第十一章《三角形》导学案.docx

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第十一章《三角形》导学案

第十一章三角形

（1）11.1.1三角形的边姓名

学习目标：

1、明确三角形的相关概念；能正确对三角形进行分类；

2、能利用三角形三边关系进行有关计算。

一自主学习

三角形的有关概念——自学课本第1页，回答以下问题：

1.三角形概念：

由不在同一直线上的条线段连接所组成的图形。

2.三角形ABC的三条边分别为AB，，；或

，、；

3.三角形ABC的顶点分别为A、、；

4.三角形ABC的内角分别为∠ABC，，；

5.三角形的表示法（如图1）三角形ABC可表示为：

；

6.顶点A的对边是，顶点B的对边是，顶点C的对边是。

专项训练：

（1）下图中共有个三角形，它们分别是：

__________________________

（2）以AB为边的三角形有；

以E为顶点的三角形有；以∠D为角的三角形有；

（3）△BCD的三边分别是:

________________，

三个角分别是：

__________________

三个顶点分别是：

________________

其中顶点C的对边是：

_________，

∠D是由_____和______两边组成的内角

二、探究学习

1.三角形的分类：

（1）右图中，每个三角形的内角各有什么特点？

（2）右图中，每个三角形的三边各有什么特点？

（3）结合以上图形你认为三角形可以如何分类？

试一试

（1）按角分类：

（2）按边分类：

2、三角形的三边关系

问题1：

如图，现有三块地，问从A地到B地有几种走法，

哪一种走法的距离最近？

请将你的设计方案填写在下表中：

路线

距离

比较

（1）以上结论的依据是：

（2）思考：

你发现三角形的三边长度有什么关系？

3、知识运用

例题：

用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？

为什么？

解：

（1）设底边长为xcm，则腰长是cm，列方程得：

x=cm

所以，三角形的三边分别是、、

（2）①当底边长为4cm时，腰长为，是否满足三角形三边关系：

；

②当腰长为4cm时，底边长为，是否满足三角形三边关系：

；

所以，（能或不能）围成有一边的长是4cm的等腰三角形。

三、巩固练习

1.（2016岳阳中考）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）

A.2cm，3cm，5cmB.7cm，4cm，2cmC.3cm，4cm，8cmD.3cm，3cm，4cm

2.（2016长沙中考）若一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长可能是（）

A.6B.3C.2D.11

3.（2016盐城中考）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足

，则c的值可以为（）

A.5B.6C.7D.8

4.（包头中考）长为9、6、5、4的四根木条，组成三角形，选法有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

