届高考数学考点突破测试题4 精品推荐.docx

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届高考数学考点突破测试题4精品推荐

专题检测卷（三）　三角函数与解三角形、平面向量

（时间180分钟，满分180分）

一、选择题（本大题共18小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2018·中山模拟）在△ABC中，C＝180°，tanA＋tanB＝，则tanA·tanB的值为

A.　　　　　　　　　　B.

C.D.

【解析】　∵C＝180°，

∴tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tanC＝－tan180°＝.

又∵tan（A＋B）＝，

∴＝.

∴1－tanAtanB＝，tanAtanB＝.

【答案】　B

2．（2018·湖南）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于

A．－18B．－8

C．8D．18

【解析】　·＝||·||·cos∠A＝||·||·＝||2＝18.

【答案】　D

3．（2018·银川模拟）已知cos＋sinα＝，则sin的值是

A．－B.

C．－D.

【解析】　∵cos＋sinα＝，

∴sinα＋cosα＝，sin＝.

∴sin＝－sin＝－.

【答案】　C

4．（2018·福建龙岩一检）设向量a＝（cos55°，sin55°），b＝（cos25°，sin25°），若t是实数，则|a－tb|的最小值为

A.B.

C．1D.

【解析】　∵|a|＝1，|b|＝1，〈a，b〉＝30°，

∴|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝t2－t＋1.

当t＝时|a－tb|2取到最小值，

∴|a－tb|的最小值为.

【答案】　B

5．（2018·衡水模拟）设函数f（x）＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′

（1）的取值范围是

A．[－2,2]B．[，]

C．[，2]D．[，2]

【解析】　由已知得：

f′（x）＝sinθx2＋cosθx，

∴f′

（1）＝sinθ＋cosθ＝2sin，

又∵θ∈，∴≤θ＋≤.

∴≤sin≤1，∴≤f′

（1）≤2.

【答案】　D

6．（2018·山东青岛二模）将奇函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，－＜φ＜）的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为

A．2B．3

C．4D．6

【解析】　因为函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）是奇函数，所以φ＝kπ，k∈Z.

又因为－＜φ＜，所以φ＝0.

将函数f（x）＝Asinωx（A≠0，ω＞0）的图象向左平移个单位得到f（x）＝Asin，

该函数仍是奇函数，

所以＝kπ，ω＝6k，k∈Z，ω的值可以为6.

【答案】　D

7．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC的形状是

A．三边均不相等的三角形B．直角三角形

C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形

【解析】　首先我们注意到向量表示的正好是方向上的单位向量，因此由向量加法的平行四边形法则容易知道向量＋在∠BAC的角平分线上，于是由·＝0可见∠BAC的角平分线与其对边BC垂直，由此得到三角形必为等腰三角形．再者，由·＝可得·cos∠BAC＝⇒cos∠BAC＝⇒∠BAC＝60°，

所以三角形ABC应为等边三角形．

【答案】　D

8．（2018·辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于

A.B.

C.D.

【解析】　a·b＝|a||b|cosθ⇒cosθ＝，

则S＝|a||b|sinθ＝|a||b|＝，选C.

【答案】　C

9．（2018·黄岗模拟）已知函数f（x）＝Asin（A＞0）在x＝时取最小值，则函数y＝f是

A．奇函数且在x＝时取得最大值B．偶函数且图象关于点（π，0）对称

C．奇函数且在x＝时取得最小值D．偶函数且图象关于点对称

【解析】　∵f（x）＝Asin（x＋φ）（A＞0）在x＝时取最小值，

∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，

f（x）＝Asin＝Asin，

∴y＝f＝Asin＝Asin（2π－x）＝－Asinx.

因此，该函数为奇函数，在x＝时取最小值－A（A＞0）．

【答案】　C

18．已知cos＝，α∈，则等于

A.B.

C.D.

【解析】　∵0＜α＜，∴0＜－α＜.

又∵cos＝，

∴sin＝＝＝，

cos2α＝sin＝sin2＝2sincos＝2××＝，

sin＝cos＝cos＝，

∴＝＝×＝.

【答案】　D

18．（2018·青岛模拟）设函数f（x）＝sin，则下列结论正确的是

A．f（x）的图象关于直线x＝对称

B．f（x）的图象关于点对称

C．把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象

D．f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数

【解析】　∵令2x＋＝kπ＋，k∈Z，

即x＝＋（k∈Z），∴A选项错误，

又∵令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－（k∈Z），

∴B选项错误，

又∵f（x）＝sin

y＝sin＝sin＝cos2x，

∴选项C正确．

当x∈时，2x＋∈，

∴函数f（x）＝sin在上先增后减，

∴选项D错误．

【答案】　C

18．（2018·全国Ⅰ）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为

A．－4＋B．－3＋

C．－4＋2D．－3＋2

【解析】　如图，设∠APO＝θ，

·＝||2·cos2θ＝||2·（1－2sin2θ）

＝（|OP|2－1）（1－2·）＝|OP|2＋－3≥2－3，

当且仅当|OP|2＝，

即|OP|＝时，“＝”成立

【答案】　D

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计18分．把答案填在题中的横线上）

18．（2018·东城二检）将函数f（x）＝2sin图象上每一个点的横坐标扩大为原来的2倍，所得图象所对应的函数解析式为________；若将f（x）的图象沿x轴向左平移m个单位（m＞0），所得函数的图象关于y轴对称，则m的最小值为________．

【解析】　依题意知，f（x）＝2sin图象上每点的横坐标扩大为原来的2倍，所得图象的解析式为y＝2sin.

