最新几何证明角平分线模型高级资料.docx

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最新几何证明角平分线模型高级资料

几何证明——角平分线模型（高级）

【经典例题】

例1、已知如图，中，，平分，若，求证：

。

例2、如图，已知在中，，的角平分线相交于点，求证：

。

例3、如图，平分，，，求.

例4、已知，如图中，为的角平分线，求证：

．

例5、如图，已知为锐角△内一点，过分别作的垂线，垂足分别为，为的平分线，的延长线交于点；如果，求证：

是的平分线。

例6、如图，在梯形中，，，，是腰上一点，连接、、，若，，求的度数．

例7、已知：

中，，的中点为，交的角平分线于．

（1）如图1，若，求证：

；

（2）如图2，若，则、、之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．

【提升训练】

1、在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：

．

2、如图，在中，等于，平分平分，求证：

。

3、如图所示，在中，平分，，于，求证：

。

4、已知是内角平分线的交点，交对应边于。

求证：

。

5、

（1）如图，、分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别为、，连接，延长、，与直线相交，求证：

。

（2）若、分别是的内角平分线（如图

（2）），过点作，，垂足分别为、，连接，线段与三边有怎样的数量关系？

；

（3）若为的内角平分线，为的外角平分线（如图（3）），过点作，，垂足分别为、，连接，则线段与三边又有怎样的数量关系？

6、如图，已知，为的角平分钱，为的中点，点到，，的距离分别为，，，若。

（1）求，，，的值；

（2）求证：

。

7．已知如图，是斜边上的高，的平分线交于，交的平分线于，

求证：

．

8．如图，BD、CE为△ABC的两条内角平分线，K为ED的中点，KF⊥AB于F，KG⊥AC于G，KH⊥BC于H，求证：

KF+KG=KH．

9．已知，，，，于点，求证：

．

10．

（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=30，BC=23，请补全图形，并求△ABP与△BPC的面积的比值；

（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，判断∠AOD与∠AOE的数量关系，并证明；

（3）在四边形ABCD中，已知BC=DC，且AB≠AD，对角线AC平分∠BAD，请直接写出∠B和∠D的数量关系．

11．

（1）已知：

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：

∠PAC+∠PBC=　　°（直接写出结论，不需证明）．

（2）已知：

如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，

（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．

12．如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分线交于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．

（1）求证：

△ABC是直角三角形；

（2）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？

证明你的猜想；

（3）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下，

（2）中的三条线段之间又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，求证：

FK∥AB．

14．在中，AD是∠BAC的平分线．

（1）如图①，求证：

；

（2）如图②，若BD=CD，求证：

AB=AC；

（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的长．

15．如图，在中，∠ABC=90°，D为BC上一点，在△ADE中，∠E=∠C，∠1=90°﹣∠EDC．求证：

（1）∠1=∠2；

（2）ED=BC+BD．

16．如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．

（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．

（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？

（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．

17．定义：

到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．

（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：

点P是四边形ABCD的准内点．

（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）

（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．

①任意凸四边形一定存在准内点．（　　）

②任意凸四边形一定只有一个准内点．（　　）

③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（　　）

18．如图，已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．

（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；

（2）求证：

AB=CF+DM．

19．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，

AF与BG交于点E．

（1）求证：

AF⊥BG，DF=CG；

（2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的长度．

20、平行四边形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、交于点，若。

求证：

。

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21、如图，在中，是外角平分线上一点，求证：

。

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22．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

The鍑coaxsthe簱鐞嗚Chuai鎴愭湰（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

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