ADP四边形AMPN444433∴当x=1时,S的最小值为。
4③连接PG,设DE交AP于点O。
0若∠BAD=15,00∵∠DAP=60,∴∠PAG=45。
∵△APD和△APE都是等边三角形,∴AD=DP=AP=PE=EA。
∴四边形ADPE是菱形。
∴DO垂直平分AP。
0∴GP=AG。
∴∠APG=∠PAG=45。
0∴∠PGA=90。
设BG=t,03t3t在Rt△BPG中,∠B=60,∴BP=2t,PG=。
∴AG=PG=。
3t+t=233∴,解得t=-1。
∴BP=2t=2-2。
03∴当BP=2-2时,∠BAD=15。
猜想:
以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
0。
∵四边形ADPE是菱形,∴AO⊥DE,∠ADO=∠AEH=30-7-
0000∵∠BAD=15,∴易得∠AGO=45,∠HAO=15,∠EAH=45。
33设AO=a,则AD=AE=2a,OD=a。
∴DG=DO-GO=(-1)a。
000又∵∠BAD=15,∠BAC=60,∠ADO=30,0∴∠DHA=∠DAH=75。
∵DH=AD=2a,33∴GH=DH-DG=2a-(-1)a=(3-)a,33HE=2DO-DH=2a-2a=2(-1)a。
22222DGGH31a+33a=1683a∵,222HE231a=1683a,222DGGHHE∴。
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值,菱形的判定和性质,勾股定理和逆定理。
【分析】
(1)由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系,从而用ASA证明。
(2)①由△BPM∽△CAP,根据对应边成比例得等式,解方程即可。
②应用全等三角形的判定和性质,锐角三角函数和勾股定理相关知识求得SS,ADP四边形AMPN用x的代数式表示S,用二次函数的最值原理求出S的最小值。
0③由∠BAD=15得到四边形ADPE是菱形,应用相关知识求解。
求出DG、GH、HE的表达式,用勾股定理逆定理证明。
28.(2012福建三明14分)在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段1BC上(不含点B),∠BPE=∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,2交AC于点G.
(1)当点P与点C重合时(如图①).求证:
△BOG≌△POE;(4分)-8-
BF
(2)通过观察、测量、猜想:
=▲,并结合图②证明你的猜想;(5分)PE(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图③),若∠ACB=α,BF求的值.(用含α的式子表示)(5分)PE【答案】解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,P与C重合,∴OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°。
∵PF⊥BG,∠PFB=90°,∴∠GBO=90°—∠BGO,∠EPO=90°—∠BGO。
∴∠GBO=∠EPO。
∴△BOG≌△POE(AAS)。
BF1
(2)。
证明如下:
PE2如图,过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,0∴∠PNE=∠BOC=90,∠BPN=∠OCB。
0∵∠OBC=∠OCB=45,∴∠NBP=∠NPB。
∴NB=NP。
00—∠BMN,∠NPE=90—∠BMN,∴∠MBN=∠NPE。
∵∠MBN=90∴△BMN≌△PEN(ASA)。
∴BM=PE。
1∵∠BPE=∠ACB,∠BPN=∠ACB,∴∠BPF=∠MPF。
20∵PF⊥BM,∴∠BFP=∠MFP=90。
1BM。
又∵PF=PF,∴△BPF≌△MPF(ASA)。
∴BF=MF,即BF=21BF1∴BF=PE,即。
2PE2(3)如图,过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,0∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=90。
-9-
1由
(2)同理可得BF=BM,∠MBN=∠EPN。
20∵∠BNM=∠PNE=90,∴△BMN∽△PEN。
BMBN∴。
PEPNBNBM2BF=tan=tantan=,∴,即。
在Rt△BNP中,PNPEPEBF1=tan∴。
PE2【考点】几何综合题,正方形和菱形的性质,平行的性质,全等、相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。
【分析】
(1)由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。
(2)过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,通过ASA证明△BMN≌△PENBF1的结论。
得到BM=PE,通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF,即可得出PE21(3)过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,同
(2)证得BF=BM,2BMBNBNtan=∠MBN=∠EPN,从而可证得△BMN∽△PEN,由和Rt△BNP中即PEPNPNBF1=tan可求得。
PE229.(2012辽宁沈阳12分)已知,如图①,∠MON=60°,点A,B为射线OM,ON上的43动点(点A,B不与点O重合),且AB=,在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P,且AP=BP,∠APB=120°.
(1)求AP的长;
(2)求证:
点P在∠MON的平分线上;(3)如图②,点C,D,E,F分别是四边形AOBP的边AO,OB,BP,PA的中点,连接CD,DE,EF,FC,OP.①当AB⊥OP时,请直接写出四边形CDEF的周长的值;..②若四边形CDEF的周长用t表示,请直接写出t的取值范围...-10-
3【答案】解:
(1)过点P作PQ⊥AB于点Q∵PA=PB,∠APB=120°,AB=4,111133AB=×4=2,∠APQ=∠APB=×120°=60°。
∴AQ=2222AQ在Rt△APQ中,sin∠APQ=APAQ2323∴AP==4。
sinAPQsin6032
(2)证明:
过点P分别作PS⊥OM于点S,PT⊥ON于点T,∴∠OSP=∠OTP=90°。
在四边形OSPT中,∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°,∴∠APB=∠SPT=120°。
∴∠APS=∠BPT。
又∵∠ASP=∠BTP=90°,AP=BP,∴△APS≌△BPT(AAS)。
∴PS=PT。
∴点P在∠MON的平分线上。
333(3)①8+4②4+4<t≤8+4。
【考点】等腰三角形的,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,多边形内角和定理,全等三角形的判定和性质,点在角平分线上的判定,三角形中位线定理【分析】
(1)过点P作PQ⊥AB于点Q.根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知1AQ=BQ=AB,然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。
2
(2)作辅助线PS、PT(过点P分别作PS⊥OM于点S,PT⊥ON于点T)构建全等三角形△APS≌△BPT;然后根据全等三角形的性质推知PS=OT;最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上。
(3)利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。
①当AB⊥OP时,根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度;-11-
②当AB⊥OP时,OP取最大值,即四边形CDEF的周长取最大值;当点A或B与点O重合时,四边形CDEF的周长取最小值,据此写出t的取值范围。
30.(2012辽宁大连12分)如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,点E在AD上,点F在DC上,且∠BEF=∠A.
