例题4:
(2012广西河池10分)随着人们环保意识的不断增强,我市家庭电动自行车拥有量逐年增加.据统计,某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆,2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.
(1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同,
则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆?
(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资3万元再建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车
位1000元/个,露天车位200元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,则该小区最多可建两种车位各多少个?
试写出所有可能的方案.
巩固练习
1、(2012湖北孝感12分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:
无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1、x2是原方程的两根,且|x1-x2|=2
,求m的值和此时方程的两根.
115.(2012湖北鄂州10分)某私营服装厂根据2011年市场分析,决定2012年调整服装制作方案,准备
每周(按120工时计算)制作西服、休闲服、衬衣共360件,且衬衣至少60件。
已知每件服装的收入和
所需工时如下表:
服装名称
西服
休闲服
衬衣
工时/件
收入(百元)/件
3
2
1
设每周制作西服x件,休闲服y件,衬衣z件。
(1)请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y的代数式表示衬衣的件数z。
(2)求y与x之间的函数关系式。
(3)问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时,才能使总收入最高?
最高总收入是多少?
3、(2012湖北黄冈12分)某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2400元,销售单价
定为3000元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种
新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购
买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600元.
(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600元?
(2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,
并写出自变量x的取值范围.
(3)该公司的销售人员发现:
当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多,公司所获的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?
(其它销售条件不变)
4、(2012广东河源9分)
(1)已知方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1、x2,求证:
x1+x2=-p,x1·x2=q.
(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于点A、B,且过点(―1,―1),设线段AB的长为d,当p为
何值时,d2取得最小值并求出该最小值.
5、(2012黑龙江牡丹江10分)某校为了更好地开展球类运动,体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个,并且篮球的单价比足球的单价多20元,请解答下列问题:
(1)求出足球和篮球的单价;
(2)若学校欲用不超过3240元,且不少于3200元再次购进两种球50个,求出有哪几种购买方案?
(3)在
(2)的条件下,若已知足球的进价为50元,篮球的进价为65元,则在第二次购买方案中,哪种方案商家获利最多?
6、(2012新疆区12分)库尔勒某乡A,B两村盛产香梨,A村有香梨200吨,B村有香梨300吨,现将这些香梨运到C,D两个冷藏仓库.已知C仓库可储存240吨,D仓库可储存260吨,从A村运往C,D两处的费用分别为每吨40元和45元;从B村运往C,D两处的费用分别为每吨25元和32元.设从A村运往C仓库的香梨为x吨,A,B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元,yB元.
(1)请填写下表,并求出yA,yB与x之间的函数关系式;
C
D
总计
A
x吨
200吨
B
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
(2)当x为何值时,A村的运费较少?
(3)请问怎样调运,才能使两村的运费之和最小?
求出最小值.
7、(08江苏南通28题)(14分)已知双曲线
与直线
相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线
上的动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线
于点E,交BD于点C.
(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.
(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.
(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.
代数综合问题--参考答案
例题1:
【答案】解:
(1)设大货车用x辆,则小货车用(18-x)辆,根据题意得
16x+10(18-x)=228,解得x=8,∴18-x=18-8=10。
答:
大货车用8辆,小货车用10辆。
(2)w=720a+800(8-a)+500(9-a)+650[10-(9-a)]=70a+11550,
∴w=70a+11550(0≤a≤8且为整数)。
(3)由16a+10(9-a)≥120,解得a≥5。
又∵0≤a≤8,∴5≤a≤8且为整数。
∵w=70a+11550,k=70>0,w随a的增大而增大,
∴当a=5时,w最小,最小值为W=70×5+11550=11900。
答:
使总运费最少的调配方案是:
5辆大货车、4辆小货车前往甲地;3辆大货车、6辆小货车前往乙地.最少运费为11900元。
【考点】一元一次方程和一次函数的应用
【分析】
(1)设大货车用x辆,则小货车用18-x辆,根据运输228吨物资,列方程求解。
(2)设前往甲地的大货车为a辆,则前往乙地的大货车为(8-a)辆,前往甲地的小货车为(9-a)辆,前往乙地的小货车为[10-(9-a)]辆,根据表格所给运费,求出w与a的函数关系式。
(3)结合已知条件,求a的取值范围,由
(2)的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。
例题2:
【答案】解:
(1)设改造一所A类学校的校舍需资金x万元,改造一所B类学校的校舍所需资金y万元,
则
,解得
。
答:
改造一所A类学校和一所B类学校的校舍分别需资金90万元,130万元。
(2)设A类学校应该有a所,则B类学校有(8-a)所.