5.（2016江苏）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　　．

6.△ABC的三边长分别为a、b、c，且（a+b-c）（a-c）=0，则△ABC为（）

A.不等边三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.锐角三角形

（2）11.1.2三角形的高、中线与角平分线

学习目标：

正确理解三角形的中线、角平分线、高；

利用它们的性质解简单几何计算题。

学习过程

一、知识链接：

如右图，顶点A的对边是，

顶点B、C的对边分别是、。

∠BAC的对边是，∠ABC，∠BCA的对边分别是、。

二、自主学习：

1、自学课本第4页至第5页，了解什么是三角形的高线、中线、角平分线；

2、请在下图中分别画出三角形的高AD、中线AE、角平分线AF；

3、几何语言表示三角形的高、中线、解平分线；

（3）三角形的高线（如图1）：

∵AD为ΔABC中BC边上的高，

∴

⊥

∠=∠=90°

（1）三角形的中线（如图2）：

∵CF是AB上的中线

∴①AF==

AB=2=2

（2）三角形的角平分线（如图3）：

∵BE是ΔABC中∠ABC的角平分线

∴①∠1=∠2=∠ABC

∠ABC=2∠=2∠

（图1）（图2）（图3）

三、探究学习

分别画出下列锐角三角形、直角三角形、和钝角三角形三边上的高。

归纳：

（1）锐角三角形三边上的高交于一点，交点在三角形的；

（2）直角三角形三边上的高交于一点，交点在三角形的；

（3）钝角三角形三边上的高所在直线交于一点，交点在三角形的；

四、巩固练习

1、如图1：

∠BAC=60°，AD是三角形ABC的角平分线，则∠BAD=°；

2、如图2，AD为ΔABC中BC边上的高，∠B=35°，∠C=45°，则∠BDA=°∠BAD=°。

3、如图3，ΔABC的周长为20，AB=6，AC=8，AD是BC边上的中线，则BD=。

4、如图，在ΔABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是ΔABC的

一条角平分线，求∠ADB的度数。

5、∠B=30°，∠C=70°，AD、AE分别为BC边上的角平分线、高。

求∠DAE的度数。

6、如图，ΔABC中，AB=2，BC=4，ΔABC的高AD与CE的比是多少？

（提示：

利用三角形的面积公式）

（3）11.1.3三角形的稳定性及复习

学习目标：

1、了解三角形的稳定性

2、复习三角形有关线段

学习过程

一、自主学习

自学课本第6页至第7页回答下列问题

盖房子时，在窗框未安装好前，木工师傅常先在窗框上斜钉一根木条，为什么？

下列的图形中具有稳定性的是（写编号）

三角形有关线段复习

1.三角形的分类：

锐角三角形

按角分类

不等边三角形：

三角形三条边

按边分类底边和腰不的等腰三角形

等腰三角形

（有两条边相等）等边三角形：

三条边都

2.三角形三边的关系：

三角形的任意两边之和第三边；

三角形的任意两边之差第三边。

如图一，+>；->

3.三角形的重要线段：

（1）三角形的高

（2）三角形的中线（3）三角形的角平分线

如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，F是BC边上的中点，则有

（1）∵AD⊥BC，∴∠=∠=90°

（2）∵AE平分∠BAC，∴∠=∠=

∠

（3）∵F是BC边上的中点，∴==

4.三角形的稳定性：

盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，（如右图）

这样做的数学道理是：

二、巩固练习：

1.如图，共有三角形的个数是（）

（A）3（B）4（C）5（D）6

2．以下列长度（cm）的三条小木棒，若首尾顺次连接，能钉成三角形的是（）。

（A）10、14、24（B）12、16、32（C）16、6、4（D）8、10、12

3.如图：

AD、AE分别是△ABC的角平分线和中线，如果

∠BAD＝50°，CE＝5cm，那么∠BAC=度，

BC＝cm；

4.（2016·贵州安顺）已知实数x，y满足

，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）

A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对

5.一个等腰三角形的周长是20cm，

（1）若一条边长为5cm，则另两边的长分别为；

（2）若一条边长为6cm，则另两边的长分别为。

6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，

DE⊥AB于E，那么图中共有个直角三角形。

7.按要求画出下列三角形的高

8.要是四边形木架不变形，至少要在钉几根木条?

五边形木架和六边形木架呢？

（请在图上画出）

11.2与三角形有关的角

（4）11.2.1三角形的内角

学习目标：

（1）学会利用已学的相交线与平行线等相关性质证明三角形的内角和定理；

（2）初步了解什么是几何证明，并感受证明几何问题的基本结构和推导过程；

（3）基本学会利用三角形内角和定理解决生活中的实际问题。

学习过程

一、自主学习

如图1

（1），已知：

直线上有一点A，过点A作射线AM、AN；

1、若∠DAM=30°，∠EAN=70°，则∠1等于度。

2、若在AM上任取一点B，过点B作BC∥DE交AN于点C如图1

（2），

则：

（1）∠2等于度，根据：

（2）∠3等于度，根据：

（3）∠1+∠2+∠3等于度。

二、探究学习

1.任剪一个三角形，按下列要求进行实验

（1）先剪下∠B和∠C（如图2），然后把它们与∠A

拼合在一起，就得到一个平角．有多少种不同的拼合

方法？

请你把这些不同的方法分别拼出来；这个实验

说明什么？

你会证明吗？

实验说明：

（2）思考：

在

（1）中你觉得哪几种拼合的结果有助于发现证明三角形内角和等于180度思路？

它们有什么共同的特点？

证明三角形内角和定理：

三角形的三个内角和等于180º；

已知：

如图3，三角形ABC

求证：

∠A+∠B+∠C=

证明：

2.知识运用

如图3，C岛在A岛的北偏东50度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西40度方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

三、巩固练习

1．求出下列图中x的值:

