同角三角函数的基本关系 知识点与题型归纳讲解.docx

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同角三角函数的基本关系知识点与题型归纳讲解

●高考明方向

1.理解同角三角函数的基本关系式：

sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.

2.能利用单位圆中的三角函数线

推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．

★备考知考情

　同角关系式和诱导公式中的π±α，±α是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题，主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法.

一、知识梳理《名师一号》P47

知识点一同角三角函数的基本关系

平方关系：

商数关系：

注意：

《名师一号》P50问题探究问题1

在利用同角三角函数的基本关系中应注意哪些技巧？

利用同角三角函数基本关系式化简求值时，

涉及两个同角基本关系sin2α＋cos2α＝1和tanα＝，它们揭示同一角α的各三角函数间的关系，

需要在复习中通过解题、理解、掌握．

尤其是利用sin2α＋cos2α＝1及变形形式sin2α＝1－cos2α或cos2α＝1－sin2α进行开方运算时，要注意符号判断．

知识点二诱导公式

记忆口诀:

奇变偶不变，符号看象限!

注意：

《名师一号》P50问题探究问题2

诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，

符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？

无关，只是把α从形式上看作锐角，

从而2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α，－α，＋α

分别是第一、三、四，二、一、二象限角．

二、例题分析：

（一）求值

例1．

（1）《名师一号》P50对点自测4

（09全国卷Ⅰ文）

的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

答案：

A

例1．（补充）

（2）

的值为

答案：

例1．（补充）（3）

的值为

答案：

注意：

（补充）

求任意角的三角函数值：

负化正

正化主

主化锐

例1.（4）《名师一号》P51高频考点例2

（1）

（2014·安徽卷）设函数f（x）（x∈R）满足f（x＋π）＝f（x）＋sinx.当0≤x<π时，f（x）＝0，则f＝（　　）

A.　　　B.　　　C．0　　　D．－

解:

（1）由题意得f＝f＋sin

＝f＋sin＋sin＝f＋sin＋sin

＋sin＝0＋－＋＝.

练习:

（补充）（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

由于正弦函数

在区间

上为递增函数，因此

，即

。

练习：

如图所示的程序框图，运行后输出结果为（　　）

A．1B．2680C．2010D．1340

答案：

　C

例2.

（1）《名师一号》P51高频考点例1

（1）

已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________.

解:

依题意得

由此解得cos2α＝；

又α∈，因此cosα＝－.

法二:

?

利用直角三角形求解

注意：

（补充）

三角函数求值中直角三角形的运用

先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的直角三角形，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即可．

变式1:

已知α是第三象限角，tanα＝2，则cosα＝_____.

变式2:

已知tanα＝2，则cosα＝_____.

注意：

（补充）

利用同角关系由正弦、余弦、正切三个中知一求二

关注角终边所在位置对三角函数值符号的影响

练习：

已知

，求

和

。

【答案】当

是第一象限时，

当

是第四象限时，

例2.

（2）《名师一号》P51高频考点例3

（1）

（1）记cos（－80°）＝k，那么tan100°等于（　　）

A.B．－C.D．－

解析　因为cos（－80°）＝cos80°＝k，

所以sin80°＝＝，

所以tan100°＝－tan80°＝－＝－.

例3．

（1）《名师一号》P51高频考点例2

（2）

已知tan＝，则tan＝________.

例3．

（2）（补充）已知cos＝，则sin2α＝（　　）

A．－B.C．－D.

答案：

A

注意：

（补充）关注已知角

与待求角

是否满足

或是倍半关系。

练习1:

已知

，

则

答案：

练习2:

已知cos（＋α）＝，且－π<α<－，

则cos（－α）＝________.

答案：

练习3:

已知sin＝，则sin＝______.

[答案]　

[解析]　sin＝cos

＝cos＝1－2sin2＝.

练习4:

对任意的a∈（－∞，0），总存在x0使得acosx＋a≥0成立，则sin（2x0－）的值为________．

答案：

例4．《名师一号》P52特色专题

【典例】　

（1）已知sinαcosα＝，且<α<，

则cosα－sinα的值为（　　）

A．－B.C．－D.

【规范解答】　

（1）∵<α<；

∴cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|.

∴cosα－sinα>0.

又（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，

∴cosα－sinα＝.

（2）已知sin（π－α）－cos（π＋α）＝（<α<π），

则sinα－cosα＝________.

【规范解答】　

（2）由sin（π－α）－cos（π＋α）＝.

得sinα＋cosα＝，①

将①两边平方得1＋2sinαcosα＝，

故2sinαcosα＝－.

∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα

＝1－＝.

又∵<α<π，∴sinα>0，cosα<0.

∴sinα－cosα＝.

【名师点评】　

解决此类问题的关键是等式（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.但要特别注意对sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα符号的关注．

数学思想系列之（三）

sinα±cosα及sinαcosα间的方程思想

对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，已知其中的一个式子的值，可利用公式（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，求其余两式的值，体现了方程思想的应用．

6月19日15班讲解至此

例5．（补充）

（2）已知

，

则

答案：

注意：

（补充）

（1）

（2）利用

，进行切化弦

涉及

的问题

常采用平方法求解

例4．（3）《名师一号》P51高频考点例3

（2）

已知sin＝a（a≠±1，a≠0）．

求cos·tan＋的值．

解　cos·tan＋

＝－cos·tan＋

＝－sin－＝－a－＝.

练习：

已知

①求

的值；

②求

的值

答案：

①

②

练习：

已知

是方程

的两个根，

，求角

．

答案：

或

（舍去）

法二：

例5．

（1）《名师一号》P50对点自测2

若tanα＝2，则的值为（　　）

A．－B．－C.D.

解析　＝＝＝.

例5．

（1）《名师一号》P51高频考点例1

（2）

已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是（　　）

A.B．－C．－2D．2

解:

由＝5，得＝5，即tanα＝2.

所以sin2α－sinαcosα＝

＝＝.

注意：

（补充）

知

的值，求关于

齐次式的值

（1）利用

将关于

齐次整式化为

关于

齐次分式，如

等。

（2）利用

，进行弦化切，

即将关于

齐次分式的分子、分母

同除以

等转化为关于

的表达式求解。

周练15-16

（2）

16、（本小题满分12分）已知

．

求

的值；

求

的值．

（二）化简

例1.（补充）化简：

·

分析：

“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标．

解析：

原式＝·

＝

＝·

注意：

《名师一号》P48高频考点例2规律方法

注意：

《名师一号》P51问题探究问题3

三角函数值求值与化简有哪些常用方法？

（1）弦切互化法：

主要利用公式tanα＝化成正、余弦．

（2）和积转换法：

利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．

（3）巧用“1”的变换：

1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ（1＋tan2θ）＝tan＝….

课后作业

计时双基练P243基础1-11、培优1-4

课本P51变式思考1、2、3；对应训练1、2

预习第三章第三节

两角和与差的正弦、余弦、正切公式