若yf（x）在[a,b]上递增（减），则y
f（x）在[a,b]上递减（增）.
③ysin（x
④ysin（x
）的对称轴方程是xk
（kZ），对称中心（k,0）；
称轴方程是xk（kZ），对称中心（
）；yan（t
）的对称中心（
⑤当tan·tan
⑥ycosx与
（kZ）.
是同一函数,而y（x
⑦函数ytanx在R上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调递增
ytanx为增函数，同样也是错误的].
f（x）具有奇偶性的必要不充分条件
.例如：
ytanx是奇函数，
为周期函数（T
ysinx
为周期函数（T
f（x）5f（xk）,kR.
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.
||，相位x;初相（即
2
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当
＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A
替换y）
|A|＞1）或缩短（当0＜|A|
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）
到原来的|1|倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．（用ωx替
高中数学第五章-平面向量
.
（2）向量的表示：
几何表示法
坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
（3）向量的长度：
即向量的大小，记作｜a｜.
｜a｜＝O.
｜aO｜＝1.
（4）特殊的向量：
零向量a＝O
（ｘ，ｙ）＝（ｘ，ｙ）
1122
（7）平行向量（共线向量）：
方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为
共线向量.
（ab）ca（bc）
aba（b）
ABBA,OBOAAB
ab（xx,yy）
1212
是一个向量,满
足:
|a||||a|
2.>0时,a与a同向;
<0时,a与a异向;
（a）ba（b）（ab）
（ab）cacbc
a|a|即|a|=xy
λ，使a＝λe＋λe.
（2）两个向量平行的充要条件
a∥ba＝λb（b≠0）xy－xy＝O.
（3）两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b＝Oxx＋yy＝O.
（4）线段的定比分点公式
设点P分有向线段
OP2（线段的定比分点的向量公式
（线段定比分点的坐标公式）
OP＝（OP＋OP）或
设点P（x，y）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），
则OP＝OP+a或
曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：
余弦定理：
a＝b＋c－2bccosA，
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为h，h，h，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA
⑤S△=PPaPbPc
⑥S=1/2（b+c-a）r[如下图]=1/2b+a-cr=1/2a+c-br
（）（）
acb
4个，一个是内心，其余
图2中的I为SABC的一个旁心，S=1/2（b+c-a）ra
△△
特例：
已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径
证明：
因为AB
C,所以tanAB
C，结论！
BD22ABBDcosB
证明：
在△ABCD中，由余弦定理，有AD
BDDC（斯德瓦定理）
①若AD是BC上的中线，ma
bcppa，其中p为半周B长；
运算律：
⑴加法交换律：
abba
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
ab
的充要条件是存在实数λ，
P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式
l
叫做直线的方向向量.
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：
空间任意的两向量都是共面的
6．共面向量定理：
x,y，使
MPxMAyMB或对空间任一点
①式叫做平面MAB的向量表达式
7．空间向量基本定理：
推论：
设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点
P，都存在唯一的三个
有序实数x,y,z，使OPxOAyOBzOC
8空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量a,b，在空间任取一点
O，作OAaOB,b
，显然有a,b
的夹角，记作a,b；且规定0
10．向量的数量积：
ab|a||b|cosa,b．
A在l上的射影A，作
点B在上的射影
可以证明AB的长度|AB||AB|cosa,e|ae|．
11．空间向量数量积的性质：
（1）（a）b
（交换律）（3）a（bc）abac
x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为
ab（ab,ab,ab）
R）abababa3b3
②利用法向量求二面角的平面角定理：
设n1,n
③证直线和平面平行定理：
已知直线a
平面，ABa,CD
使ABCDCE.（常设AB
（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
§06.不等式知识要点
（1）ab
ba（对称性）
（传递性）
（3）ab
acbc（加法单调性）
acbd（同向不等式相加）
acbd（异向不等式相减）
acbc
（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）
（12）a
nb（nZ,且n1）（开方法则）
一正、二定、三相等.
abc
（4）若a、b、cR,则
ba
（5）若ab0,则
ab2ab
ab2ab
幂平均不等式：
aa
注：
例如：
（acbd）
（ab）（cd）.
