数字图像处理第三版中文的答案解析冈萨雷斯.docx
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数字图像处理第三版中文的答案解析冈萨雷斯
第二章
2.1（第二版是0.2和1.5*1.5的矩形，第三版是0.3和1.5圆形）
节提｛ftKrtHE砸，如昭上的一t打印点离眼睛03m远请采用纯几何方法，估计能辨别朋最小打印点的首律为制单起见.像设在中央RI处的像点变得远比视网JB区储的感受界（辭狀休）的虫赴小吮祀蛍砂U不能陶!
倒陽坟丸亦说i划映凹町建悭为直泾为1.5.uni的逊I形阵列.井且锥状1点间的阿隔住该评列匕均匀分命
对应点的视网膜图像的直径x可通过如下图题2.1所示的相似三角形几何关系得到，
即
d2x2
*j
0.30.017
解得x=0.06d。
根据2.1节容，我们知道：
如果把中央凹处想象为一个有337000个成像
2
单元的圆形传感器阵列，它转换成一个大小327.5成像单元的阵列。
假设成像单元之间
的间距相等，这表明在总长为1.5mm（直径）的一条线上有655个成像单元和654个
成像单元间隔。
则每个成像单元和成像单元间隔的大小为s=［（1.5mm）/1309］=1.1x10-6
m。
如果在中央凹处的成像点的大小是小于一个可分辨的成像单元，在我们可以认为改点对于眼
睛来说不可见。
换句话说，眼睛不能检测到以下直径的点：
x0.06d1.1106m，即d18.3106m
2.2当我们在白天进入一家黑暗剧场时，在能看清并找到空座时要用一段时间适应。
2.1节
描述的视觉过程在这种情况下起什么作用？
亮度适应。
2.3虽然图2.10中未显示，但交流电的却是电磁波谱的一部分。
美国的商用交流电频率是
77HZ。
问这一波谱分量的波长是多少？
光速c=300000km/s，频率为77Hz。
因此X=c/v=2.998*108（m/s）/77（1⑸=3.894*106m=3894Km.
2.5
14lum的€€0扭像札t：
片百工（M牧20朋个兀索.将立枭化對相距0話m远的一个方形样卅凶域该撮橹机徘呈米陡分辨务少线讨？
摄偉机配齐「一牛算mm检头（提示：
磺憎处理模23所不.但使用摄掠叽瞬头加魚距瞽代眼昭的焦矩）
根据图2.3得：
设摄像机能看到物体的长度为x（mm），则有：
500/x=35/14;解得:
x=200,
所以相机的分辨率为：
2048/200=10;所以能解析的线对为：
10/2=5线对/mm.
2.7假设中心在（x0,y0）的平坦区域被一个强度分布为：
22
i（x,y）Ke［（xx0）（yy0）］的光源照射。
为简单起见，假设区域的反射是恒定的，并等于1.0，令K=255。
如果图像用k比特的强度分辨率进行数字化，并且眼睛可检测相邻像素间8种灰度的突变，那么k取什么值将导致可见的伪轮廓？
解：
题中的图像是由：
2222
fx,yix,yrx,y255exx°yy°1.0255exx°yy°
一个截面图像见图（a）。
如果图像使用k比特的强度分辨率，然后我们有情况见图（b）,
其中G25512k。
因为眼睛可检测4种灰度突变，因此，G42562k,K=6。
k
也就是说，2小于64的话，会出现可见的伪轮廓。
tifiurePJ.7
2.9
数字数据传辑趣常用波特辜酮上圧建工为紂仲憧输的比特忍逋就传输楚出一个廿的比枫
的仁息和-汁停止比待组以的包疋成的利川这些申矢脚勞下列问題：
⑹使用33.6K波特的调制解调需传输一幅大小为204Sx2（HK的256灰变级的需既几分钟
⑹疲捋翠为3000K味这启典也的电话DSL（数字用户线）的媒体遠度.传输茨用冬检时间？
⑻传输数据包（包括起始比特和终止比特）为：
N=n+m=10bits。
对于一幅2048X2048大
2
小的图像，其总的数据量为M2048N，故以56K波特的速率传输所需时间为：
