华师版八年级数学上册教案121 幂的运算4课时.docx
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华师版八年级数学上册教案121幂的运算4课时
12.1 幂的运算
1 同底数幂的乘法（第1课时）
一、基本目标
理解并掌握同底数幂的乘法法则，并能进行相关计算．
二、重难点目标
【教学重点】
同底数幂的乘法法则．
【教学难点】
同底数幂的乘法法则的推导及应用．
环节1 自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P18～P19的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．把下列式子化成同底数幂．
（－a）2＝a2；（－a）3＝－a3；（x－y）2_＝_（y－x）2；（x－y）3＝__－__（y－x）3.
2．根据乘法的意义填空：
（1）23×24＝（2×2×2）×（2×2×2×2）＝27；
53×54＝（5×5×5）×（5×5×5×5）＝57;_
a3·a4＝（a·a·a）·（a·a·a·a）＝a7；
（2）同底数幂的乘法法则：
am·an＝am＋n（m、n都是正整数），即同底数幂相乘，_底数_不变，_指数_相加．
（3）推广：
am·an·ap＝am＋n＋p（m、n、p都是正整数）．
3．计算：
（1）103×104；
（2）a·a3.
解：
（1）原式＝103＋4＝107.
（2）原式＝a1＋3＝a4.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论（师生互学）
【例1】计算：
（1）－a3·（－a）2·（－a）3;
（2）10000×10m×10m＋3；
（3）mn＋1·mn·m2·m；
（4）（x－y）2·（y－x）5.
【互动探索】（引发学生思考）确定各式的底数→利用同底数幂的乘法法则计算．
【解答】
（1）原式＝－a3·a2·（－a3）＝a3·a2·a3＝a8.
（2）原式＝104×10m×10m＋3＝104＋m＋m＋3＝107＋2m.
（3）原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4.
（4）原式＝（y－x）2·（y－x）5＝（y－x）7.
【互动总结】（学生总结，老师点评）
（1）同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1；
（2）底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．（a－b）n＝
活动2 巩固练习（学生独学）
1．下列算式中，结果等于x6的是（ A ）
A．x2·x2·x2B．x2＋x2＋x2
C．x2·x3D．x4＋x2
2．如果32×27＝3n，那么n的值为（ C ）
A．6B．1
C．5D．8
3．若am＝3，an＝4，则am＋n＝12_.
教师指导：
am＋n＝am·an＝3×4＝12.
4．计算：
（1）－a3·a4；
（2）100·10m＋1·10m－3；
（3）（－x）4（－x2）（－x）3.
解：
（1）－a3·a4＝－a3＋4＝－a7.
（2）100·10m＋1·10m－3＝102·10m＋1·10m－3＝102＋（m＋1）＋（m－3）＝102m.
（3）（－x）4·（－x2）·（－x）3＝x4·（－x2）·（－x3）＝x4·x2·x3＝x4＋2＋3＝x9.
活动3 拓展延伸（学生对学）
【例2】若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
【互动探索】根据同底数幂的乘法法则，等式的左边等于多少？
a、b之间有什么关系？
【解答】∵82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，
∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.
【互动总结】（学生总结，老师点评）解此类题时，将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同，由此得出代数式的值．
环节3 课堂小结，当堂达标
（学生总结，老师点评）
请完成本课时对应练习！
2 幂的乘方（第2课时）
一、基本目标
1．理解幂的乘方法则，进一步体会和巩固幂的意义．
2．通过推理得出幂的乘方法则，并掌握该法则．
二、重难点目标
【教学重点】
幂的乘方法则．
【教学难点】
幂的乘方法则的推导及应用．
环节1 自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P19～P20的内容，完成下面练．
【3min反馈】
1．乘方的意义：
32中，底数是3，指数是2，表示2个3相乘；（32）3的意义：
3个32相乘．
（1）根据幂的意义解答：
（32）3＝32×32×32（根据幂的意义）
＝32＋2＋2（根据同底数幂的乘法法则）
＝32×3.
（am）2＝am·am＝a2m（根据am·an＝am＋n）．
（am）n＝am·am·…·am（幂的意义）
＝am＋m＋…＋m（同底数幂相乘的法则）
＝amn（乘法的意义）．
（2）幂的乘方法则：
（am）n＝amn（m、n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2．计算：
（1）（103）5；
（2）（b3）4； （3）（xn）3；
（4）－（x7）7.
解：
（1）1015.