则
,解得
。
∴1≤a≤3,即a=1,2,3。
∴共有3种改造方案:
方案一:
A类学校有1所,B类学校有7所;方案二:
A类学校有2所,B类学校有6所;方案三:
A类学校有3所,B类学校有5所。
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。
【分析】
(1)方程(组)的应用解题关键是找出等量关系,列出方程(组)求解。
本题等量关系为:
改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元;
改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元。
(2)不等式(组)的应用解题关键是找出不等量关系,列出不等式(组)求解。
本题不等量关系为:
地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210;
国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770。
例题3:
【答案】解:
(1)设购进甲种服装x件,则乙种服装是(200-x)件,
根据题意得:
180x+150(200-x)=32400,
解得:
x=80,200-x=200-80=120。
∴购进甲、乙两种服装80件、120件。
(2)设购进甲种服装y件,则乙种服装是(200-y)件,根据题意得:
,解得:
70≤y≤80。
∵y是正整数,∴共有11种方案。
(3)设总利润为W元,则W=(140-a)y+130(200-y),即w=(10-a)y+26000。
①当0<a<10时,10-a>0,W随y增大而增大,
∴当y=80时,W有最大值,此时购进甲种服装80件,乙种服装120件。
②当a=10时,
(2)中所有方案获利相同,所以按哪种方案进货都可以。
③当10<a<20时,10-a<0,W随y增大而减小,
∴当y=70时,W有最大值,此时购进甲种服装70件,乙种服装130件。
【考点】一元一次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。
【分析】
(1)设购进甲种服装x件,则乙种服装是(200-x)件,根据两种服装共用去32400元,即可列出方程,从而求解。
(2)设购进甲种服装y件,则乙种服装是(200-y)件,根据总利润(利润=售价-进价)不少于26700元,且不超过26800元,即可得到一个关于y的不等式组,解不等式组即可求得y的范围,再根据y是正整数整数即可求解。
(3)首先求出总利润W的表达式,然后针对a的不同取值范围进行讨论,分别确定其进货方案。
例题4:
【答案】解:
(1)设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x,则
125(1+x)2=180,解得x1=0.2=25%,x2=-2.2(不合题意,舍去)。
∴180(1+20%)=216(辆)。
答:
该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆。
(2)设该小区可建室内车位a个,露天车位b个,则
,
由①得b=150-5a,代入②得20≤a≤
∵a是正整数,∴a=20或21。
当a=20时b=50;当a=21时b=45。
∴方案一:
建室内车位20个,露天车位50个;
方案二:
室内车位21个,露天车位45个。
【考点】一元二次方程和一元一次不等式组的应用。
【分析】
(1)设年平均增长率是x,根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆,2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆,可求出增长率,进而可求出到2012年底家庭电动车将达到多少辆。
(2)设建x个室内车位,根据投资钱数可表示出露天车位,根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的3倍,可列出不等式组求解,进而可求出方案情况。
巩固练习
答案
1、【答案】解:
(1)证明:
由关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0得
△=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4,
∵无论m取何值,(m+1)2+4恒大于0,
∴原方程总有两个不相等的实数根。
(2)∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=-(m+3),x1•x2=m+1。
∵|x1-x2|=2
,∴(x1-x2)2=8,即(x1+x2)2-4x1x2=8。
∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8,即m2+2m-3=0。
解得:
m1=-3,m2=1。
当m=-3时,原方程化为:
x2-2=0,解得:
x1=
,x2=-
。
当m=1时,原方程化为:
x2+4x+2=0,解得:
x1=-2+
,x2=-2-
。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】
(1)根据关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定该方程的根的情况。
(2)根据根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2,由已知条件|x1-x2|=2
平方后可以得到关于x1+x2和x1•x2的等式,从而列出关于m的方程,通过解该方程即可求得m的值,最后将m值代入原方程并解方程。
2、【答案】解:
(1)从件数方面:
z=360-x-y,
从工时数方面:
由
x+
y+
z=120整理得:
z=480-2x-
y。
(2)由
(1)得360-x-y=480-2x-
y,整理得:
y=360-3x。
(3)由题意得总收入s=3x+2y+z=3x+2(360-3x)+2x=-x+720
由题意得
,解得30≤x≤120。
由一次函数的性质可知,当x=30的时候,s最大,即当每周生产西服30件,休闲服
270件,衬衣60件时,总收入最高,最高总收入是690百元。
【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。