如果f（x）的图象沿x轴向左平移m（m＞0）个单位得：

y＝2sin，

又∵其图象关于y轴对称，∴＋2m＝kπ＋（k∈Z），

∴m＝＋（k∈Z），当k＝0时，m有最小值.

【答案】　y＝sin　

18．（2018·山东）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．

【解析】　∵sinB＋cosB＝，∴sin＝1.

又0＜B＜π，∴B＝.

由正弦定理，知＝，∴sinA＝.

又a＜b，∴A＜B，∴A＝.

【答案】　

18．（2018·北京）在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝________.

【解析】　由正弦定理＝，

即＝，sinB＝.又b＜c，∴B＝.∴A＝.∴a＝1.

【答案】　1

18．（2018·南京模拟）如图，正方形ABCD中，已知AB＝2，若N为正方形内（含边界）任意一点，则·的最大值是________．

【解析】　设，的夹角为θ.

·＝||·||·cosθ＝2||·cosθ.

由图可知，||·cosθ的最大值即为||.

∴·的最大值为2×2＝4.

【答案】　4

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（18分）（2018·重庆）设函数f（x）＝cos＋2cos2，x∈R.

（1）求f（x）的值域；

（2）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（B）＝1，b＝1，c＝，求a的值．

【解析】　

（1）f（x）＝cosxcosπ－sinxsinπ＋cosx＋1＝－cosx－sinx＋cosx＋1

＝cosx－sinx＋1＝sin＋1，

因此f（x）的值域为[0,2]．

（2）由f（B）＝1得sin＋1＝1，

即sin＝0，又因0＜B＜π，故B＝.

解法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，

得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或2.

解法二　由正弦定理＝，

得sinC＝，C＝或.当C＝时，

A＝，从而a＝＝2；

当C＝π时，A＝，又B＝，

从而a＝b＝1.

故a的值为1或2.

【答案】　

（1）[0,2]　

（2）a的值为1或2

18．（18分）（2018·安徽）设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sinsin＋sin2B.

（1）求角A的值；

（2）若·＝18，a＝2，求b，c（其中b＜c）．

【解析】　

（1）因为sin2A＝

＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝，

所以sinA＝±.

又A为锐角，所以A＝.

（2）由·＝18可得cbcosA＝18.①

由

（1）知A＝，所以cb＝24.②

由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝2及①代入，得c2＋b2＝52，③

③＋②×2，得（c＋b）2＝180，

所以c＋b＝18.

因此c，b是一元二次方程t2－18t＋24＝0的两个根．

解此方程并由c＞b知c＝6，b＝4.

【答案】　

（1）A＝　

（2）c＝6，b＝4

19．（18分）（2018·临沂二检）如图，已知△ABC中，|AC|＝1，∠ABC＝，∠BAC＝θ，记f（θ）＝·.

（1）求f（θ）关于θ的表达式；

（2）求f（θ）的值域．

【解析】　

（1）由正弦定理，

得＝＝，∴|BC|＝＝sinθ，

|AB|＝＝sin.

∴f（θ）＝·＝||·||cos＝sinθ·sin·

＝sinθ＝sin2θ＋cos2θ－

＝sin－.

（2）由0＜θ＜，得＜2θ＋＜.

∴＜sin≤1.∴0＜sin－≤，

即f（θ）的值域为.

【答案】　

（1）f（θ）＝sin－

（2）

20．（18分）（2018·泰州三模）已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝（2sinα，5sinα－4cosα），α∈，且a⊥b.

（1）求tanα的值；

（2）求cos的值．

【解析】　

（1）∵a⊥b，∴a·b＝0.

而a＝（3sinα，cosα），b＝（2sinα，5sinα－4cosα），

故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，

即＝0.

由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.

解之，得tanα＝－，或tanα＝.

∵α∈，tanα＜0，故tanα＝（舍去）．

∴tanα＝－.

（2）∵α∈，∴∈.

由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（舍去）．

∴sin＝，cos＝－，

cos＝coscos－sinsin

＝－×－×＝－.

【答案】　

（1）－　

（2）－

21．（18分）（2018·福州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝（sinA，b＋c），q＝（a－c，sinC－sinB），满足|p＋q|＝|p－q|.

（1）求角B的大小；

（2）设m＝，n＝（2k，cos2A）（k＞1），m·n有最大值为3，求k的值．

【