TM56000204828256000748.98s12.48min
（b）以3000K波特的速率传输所需时间为
TM30000002048282300000013.98s
2.10
髙清噺度电（HDTV）使用曲80条水平电脱隔行扫描来声生團＜*〔毎隔一行在显像管表面*i保紘毎两场形咸一每场用时1/60&）.0S像的宽高比J&16:
9.SE水平刊»同定的情反下.求图探的珏“分辨奉一豪公可已经设汁了一种国像呑取系统•该系克山HDTV阳像生咸散孑崗惟桃该系统申.擁条（冰¥小呂滉行时分辨率与网像的宽爲比戍用比・彩色图像的每个像素邮育24tt待的灰厦分辨率*红色.沁蓝色图像各8比特一这三福惊色图像形成彩色图像存掘90分钟的一部KDTV电带需査参少比特？
解：
图像宽高比为16:
9，且水平电视线的条数是1080条，则：
竖直电视线为1080X（16/9）=1920像素/线。
由题意可知每场用1s的1/60，则：
每帧用时2X1/60=1/30秒。
则该系统每1/30
特的图像。
又因为
秒的时间形成一幅1920X1080分辨率的红、绿、蓝每个像素都有8比
90min为5400秒，故储存90min的电视节目所需的空间是：
1080
1920833054008.0621012bits1.0011012bytes
2.11
考虑苗个瓷俾护集5和如下贞右医所示：
＜rrv=（ih碓崔这购个p集昱:
的泊童的阴邻接的、还是（◎肚邻接的？
解：
p和q如图所示：
⑻S1和S2不是4邻接，因为q不在N4p集中。
（b）Si和S2是8连接，因为q在Ngp集。
（c）Si和S2是m连接，因为q在集合Ndp中，且NpN4q没有V值的像素。
2.12提出将一个像素宽度的8通路转换为4通路的一种算法。
解：
找出一个像素点的所有邻接情况，将对角元素转化成相应的四邻接元素。
如下图所示:
2.13提出将一个像素宽度的m通路转换为4通路的一种算法。
解：
把m通道转换成4通道仅仅只需要将对角线通道转换成4通道，由于m通道是8通
道与4通道的混合通道，4通道的转换不变，将8通道转换成4通道即可。
如图所示：
（1）4邻域关系不变
（2）
8领域关系变换如下图所示
2.15（没答案，自己做的，看对不对）
曹虑右图的图像分割★3令L2h计算卩利g闾4、8和構通貉的度如舉在这两点间不存在一个特殊通跖试解释眼因一
（b）^V={Z3,4|f施复问題（a）
（1）在V={0,1,2}时，p和q之间通路的D4距离为8（两种情况均为8）,Da距离为4,Dm距离为6。
⑵在V={2,3,4}时，p和q之间通路的D4距离为Da距离为4,Dm距离为5。
p和q之间不存在4邻接路径，因为不同时存在从p到q像素的4毗邻像素和具备V的值，情况如图（a）所示。
p不能到达q。
3412
0
341
20
341
20
0104
2（q）
010
Itii）
p
010
.4—4（q）
XW1
4
22』
14
i4
!
oL
1
（p）3—4
21
（p）104
21
1203
4
120
4
]20
34
*jM
h«n
■ilfl
2.16
*如对于点卩和堺间的6阳离零于这阳点間堆短4通路的悄此给出需要的条件：
I护二4咽丿
（b）这个適腳ft—吗？
解：
⑻点p（x，y）和点q（s，t）两点之间最短4通路如下图所示，其中假设所有点沿路径V。
路径段长度分别为XS和yt，由D4距离的定义可知，通路总长度|X-S|+|Y-T|，（这
个距离是独立于任何点之间可能存在的任何路径），显然D4距离是等于这两点间的最短4
通路。
所以当路径的长度是xsyt，满足这种情况。
q（&D1
rl
I
I
I
I
I
2.18
/牝下-布.将讨论乜算千.It功能量莊一个很小的子图像凰域S中计算像素值的址和证明试些算子都是线性算子。
MHIri■：
■!
■AiIAJBain
由公式H[f（x,y）]=g（x,y）（2.6-1）.