（2）b12.（3）x3n. （4）－x49.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论（师生互学）
【例1】计算：
（1）（－24）3；
（2）（xm－1）2；
（3）[（24）3]3;（4）（－a5）2＋（－a2）5.
【互动探索】（引发学生思考）确定各式的底数→利用幂的乘方法则计算．
【解答】
（1）原式＝－212.
（2）原式＝x2（m－1）＝x2m－2.
（3）原式＝24×3×3＝236.
（4）原式＝a10－a10＝0.
【互动总结】（学生总结，老师点评）
（1）运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆；
（2）在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式；（3）幂的乘方的推广：
（（am）n）p＝amnp（m、n、p都是正整数）．
【例2】若92n＝38，求n的值．
【互动总结】（引发学生思考）比较等式两边底数的关系→将等式转化为（32）2n＝38→建立方程求n值．
【解答】依题意，得（32）2n＝38，即34n＝38.
∴4n＝8.解得n＝2.
【互动总结】（学生总结，老师点评）可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．
【例3】已知ax＝3，ay＝4（x、y为整数），求a3x＋2y的值．
【互动探索】（引发学生思考）对a3x＋2y变形，得a3x·a2y，再利用幂的乘方进行解答．
【解答】a3x＋2y＝a3x·a2y＝（ax）3·（ay）2＝33×42＝27×16＝432.
【互动总结】（学生总结，老师点评）利用amn＝（am）n＝（an）m，可对式子进行灵活变形，从而使问题得到解决．
活动2 巩固练习（学生独学）
1．计算（－a3）2的结果是（ A ）
A．a6B．－a6
C．－a5D．a5
2．下列运算正确的是（ B ）
A．（x3）2＝x5B．（－x）5＝－x5
C．x3·x2＝x6D．3x2＋2x3＝5x5
3．当n为奇数时，（－a2）n＋（－an）2＝_0_.
4．计算：
（1）a2·（－a）2·（－a2）3＋a10；
（2）x4·x5·（－x）7＋5（x4）4－（x8）2.
解：
（1）0.
（2）3x16.
活动3 拓展延伸（学生对学）
【例4】请看下面的解题过程
比较2100与375的大小．
解：
∵2100＝（24）25,375＝（33）25，而24＝16,33＝27,16＜27，
∴2100＜375.
请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小．
【互动探索】仔细阅读材料，确定例子的解题方法是将指数化为相同，比较底数的大小来比较所求两个数的大小．
【解答】∵3100＝（35）20,560＝（53）20，而35＝243,53＝125,243＞125，
∴35＞53，∴3100＞560.
【互动总结】（学生总结，老师点评）此题考查了幂的乘方法则的应用，根据题意得到3100＝（35）20,560＝（53）20是解此题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
（学生总结，老师点评）
请完成本课时对应练习！
3 积的乘方（第3课时）
一、基本目标
1．理解积的乘方法则，进一步体会和巩固幂的意义．
2．通过推理得出积的乘方法则，并掌握该法则．
二、重难点目标
【教学重点】
积的乘方法则．
【教学难点】
积的乘方法则的推导及应用．
环节1 自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P20～P21的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．下列各式正确的是（ D ）
A．（a5）3＝a8B．a2·a3＝a6
C．x2＋x3＝x5D．a2·a2＝a4
2．
（1）填空：
（2×5）3＝103,23×53＝103，（－2×5）3＝－103，（－2）3×53＝－103.
（2）积的乘方法则：
（ab）n＝anbn（n是正整数），即积的乘方等于积的每一个因式分别乘方_，再把所得的幂_相乘．
推广：
（abc）n＝anbncn（n是正整数）．
3．计算：
（1）（3a2）n；
（2）（－2xy）4； （3）（a2）3·（a3）2.
解：
（1）3na2n.
（2）16x4y4. （3）a12.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论（师生互学）
【例1】计算
（1）（x4·y2）3；
（2）（anb3n）2＋（a2b6）n；
（3）[（3a2）3＋（3a3）2]2；
（4）
2017×
2018；
（5）0.12515×（23）15.
【互动探索】（引发学生思考）先确定运算顺序，再根据积的乘方法则计算．
【解答】
（1）原式＝x12y6.
（2）原式＝a2nb6n＋a2nb6n＝2a2nb6n.
（3）原式＝（27a6＋9a6）2＝（36a6）2＝1296a12.
（4）原式＝
2017×
＝1×
＝
.
（5）原式＝
15×（8）15＝
15＝1.