x=x=x=x=

2.△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

2，则∠B的度数为______．

3．（2016·黑龙江大庆）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=　　．

4.（2016·湖北）如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（）

A.50°B.40°C.45°D.25°

（第3题图）（第4题图）

（5）11.2.2三角形的外角

学习目标：

知道三角形的外角，理解三角形外角的性质定理，能用三角形外角的有关定理解答问题。

学习过程

一、知识链接

1、三角形内角和定理：

三角形的内角和等于。

2、△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=2：

3：

4，则∠C=_______。

3、如图，在△ABC中若∠A=60°，∠B=35°，则∠ACB=°，∠ACD=°。

二、自主学习

（一）认识三角形的外角，阅读课本第14页，了解什么是三角形的外角，并回答下列问题：

1、如图，△ABC的一个外角是；

2、如图，若∠C=50°，∠B=28°，则∠BAC=°∠DAB=°

（二）三角形外角的性质定理：

1、如图，△ABC的一个外角是，和它不相邻的内角

是，。

2、猜想：

∠BAD和∠B、∠C之间的关系是。

证明：

归纳：

三角形的一个外角等于；

三角形的一个外角大于一个。

几何语言：

∠1=∠+∠；

∠ABE=+；

∠1>∠；∠1>∠；

（三）三角形的外角和——每一个三角形的内角相应地取其中一个外角相加的结果；

思考：

如图，∠1+∠2+∠3=°（你能证明得到的结论吗？

）

证明：

归纳：

三角形的外角和等于

三、巩固练习：

1、计算：

∴∠1=∴∠2=°∴∠3=°

∴∠4=°∴∠5=°∴∠6=°

2、如右图，以下说法不正确的是（）

A、∠EFD是△BFC的一个外角；

B、∠DFC是△BFC的一个外角；

C、∠EFD+∠FBC+∠FCB=180°；

D、∠CDF=∠A+∠ABD

3、如图，D是△ABC边上的一点，E是BD上一点，则对

∠1、∠2、∠A之间的关系描述正确的是（）。

A、∠A<∠1>∠2B、∠2>∠1>∠A

C、∠1>∠2>∠AD、无法确定

4、（2016·山东省东营市）如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于（）

A.30°B．35°C.40°D．50°

5.（2016·四川内江）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°

角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（）

A．75°B．65°C．45°D．30°

（6）11.3.1多边形

学习目标：

1．知道多边形、多边形的内角、多边形的外角、多边形的对角线和正多边形的有关概念．

2．能够解决与多边形的对角线有关的问题

学习过程：

一、自主学习自学课本19--20页，完成下列问题：

1、由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做。

2、如果一个多边形由

条线段组成，你们这个多边形就叫做

边形，填空：

边形边形边形

3、多边形_________组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的的邻边的__________组成的角叫做多边形的外角。

图中内角有____________________，

外角有______________________。

4、连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的。

5、阅读课本，了解凸多边形的概念，并判断下列图形是凸多边形有；

6、各角都，各边都的多边形叫正多边形

正边形正边形正边形正边形

二、探究学习

画出下列多边形的对角线．回答问题：

（1）从四边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把四边形分成了个三角形；四边形共有____条对角线．

（2）从五边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把五边形分成了个三角形；五边形共有____条对角线．

（3）从六边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把六边形分成了个三角形；六边形共有____条对角线．

（4）猜想：

①从100边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把100边形分成了个三角形；100边形共有___条对角线．

②从n边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把n分成了个三角形；n边形共有_____条对角线．