让H表示相邻的和操作,让Si和S2表示两个不同子图像区的小值,并让Si+S2表示相应的
总数Si和S2像素，如在2.5.4节里的解释.注意到附近的大小（即像素数字）并没有随着这总和的改变而改变。
H计算像素值是一个给定的区域。
然后，
HaSibS2
意味着：
（1）在每个子区域里乘像素，
⑵从aSi到bS2每个像素值相加（首先产生一个单独的子区域）
（3）在单独的子图像区域里计算所有像素值的和。
让ap1和ap2表示两个任意（但相应的）像素
（4）
然后我们可以依据Eq.（2.6-1）,表明H是一个线性算子。
2.19（两个版本答案，一个意思）
』一个敦集的屮值£帛文勺这样一个值.该数集中的“半数值比它小・気Y數値比它大例如•故蠻［2.久&2021.25,31］的中MS20试证闵计氛子图擦区囲的巾値的算子是非级件的
（1）中值Z表示，数集的一半数值比它大，另一半比它小。
一个简单的例子能够表明，Eq.（2.6-1）的平均算子操作。
让S1={1,-2，3},S2={4，5，6},a=b=1.在这种情况下,H是平均算子。
然后有H（S1+S2）=中值{5,3,9}=5，S1+S2是S1和S2的和。
接下来，计算H（S1）=中值{1、-2、3}=1和H（S2）=中值{4、5、6}=5。
然后，从H（aS1+bS2）丰aH（S1）+bH（S2）,因此,子图像区域S中值的算子是非线性的。
（2）
辭：
图傳随城穩素令布为:
Al=
时SI=（2JAS,fi74}
图像区域52像素4节务：
_3
5
x,yfx,y
2
gx,y
2
1K
g（x,y）
Ki1
12K
K2i1
fix,y
ix,y
1
K
2
fix,y
i1
12K
12
K2
K2i1i
x,y
K
2.23（没答案看看做的对不对）
\（aJ参考圏Z刖.脚出集合（“一的U個-AX
⑹给岀下图中集合&找亡申所示的阴序集合的哀达九饵幅图中的阴期区域m成-tftd,因此^该对这「輻图的每牛阴协随域紛出-个表达式
ABBCAC2ABC
ACBABBC
2.24（看看翻的对不对）
使用三角形区域用弋四边形区域吋円所得到的类似于式（2.6-24）和式Q425）的零式是什么?
x=c1i'+c2nh-c3i^h-c4（2,6-24）
11=C5、'+1'十CFH-Cg（2.6-25）
答：
使用三角区即三个约束点，所以我们可以解决以下的系数为6的线性方程组：
xc1xC2yOs
yC4XC5yC6
实施空间变换。
插值强度可使用2.4.4节的方法。
2.25（看看翻的对不对）
证明武（2634）和（2.6T印中的噂里叶核足可分对称的
傅里叶变换核是可分的，因为：
j2ux/Mvy/N
rx,y,u,ve
j2ux/Mj2vy/N
eer（x,ur2y,v
傅里叶变换核是对称的，因为:
2.26（看看翻的对不对）
2.25证明具有可分性、对称性的二樂变换观囲
（1）瀚入的行f列）的一噁变挟来计算；接着
（2）用第一步站杲的列的以为变按来计舅…
由可分离变换核的定义知其中：
.*rf-IV1
=X"t1）
x^jr=o
Af-laV-
=工ri（A\»）^/（A\y）r2（y.p）蛊N）
■W-l.
富二0
X~l
T（xrD）吃
v^O
当x值固定时，可看作f（x,y）某一行的一维变换，当x从0变换到M-1时计算出整个数组T（x,v），然后，通过替换这个数组的最后一行以前的方程我们可以得到T（x,v）按列的一
维变换。
也就是说，当一个图像是核可分的，我们可以计算图像沿行的一维变换，然后我们
计算中间的一列得到最终的二维变换T（u,v）.这和先计算列的一维变换再计算中间行得到二
维变换最终结果是相同的。
从式（2.6-33），二维傅里叶变换是由：
jW-LN-1
T（u.v}=工X/Uy加7吩仙"叫
JT=它很容易验证，傅立叶变换核是可分离的（参见题2.25），所以我们可以写这个方程:
Af-J
A-0
W-l
T{x.ir\=^f[xty}e-j2^v^N>
是沿着f（x,y）行的一维傅里叶变换，X=0，1，
M-1。
第三章
X2-fa为正械林範:
l"讨口「桶的剜g变换磁是B帶右用的叱卜甚木陥数战■构造財FF列IW旳珈的变换函数听示的常牧她输人参敷并丨患心I啲空檢必滇以特定形式包器这些整数（为r简化您的答案.第三条曲线中不需豐参数耳人
KL0In（1/3）,K1.0986/L2
（a）由sT（r）Ae",AeKL0A/3得:
1.0986r2
sT（r）AeL0
KI2
（b）、由，B（1eKLo）B/4得:
22
KL。
ln（3/4）,K0.2877/L。
0.28772
7r2
sT（r）B（1eL0）
=r（r）=（D-c）（i-^^）^a
（c）、
3.4
抽提出T£能翳产生4比特单色阁像所育单独比特平面的矢度分展变换側如，变换诵数7■⑴.当「在阳了耐内时.r（f）=Ot商半尸在腿⑸范兩内时，列⑸就爾数可以产甘幅&比特图愎的第4比待平观图像｝
逐次查找像素值，如（x,y）=（0,0）点的f（x,y）值。
若该灰度值的4比特的第0位是1，则该位置的灰度值全部置1，变为15;否则全部置0,变为0。
因此第7位平面［0,7］置0，［7,15］置1，第6位平面［0,3］，［4,7］置0，［8,11］，［12,15］置15。
依
次对图像的全部像素进行操作得到第0位平面，若是第i位平面，则该位置的第i位值
是0还是1，若是1，则全置1，变为15，若是0，则全置0
W锻设对幅数字图像进行宜片图均衡处理试证明（对宜方團均窗信的图像）谨疔第二好方图均斷处坪的结果与第一次立方罔均衔业理俪果相同
设像素的总数为n，是输入图像的强度值，由，rk对应sk，所以，由和得由此得知，
第二次直方图均衡化处理的结果与第一次直方图均衡化处理的结果相同，这里我们假设忽略
不计四舍五入的误差。
3.11
足53.1中的条件（『）和（b）
*n…幅灰哎范围在【Q1］内的罔像的槪率密度函数川打如右图所示观对此图像世行获度变换.使曲渡分布为应示的卩⑴-假设紀度值连练求她i嘤求的坐换（丧示为『和:
的雷数
12试提出一种如333节中讨论的局冑贈强技术的局部直方图修正r堆
5=X（r）=
44w0.5w1
3.12第k个点邻域的局部增强直方图的值为:
Pr（rk）=nk/n（k=0,1,2,K-1）。
这里nk是灰度级为rk的像素个数，n是邻域像素的总个
数，k是图像中可能的灰度级总数。
假设此邻域从左以一个像素为步长向右移动。
这样最左面的列将被删除的同时在后面又产生一个新的列。
变化后的直方图则变成：
（k=0,1,2,•…
K-1）
这里nlk是灰度级rk在左面的列出现的次数，nrk则为在右面出现的次数。
上式也可以改写
成：
（k=0,1,2,……K-1）
同样的方法也适用于其他邻域的移动：
bk则是在移动中引入的像素数:
这里ak是灰度级rk在邻域在移动中被删除的像素数，
（k=0,1,2,……K-1）
上式等号右边的第一项为0（因为f中的元素均为常数）
。
变量是噪声的简单抽样，它的方
差是。
因此并且我们可以得到。
上述过程证明了式
12
—（xy）的有效性。
g（x,y）K（
*3.19W曄出求甘讪側的中值踽集
/
（b）试黜-魄鱷地移期域的中心来更新中值的枝术
（A）中值是［（n21）/2］的最大值
（B）—旦中值被找出，我们简单的删除邻域边缘的值，在合适的位置插入合适的值
勺3加证明如式（3.6-3）JS示的拉普拉斯变换是备向同牲的備转不变的）「您将需要下列转白角粘际方程：
“兀&诃-/sin^
¥=丫仙9+¥&詔
r*
其中区刃为未症转的坐标.而（此力为施转后的坐标。
2222
一一一2f2f2f2f
旋转的角度，若想证明拉普拉斯变换是各向同性的，只需证明一2一2一2一1,
xyxy
ffx
f
y
f
f.