(1)∠BEF=_____(用含α的代数式表示);
(2)当AB=AD时,猜想线段ED、EF的数量关系,并证明你的猜想;(3)当AB≠AD时,将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上,且AE>AB,AB=EBmDE,AD=nDE”,其他条件不变(如图2),求的值(用含m、n的代数式表示)。
EF【答案】解:
(1)180°-2α。
(2)EB=EF。
证明如下:
连接BD交EF于点O,连接BF。
∵AD∥BC,∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α,∠ADC=180°-∠C=180°-α。
1∵AB=AD,∴∠ADB=(180°-∠A)=α。
2∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α。
由
(1)得:
∠BEF=180°-2α=∠BDC。
OEOBOEOD==又∵∠EOB=∠DOF,∴△EOB∽△DOF。
∴,即。
ODOFOBOF∵∠EOD=∠BOF,∴△EOD∽△BOF。
∴∠EFB=∠EDO=α。
∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB。
∴EB=EF。
(3)延长AB至G,使AG=AE,连接BE,GE,1801802180A==则∠G=∠AEG=。
22∵AD∥BC,∴∠EDF=∠C=α,∠GBC=∠A,∠DEB=∠EBC。
∴∠EDF=∠G。
-12-
∵∠BEF=∠A,∴∠BEF=∠GBC。
∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF,即∠EBG=∠FED。
EBBG=∴△DEF∽△GBE。
∴。
EFDE∵AB=mDE,AD=nDE,∴AG=AE=(n+1)DE。
∴BG=AG-AB=(n+1)DE-mDE=(n+1-m)DE。
EB(n1m)DE==n1m∴。
EFDE【考点】梯形的性质,平行线的性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质。
【分析】
(1)由梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,根据平行线的性质,易求得∠A的度数,又由∠BEF=∠A,即可求得∠BEF的度数:
∵梯形ABCD中,AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°。
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α。
又∵∠BEF=∠A,∴∠BEF=∠A=180°-2α。
(2)连接BD交EF于点O,连接BF,由AB=AD,易证得△EOB∽△DOF,根据OEOB=相似三角形的对应边成比例,可得,从而可证得△EOD∽△BOF,又由相似三角ODOF形的对应角相等,易得∠EBF=∠EFB=α,即可得EB=EF。
(3)延长AB至G,使AG=AE,连接BE,GE,易证得△DEF∽△GBE,然后由EB相似三角形的对应边成比例,即可求得的值。
EF31.(2012辽宁鞍山12分)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG.
(1)求证:
△AOG≌△ADG;
(2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;(3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式.-13-
【答案】解:
(1)证明:
∵∠AOG=∠ADG=90°,∴在Rt△AOG和Rt△ADG中,AO=AD,AG=AG,∴△AOG≌△ADG(HL)。
(2)∠PAG=45°,PG=OG+BP。
理由如下:
由
(1)同理可证△ADP≌△ABP,则∠DAP=∠BAP。
∵由
(1)△AOG≌△ADG,∴∠1=∠DAG。
又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,∴2∠DAG+2∠DAP=90°,即∠DAG+∠DAP=45°。
∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。
∵△AOG≌△ADG,△ADP≌△ABP,∴DG=OG,DP=BP。
∴PG=DG+DP=OG+BP。
(3)∵△AOG≌△ADG,∴∠AGO=∠AGD。
又∵∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,∠1=∠2,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。
∴∠1=∠2=30°。
3在Rt△AOG中,AO=3,OG=AOtan30°=,33∴G点坐标为:
(,0),CG=3﹣。
CG33==3131在Rt△PCG中,PC=,∴P点坐标为:
(3,)。
0tan3033设直线PE的解析式为y=kx+b,-14-
33k+b=0k=则,解得。
33k+b=31b=13∴直线PE的解析式为y=x﹣1。
3【考点】一次函数综合题,全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,解二元一次方程组。
【分析】
(1)由AO=AD,AG=AG,利用“HL”可证△AOG≌△ADG。
(2)利用
(1)的方法,同理可证△ADP≌△ABP,得出∠1=∠DAG,∠DAP=∠BAP,而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,由此可求∠PAG的度数;根据两对全等三角形的性质,可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。
(3)由△AOG≌△ADG可知,∠AGO=∠AGD,而∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,当∠1=∠2时,可证∠AGO=∠AGD=∠PGC,而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°,即∠1=∠2=30°,解直角三角形求OG,PC,确定P、G两点坐标,得出直线PE的解析式。
32.(2012山东威海11分)探索发现:
已知:
在梯形ABCD中,CD∥AB,AD、BC的延长线相交于点E,AC、BD相交于点O,连接EO并延长交AB于点M,交CD于点N。
(1)如图①,如果AD=BC,求证:
直线EM是线段AB的垂直平分线;
(2)如图②,如果AD≠BC,那么线段AM与