○3f（x）g（x）
②yx（1x2）
类似于ysinxcosxsinx（1sinx）
||x|||（x）2
与同号，故取等
高中数学第七章-直线和圆的方程
§07.直线和圆的方程知识要点
1.直线的倾斜角：
一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，
x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是
90或x2x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在
除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有
（a,0）,（0,b），即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b（a0,b0）时，
ykxb，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的
直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，
kk两条直线平行的条件是：
①
l和l是两条不重合的直线.②在l和l的斜率都
1212
存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.
l,l，它们在轴上的纵截距是b,b，则l∥l
l,l的倾斜角为,
0，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存
l到l的角（方向角）；直线l到l的角，是指直线l绕交点依逆时针方向旋转到与
l与l的夹角：
两条相交直线l与l的夹角，是指由l与l相交所成的四个
l和l所成的角，它的取值范围是
90，则有
）0（
AxByC为
1.两点P（x,y）、P（x,y）的距离公式：
|PP|
特例：
点P（x,y）到原点O的距离：
|OP|
定比分点坐标分式。
若点P（x,y）分有向线段
PP所成的比为即PP
ktan
＜180°）、斜率:
4.过两点P（x,y）,P（x,y）
的直线的斜率公式：
3.过定点（x1,y1）的直线系方程是：
A（x-x1）+B（y-y1）=0（A,B不全为0）
⑵关于某直线对称的两条直线性质：
若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称
点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点
注：
①曲线、直线关于一直线（xb）对称的解法：
y换x，x换y.例：
曲线f（x,y）=0关
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）
⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M（x,y）其坐标与方程f（x,y）0的一种关系，
曲线上任一点（x,y）是方程f（x,y）0的解；反过来，满足方程
线上的点.
f（x,y）0的解所对应的点是曲
2.圆的标准方程：
以点C（a,b）为圆心，r为半径的圆的标准方程是
特例：
圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：
xyr.
a,圆心（a,b）或（a,b）]
表示圆的充要条件是：
M（x,y）及圆C:
（xa）（yb）r.
00
（xa）（yb）r
00
（xa）（yb）r
00
AxByC0（A2B20）
直线l：
；
（xa）（yb）r（r0）
圆心C（a,b）到直线l的距离
①dr时，l与C相切；
C:
xyDxEyF0
有两个交点，则其公共弦方程为（
OO的连线的中与线方程
用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，
注：
若两圆为同心圆则xyDxEyF0
xyDxEyF0
2
上一点（,）
Pxy的切线方程为：
b）=R2.
特别地，过圆xyr
①一般方程若点（x,y）
byk（ax），联立求出k
0不在圆上，圆心为
（xx）（xa）（yy）（xb）k⋯②
2）方程f（x,y）=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。
则称方程f（x,y）=0为曲线C的方程，
曲线C叫做方程f（x,y）=0的曲线。
FF方程为椭圆,
12
i.中心在原点，焦点在
.ii.中心在原点，焦点在
0）
Ax2By21（A0,B0）.③椭圆的标准参数方程：
1的参数方程为
⑵①顶点：
（a,0）（0,b）或（0,a）（b,0）.②轴：
对称轴：
x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③
焦点：
（c,0）（c,0）或（0,c）（0,c）.④焦距：
F1F
（0e1）.⑦焦点半径：
i.设P（x,y）为椭圆
1（ab0）上的一点，F,F为左、右焦点P，F则aex,PF
2
ii.设P（x,y）为椭圆
b2），方程
t（t是大于0的参数，ab0）的离心率也是e
1上的点.
F,F为焦点，若FPF
，则PFF的面积为
N的轨迹是椭圆
⑵①i.焦点在x轴上：
顶点：
（a,0）,（a,0）
焦点：
（c,0）,（c,0）
ii.焦点在y轴上：
顶点：
（0,a）,（0,a）.焦点：
（0,c）,（0,c）.准线方程：
y
0，参数方程：
⑤参数关系c2a2b2,e
1（F,F分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
⑷共轭双曲线：
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭
0）的渐近线方程为x
0如果双曲线的渐
1，则常用结论1：
P到焦点的距离为m=n，则P到两准线的距离
F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.
.例如：
椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关
．到两定点
离之差的绝对值为定值
2a（2a>|F1F2|）的点的轨2a（0<2a<|F1F2|）的点的
（a,0）,（─a,0）,（0,b）,
（0,─b）
③若直线a、b异面，a平行于平面
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）
2.异面直线判定定理：
过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面
直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
0,90）
0,90）
推论：
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）
5.两异面直线的距离：
公垂线的长度
空间两条直线垂直的情况：
相交（共面）垂直和异面垂直
l,l是异面直线，则过l,l外一点P，过点P且与l,l都平行平面有一个或没有，但与
离相等的点在同一平面内.（L
与L平行的平面）
2
[注]：
①直线a与平面内一条直线平行，则a∥.（×）（平面外一条直线）
②直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交.（×）（平面外一条直线）
平行，则内必存在无数条直线与a平行.（√）（不是任意一条直线，
⑦直线l与平面
3.直线和平面平行性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平
面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）
所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）
若PA⊥，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），
得不出⊥PO.因为a⊥PO，但PO不垂直OA.
等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段
射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短
[注]：
垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]
两个平面垂直性质判定二：
如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于
2mncos（为锐角取加，
⑴①直棱柱侧面积：
SCh
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