一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案.docx

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一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案

一、选择题

1、设、是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，则（   ）

A．      B．      C．         D．

2、下列命题：

①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（　　）

Ａ．只有①②③      Ｂ．只有①③④    Ｃ．只有①④        Ｄ．只有②③④

3、若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（   ）

A．有最大值    B．有最大值－C．有最小值   D．有最小值－

4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：

①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）

A．

3个

B．

2个

C．

1个

D．

0个

5、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（   ）

A．1    B．12       C．13     D．25

二、填空题

6、设、是方程的两根，则代数式=         。

7、已知关于一元二次方程有一根是，则     。

三、计算题

8、已知：

关于的方程

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是，求另一个根及值．

9、解方程：

四、综合题

10、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.

11、如图：

抛物线与轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与轴交于点C．

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式。

12、已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4.

（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数.

（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且+=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式.

13、如图，已知点，直线交轴于点，交轴于点 

（1）求对称轴平行于轴，且过三点的抛物线解析式；

（2）若直线平分∠ABC，求直线的解析式；

（3）若直线产（>0）交

（1）中抛物线于两点，问：

为何值时，以为边的正方形的面积为9？

14、如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结，是线段上一动点，以为一边向右侧作正方形，连结，交于点．

（1）试判断的形状，并说明理由；

（2）求证：

；

（3）连结，记的面积为，的面积为，若，试探究的最小值．

15、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3．

（1）求抛物线所对应的函数解析式；

（2）求△ABD的面积；

（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？

请说明理由．

五、简答题

16、已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边的长是． 

（1）为何值时，是以为斜边的直角三角形；

（2）为何值时，是等腰三角形，并求的周长

17、已知关于的一元二次方程：

．

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；

（3）在

（2）的条件下，结合函数的图象回答：

当自变量的取值范围满足什么条件时，．

18、已知抛物线y=ax2－x+c经过点Q（－2，），且它的顶点P的横坐标为－1．设抛物线与x轴相交于A、B两点，如图．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求A、B两点的坐标；

（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．

19、如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点.

点P是x轴上的一个动点.

（1）求此抛物线的解析式.  

（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．

20、已知二次函数的部分图象如图7所示，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线.

（1）若，求的值；

（2）若实数，比较与的大小，并说明理由.

参考答案

一、选择题

1、C

2、B

3、B

4、考点：

二次函数图象与系数的关系。

分析：

首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=﹣，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＞0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用b﹣2a=0时，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，得出8a+c＞0．

解答：

解：

根据图象可得：

a＞0，c＞0，

对称轴：

x=﹣＞0，

①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），

∴对称轴是x=1，

∴﹣=1，

∴b+2a=0，

故①错误；

②∵a＞0，

∴b＜0，

∴abc＜0，故②正确；

③a﹣2b+4c＜0；

∵b+2a=0，

∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c，

∵a﹣b+c=0，

∴4a﹣4b+4c=0，

∴﹣4b+4c=﹣4a，

∵a＞0，

∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0，

故此选项正确；

④根据图示知，当x=4时，y＞0，

∴16a+4b+c＞0，

由①知，b=﹣2a，

∴8a+c＞0；

故④正确；

故正确为：

①②③三个．

故选：

A．

点评：

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：

左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．

5、C

二、填空题

6、1

7、4

三、计算题

8、解：

（1），

，

无论取何值，，所以，即，

方程有两个不相等的实数根．

（2）设的另一个根为，

则，，解得：

，，

的另一个根为，的值为1．15．

9、解：

由题意得：

           由方程

（2）得：

代人

（1）式得

          解得，或．

代人得或

四、综合题

10、设方程的两个根为，其中为整数，且≤，

则方程的两根为，由题意得

，      ………………………………5分

两式相加，得，即， 

所以， 或           ………………………………10分

   解得 或

又因为  

所以；或者，

故，或29.        ………………………………………………20分

11、解：

（1）对称轴是，

∵点A（1，0）且点A、B关于x=2对称，

∴点B（3，0）；

（2）点A（1，0），B（3，0），

∴AB=2，

∵CP⊥对称轴于P，

∴CP∥AB，

∵对称轴是x=2，

∴AB∥CP且AB=CP，

∴四边形ABPC是平行四边形，

设点C（0，x）（x＜0），

在Rt△AOC中，AC=，

∴BP=，

在Rt△BOC中，BC=，

∵，

∴BD=，

∵∠BPD=∠PCB且∠PBD=∠CBP，

∴△BPD∽△BCP，

∴BP2=BD•BC，

即=

∴，

∵点C在y轴的负半轴上，

∴点C（0，），

∴y=ax2-4ax-3，

∵过点（1，0），

∴a-4a-3=0，

解得：

a=．

∴解析式是：

12、解：

（1）令y=0，得：

x2-（2m-1）x+m2+3m+4=0

△=（2m-1）2-4（m2+3m+4）=-16m-15

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m-15＞0

∴m＜-

此时，y的图象与x轴有两个交点

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0

∴m=-

此时，y的图象与x轴只有一个交点

当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0

∴m＞-

此时，y的图象与x轴没有交点

∴当m＜-时，y的图象与x轴有两个交点；

当m=-时，y的图象与x轴只有一个交点；

当m＞-时，y的图象与x轴没有交点.

（评分时，考生未作结论不扣分）

（2）由根与系数的关系得x1+x2=2m-1，x1x2=m2+3m+4

+=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2+3m+4）=2m2-10m-7

∵+=5，∴2m2-10m-7=5，∴m2-5m-6=0

解得：

m1=6，m2=-1

∵m＜-，∴m=-1

∴y=x2+3x+2

令x=0，得y=2，∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2）

又y=x2+3x+2=（x+）2-，∴顶点M的坐标为（-，-）

设过C（0，2）与M（-，-）的直线解析式为y=kx+b

则2=b                    k=

-=k+b，b=2

∴所求的解析式为y=x+2

13、解：

（1）直线交轴于点，交轴于点。

由此，得点坐标为，点坐标为。

由于抛物线过，，

故可设抛物线解析式为。

∵抛物线过点，∴，∴

∴抛物线解析式为，即。

（2）过点作，交直线于点

∵平分，∴

∴，∴点坐标为

设的解析式为，∴

解这个方程组，得

∴直线的解析式为。

（3）设两点的横坐标分别为

由题意知，是方程，即的两根，

则

∵

∴，∴时，以EF为边的正方形的面积为9。

14、

（1）令，得，         

   令，得，

   ，

（２）如图，，是正方形

            ，

            ，          

（３），        

              ∽

，   设， 则， 

，           

＝

∴当时，有最小值7                                    

15、考点：

二次函数综合题。

专题：

代数几何综合题。

分析：

（1）在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式．

（2）根据

（1）的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积．

（3）首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可．

解答：

解：

（1）∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，

∴点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，3）．

把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c中，

得，

解得，

∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3；

（2）∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，

∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），

∴△ABD中AB边的高为4，

令y＝0，得