三、巩固练习

1、下列图形中，是正多边形的是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.长方形D.正方形

2、九边形的对角线有（）

A.25条B.31条C.27条D.30条

3、过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是_______。

4、一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数。

（7）11.3.2多边形的内角和

学习目标：

掌握多边形的内角和与外角和定理，运用多边形内角和与外角和定理进行有关的计算．

学习过程

一、知识链接

如图，填空：

（1）∠1＋∠2＋∠3＝；

（2）∠4＋∠5＋∠6＝；

（3）∠4＝∠＋∠；∠5＝＋；

（4）∠6>∠；∠6>∠

二、探究学习：

（一）多边形的内角和：

1、回忆：

三角形的内角和等于度；

2、问题：

四边形的内角和又会是多少？

即：

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝。

你会利用所学知识说明以上结论？

3、探索规律：

（仿照以上问题中做对角线的方法进行探究）

名称

图形

多边形的边数

分成三角形个数

多边形内角和

五边形

六边形

七边形

……

……

……

……

……

n边形

4、归纳：

边形的内角和=。

（二）问题：

多边形的外角和是多少？

1、试一试：

如图：

∵∠4+∠5+∠6=°

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=°

∴∠1+∠2+∠3=°

∴三角形的外角和为°

（2）如图：

∵∠5+∠6+∠7+∠8=°

且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=°

∴∠1+∠2+∠3+∠4=°

∴四边形的外角和为°

（3）如图：

∵∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=°

且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=°

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=°

∴五边形的外角和为°

2、归纳：

任意多边形的外角和都为°

三、巩固练习

1.（2016·云南）若一个多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为度．

2．（2016·江苏泰州）五边形的内角和是　　°．

3.（2016·四川自贡）若n边形内角和为900°，则边数n=　　．

4．（2016·江苏省扬州）若多边形的每一个内角均为135°，则这个多边形的边数为　　．

5.（2016·青海西宁）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　　．

6.（2016·四川攀枝花）

如果一个正多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的内角和为　　．

7．（2016.山东省临沂市）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（　　）

A．108°B．90°C．72°D．60°

8.（2016·四川广安）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（　　）

A．7B．10C．35D．70

9.（2016·四川凉山州）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（　　）

A．7B．7或8C．8或9D．7或8或9

（8）数学活动——平面镶嵌

学习目标：

明确什么样的正多边形可以进行平面镶嵌，明确用多种正多边形拼地板的理论依据。

探究学习：

平面镶嵌：

用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌。

平面镶嵌就是生活中的拼地板。

一、用一种正多边形镶嵌：

1、用相同的正三角形镶嵌（如右图）

∵正三角形的每一个内角为____°，

即∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=____°

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=____°

2、用相同的正四边形镶嵌（如右图）

∵正四边形的每一个内角为____°

即∠1=∠2=∠3=∠4=____°

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=____°

3、用相同的正六边形镶嵌（如右图）

∵正六边形的每一个内角为____°，

即∠1=∠2=∠3=____°

∴∠1＋∠2＋∠3=____°

结论：

使用给定的某种正多边形拼地板时，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个角时，就可进行平面镶嵌。

二、用一种任意多边形镶嵌：

4、任意剪出一些形状和大小相同的三角形纸板，拼一拼，是否可以拼成一个平面图形？

答：

。

5、任意剪出一些形状和大小相同的四边形纸板，拼一拼，是否可以拼成一个平面图形？

答：

。

三、用两种正多边形镶嵌：

1、用正六边形和正三角形镶嵌：

如图，正六边形的每一个内角为___°，

正三角形的每一个内角为____°，

即∠1=∠2=__°；∠3=∠4=____°

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=____°

小结：

用正六边形和正三角形镶嵌时，在一个顶点周围有___个正三角形的角和______个正六边形的角。

2、用正方形和正三角形镶嵌：

如图，正方形的每一个内角为°，

正三角形的每一个内角为__°，

即∠1=∠4=∠5=____°；∠2=∠3=____°

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4+∠5=____°

小结：

用正方形和正三角形镶嵌时，在一个顶点周围有_____个正方形的角和______个

正三角形的角。

结论：

使用给定的几种正多边形镶嵌时，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个角时，就可拼成一个平面图形。

巩固练习

1．某人到瓷砖店购买一种正多边形的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以（）。

A、正三角形B、正四边形C、正六边形D、正八边形

2．下列正多边形中，能够进行平面镶嵌的有_________________________

①正方形②正五边形③正六边形④正八边形

3．下列正多边形的组合中，能进行平面镶嵌的是____________________

①正八边形和正方形②正五边形和正八边形

③正六边形和正三角形④正三角形和正四边形

（9）三角形复习

一、学习目标：

了解三角形的有关概念，能正确画出三角形的高、中线、角平分线，掌握三角形、多边形的内角和定理，掌握多边形的外角和定理，并会应用；

二、知识点：

（一）三角形的分类：

（1）按角分类：

（2）按边分类：

（二）三角形的重要线段：

（1）三角形的高线，如图，在

中

∵AD是

的一条高

∴⊥，∠＝90°

（2）三角形的角平分线，如图，在

中

∵AE是

的一条角平分线

∴∠＝∠＝

∠

（3）三角形的中线，如图，在

中

∵AF是

的一条中线

∴＝＝

（三）三角形的一些性质：

1.三角形的内角和等于°

如图，在

中：

2、三角形的外角和等于°

3.三角形外角性质

如图：

∠ACD＝∠＋∠；

；

；

4、三角形的三边关系：

（1）三角形的任何两边之和。

（2）三角形的任何两边之差。

如图，

中，若BC〈AC，则

；

5、三角形具有性。

（四）多边形的有关概念及性质：

1、正多边形：

如果多边形满足条件、，则称为正多边形。

2、多边形的对角线：

多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段。

3、多边形的一些性质：

（1）n边形的内角和等于。

（2）n边形的外角和等于。

（3）正n边形的每一个内角等于。

三、巩固练习：

1．（2016·青海西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　）

A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm

C．5cm，5cm，11cmD．13cm，12cm，20cm

2.（2015•福建泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（　　）

　A．11B．5C．2D．1

3.（2016江苏淮安）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　　．

4．下列图形中有稳定性的是（）

A．正方形　　B．长方形C．直角三角形　　D．平行四边形

5.要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。

6．下列说法中正确的是（）

A．三角形的内角中至少有两个锐角B．三角形的内角中至少有两个钝角

C．三角形的内角中至少有一个直角D．三角形的内角中至少有一个钝角

7.在下列条件中：

①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°－∠B，

④∠A=∠B－∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个