首先，
1
J
cos
sin
xxx
y
x
x
y
两边对
x'求导得，
2f
2f2
f、•
/f、
2f.2
2
2cos
（-
）sin
cos
（）cossin
2sin
（1）
x
x
x
y
yx
y
等同于对图像进行非锐化模板处理。
2f[f（x1,y）f（x1,y）f（x,y1）
考虑到下列公式
-=/（x.y）-\f（x+1,1/）+/（x-l,v）+他用+1）
+/（£卩一1）一好仗.y）]
=仗4）一[/（芒+】切+fO-1,期）+f（心#十1）+『（©"-丄）+
=5{l-2/（rr.y）-
t[f仗-1.y）+f（x-J,讪4f（x.妙一1）
=5'l-2/（站御一子（込小]
其中f（x,y）是f（x,y）预先确定的临域的平均数，更确切的说就是以（x,y）为中心并且包
括中心像素以及四个相邻像素。
把上面的等式的最后一行的常量视为均衡因子（或比例因子），我们可以写出
f（x,y）2f（x,y）f（x,y）f（x,y）
等式的右端就是等式fs（x,y）f（x,y）f（x,y）给出的非锐化掩膜处理的定义。
因此验证
了从一幅图像中间取相应的拉普拉斯图像等同于对图像做非锐化掩膜处理。
3.29题
G证明式（3.641）给出的梯度幅值是一种各向同性的操作（见习题3.24）：
⑹如果便用式（3.6-12）计佛梯度.证明苴将失去各向同性这一性质
（a）由
因此,我们看到的梯度向量的模值是一种各向同性梯度算子
|Gx'||~||cos
xx
—sin|，y
|Gy'|J|Vin
一cosy
显然得到|Gx'||Gy'||Gx||Gy|
4.1重复例4.1，但是用函数f（t）2A（W/4W/4）和f（t）0,对于其他所有
的t值。
对你的结果和例子中的结果之间的任何不同，解释原因。
解：
ftej2tdt
jW
~2
ej
Qsin
2j
2A.W
sin-
Wsin
AW
傅立叶变换的幅值是不变的；由于周期不同,
tnTej2tdt
F在两个方向上是无限周期的，周期为1/T
证明：
根据如下式子：
可得:
Ha）=F（闪★，§（“）=£FEO-r）Jr
=—^Vf尸（厂）$——dr
a八土丄/IAir
片（“+切1/△门）
M=—00*
-占if卜却
m=—soxy
=也）
其中上式第三行，由于
（2）同样的需要证明
k,n是整数，且和的极限是关于原点对称。
P^+kJKr）=F（p）k=o,±it±2ML
根据如下式子:
ftej2
tdt
tnTej2tdttnTej2tdt
fnej2n
Tt
可得:
00
“=一*
00
，^e-j2n^nSTe-j27ikn
F匸一X
j2kn
其中第三行由于k,n都为整数，所以e
4.3可以证明（Brancewell[2000]）1
证明：
根据一维傅里叶变换公式：
og一迥
/（/）=yr
f7=—X-
Tl2严n：
纟救5二jf（f）e71dt
”=0,±1*±2,…
可得：
F（u）f（tej2utdt
cos（2nt）eJ2utdt
1
2
[eJ2nt
eJ2nt]eJ2utdt
1
eJ2nte
J2utdt1eJ2nteJ2utdt
2
2
根据傅里叶变换性质可得:
根据一个常数f（t）=i的傅里叶变换是一个脉冲响应可得：
⑴E的如0占（“一小）
所以可得如下两个等式：
（1）ej2nt（n）
（1）e-j2nt（+n）
所以：
4.4考虑连续函数f（t）cos（2nt）
成fX的相似特性。
证明:
F（u）
（2）同理可以对449式周期性的证明，将uukM代入4.4.7式
=fx
4.10证明一个变量的离散卷积定理的正确性［见式（4.2-21）、式（4.2-22）和式（4.2-10）]
证明：
证明卷积定理等价于证明
f（x）h（x）
F（u）H（u）
和
f（x）h（x）
F（u）H（u）
从式4.4.10
M1
f（x）h（x）f（m）h（xm）m0
M1
和式4.4.6Fuf（x）ej2ux/M,u0,1,2,K,M1离散傅里叶变换的定义，得到：
n0
M1M1
f（x）h（x）f（m）h（xm）ej2ux/M
x0m0
M1M1
f（m）h（xm）ej2ux/M
m0x0
M1
j2um/M
f（m）H（u）e
m0
M1
j2um/M
H（u）f（m）e
m0
H（u）F（u）
同理可以证明f（x）h（x）F（u）H（u）
4.11写出二维连续卷积的表达式
对4220式进行卷积运算得到:
f（t,z）h（t,z）f（,）h（t,z）dd
4.14证明一维连续和离散傅里叶变换都是线性操作
解：
若连续傅里叶变换
广DCAGO
F（出管）=g［/（匚乞）］二I/（f
J—gJ—00
是线性的，只需证明：
3［a\fi（ttz）+a2f2（t^=^13［齐匕胡
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