【互动总结】（学生总结，老师点评）
（1）～（3）按先乘方再乘除后加减的运算顺序；（4）（5）反用（ab）n＝anbn可使计算简便．
活动2 巩固练习（学生独学）
1．（x2y）2的结果是（ B ）
A．x6yB．x4y2
C．x5yD．x5y2
2．（am）m·（am）2不等于（ C ）
A．（am＋2）mB．（am·a2）m
C．am2＋m2D．（am）3·（am－1）m
3．am＝2，an＝3，a2m＋3n＝108_.
4．计算：
（1）－4xy2·
2·（－2x2）3;
（2）（－a3b6）2＋（－a2b4）3；
（3）
2017×
2018.
解：
（1）8x9y6.
（2）0. （3）
.
活动3 拓展延伸（学生对学）
【例2】太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V＝
πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？
【互动探索】已知球的体积公式和其半径，代入数据直接计算．
【解答】∵R＝6×105千米，
∴V＝
πR3＝
×π×（6×105）3＝8.64×1017（立方千米）．
即它的体积大约是8.64×1017立方千米．
【互动总结】（学生总结，老师点评）读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方法则是解此题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
（学生总结，老师点评）
1．在研究问题的结构时，可按整体到部分的顺序去思考和把握．
2．公式（ab）n＝anbn（n为正整数）的逆用：
anbn＝（ab）n（n为正整数）．
请完成本课时对应练习！
4 同底数幂的除法（第4课时）
一、基本目标
理解并掌握同底数幂的除法法则，熟练地进行计算．
二、重难点目标
【教学重点】
同底数幂的除法法则．
【教学难点】
同底数幂的除法法则的推导．
环节1 自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P22～P23的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．用你熟悉的方法计算：
（1）23·22＝25,25÷22＝23；
（2）104·103＝107,107÷103＝104；
（3）a4·a3＝a7，a7÷a3＝a4_；
（4）从
（1）～（3）运算中归纳出同底数幂的除法法则：
am÷an＝am－n（a≠0，m、n为正整数，且m>n），即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
2．.计算：
（1）a5÷a3；
（2）（－x）7÷（－x）2；
（3）（x3）9÷x5.
解：
（1）原式＝a5－3＝a2.
（2）原式＝＝（－x）7－2＝（－x）5＝－x5.
（3）原式＝＝x27÷x5＝x27－5＝x22.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论（师生互学）
【例1】计算：
（1）x12÷x3；
（2）（x3）2÷x2÷x；
（3）（a2＋1）8÷（a2＋1）4÷（a2＋1）2.
【互动探索】（引发学生思考）各式的底数是多少？
指数是多少？
根据同底数幂的除法法则计算．
【解答】
（1）x12÷x3＝x12－3＝x9.
（2）（x3）2÷x2÷x＝x6÷x2÷x＝x6－2－1＝x3.
（3）（a2＋1）8÷（a2＋1）4÷（a2＋1）2＝（a2＋1）8－4－2＝（a2＋1）2.
【互动总结】（学生总结，老师点评）同底数幂的除法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.
活动2 巩固练习（学生独学）
1．下列各式计算的结果正确的是（ C ）
A．a4÷（－a）2＝－a2 B．a3÷a3＝0
C．（－a）4÷（－a）2＝a2 D．a6÷a4＝a
2．下列计算的结果为x8的是（ A ）
A．x·x7B．x16－x2
C．x16÷x2D．（x4）4
3．m5÷m2＝m3；（－4）4÷（－4）2＝16;_a3·am·am＋1＝a2m＋4.
4．若3x＝10,3y＝5，则32x－y＝_20_.
教师指导：
32x－y＝32x÷3y＝（3x）2÷3y＝100÷5＝20.
5．计算：
（1）x3÷x2；
（2）（－x）7÷（－x）；
（3）62m＋1÷6m；
（4）（x－y）9÷（y－x）4÷（x－y）2.
解：
（1）x.
（2）x6. （3）6m＋1. （4）（x－y）3.
活动3 拓展延伸（学生对学）
【例2】已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
【互动探索】要求am－n－1的值，观察已知式子，看它们之间有什么联系？
【解答】∵am＝4，an＝2，a＝3，
∴am－n－1＝am÷an÷a＝4÷2÷3＝
.
【互动总结】（学生总结，老师点评）解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am－n－1＝am÷an÷a.
环节3 课堂小结，当堂达标
（学生总结，老师点评）
请完成本课时对应练习！
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