【分析】
(1)根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x,y的关系式表示z。
(2)由
(1)整理得:
y=360-3x。
(3)由题意得s=3x+2y+z,化为一个自变量,得到关于x的一次函数。
由题意得
,
解得30≤x≤120,从而根据一次函数的性质作答。
3、【答案】解:
(1)设件数为x,依题意,得3000-10(x-10)=2600,解得x=50。
答:
商家一次购买这种产品50件时,销售单价恰好为2600元。
(2)当0≤x≤10时,y=(3000-2400)x=600x;
当10<x≤50时,y=[3000-10(x-10)-2400]x,即y=-10x2+700x;
当x>50时,y=(2600-2400)x=200x。
∴
。
(3)由y=-10x2+700x可知抛物线开口向下,当
时,利润y有最大值,
此时,销售单价为3000-10(x-10)=2750元,
答:
公司应将最低销售单价调整为2750元。
【考点】二次函数的应用。
【分析】
(1)设件数为x,则销售单价为3000-10(x-10)元,根据销售单价恰好为2600元,列方程求解。
(2)由利润y=销售单价×件数,及销售单价均不低于2600元,按0≤x≤10,10<x≤50,x>50三种情况列出函数关系式。
(3)由
(2)的函数关系式,利用二次函数的性质求利润的最大值,并求出最大值时x的值,确定销售单价。
4、【答案】
(1)证明:
∵a=1,b=p,c=q,p2﹣4q≥0,
∴
。
(2)解:
把(﹣1,﹣1)代入y=x2+px+q得p﹣q=2,即q=p﹣2。
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)。
∵d=|x1﹣x2|,
∴d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=(p﹣2)2+4。
∴当p=2时,d2的最小值是4。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,抛物线与x轴的交点,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值。
【分析】
(1)根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。
【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值,再求出两根的和与积即可】
(2)把点(﹣1,﹣1)代入抛物线的解析式,再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式,应用二次函数的最值原理即可得出结论。
5、【答案】解:
(1)设足球的单价为x元,则篮球的单价为x+20元,
根据题意,得8x+14(x+20)=1600,
解得x=60。
x+20=80。
答:
足球的单价为60元,则篮球的单价为80元。
(2)设购进足球y个,则购进篮球50-y个。
根据题意,得
,解得
。
∵y为整数,∴y=38,39,40。
当y=38,50-y=12;当y=39,50-y=11;当y=40,50-y=10。
∴有三种方案:
方案一:
购进足球38个,则购进篮球12个;
方案二:
购进足球39个,则购进篮球11个;
方案一:
购进足球40个,则购进篮球10个。
(3)商家售的利润:
38(60-50)+12(80-65)=560(元);
商家售方案二的利润:
39(60-50)+11(80-65)=555(元);
商家售方案三的利润:
40(60-50)+10(80-65)=550(元)。
∴第二次购买方案中,方案一商家获利最多。
【考点】一元一次方程和一元一次不等式组的应用,
【分析】
(1)设足球的单价为x元,则篮球的单价为x+20元,根据“用1600元购进足球8个和篮球14个”列方程求解即可。
(2)设购进足球y个,则购进篮球50-y个,根据“不超过3240元,且不少于3200元再次购进两种球”列不等式组求解即可。
(3)求出三种方案的利润比较即可。
6、【答案】解:
(1)填表如下:
C
D
总计
A
x吨
(200﹣x)吨
200吨
B
(240﹣x)吨
(60+x)吨
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
由题意得:
yA=40x+45(200﹣x)=﹣5x+9000;
yB=25(240﹣x)+32(60+x)=7x+7920。
(2)对于yA=﹣5x+9000(0≤x≤200),
∵k=﹣5<0,∴此一次函数为减函数,
∴当x=200吨时,yA最小,其最小值为﹣5×200+9000=8000(元)。
(3)设两村的运费之和为W(0≤x≤200),
则W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920,
∵k=2>0,∴此一次函数为增函数,
∴当x=0时,W有最小值,W最小值为16920元。
∴按如下方案调运,两村的运费之和最小,最小值为16920元。
C
D
A
0吨
200吨
B
40吨
240吨
【考点】一次函数的应用。
【分析】
(1)由A村共有香梨200吨,从A村运往C仓库x吨,剩下的运往D仓库,故运往D仓库为(200﹣x)吨,由A村已经运往C仓库x吨,C仓库可储存240吨,故B村应往C仓库运(240﹣x)吨,剩下的运往D仓库,剩下的为300﹣(240﹣x),化简后即可得到B村运往D仓库的吨数,填表即可。
由从A村运往C,D两处的费用分别为每吨40元和45元;从B村运往C,D两处的费用分别
为每吨25元和32元,由表格中的代数式,即可分别列出yA,yB与x之间的函数关系式。
(2)由第一问表示出的yA与x之间的函数关系式得到此函数为一次函数,根据x的系数为负数,得到此一次函数为减函数,且0≤x≤200,故x取最大200时,yA有最小值,即为A村的运费较少时x的值。
(3)设两村的运费之和为W,W=yA+yB,把第一问表示出的两函数解析式代入,合并后得到W为关于x的一次函数,且x的系数大于0,可得出此一次函数为增函数,可得出x=0时,W有最小值,将x=0代入W关于x的函数关系式中,即可求出W的最小值。
7、
(08江苏南通28题解析)解:
(1)∵D(-8,0),∴B点的横坐标为-8,代入
中,得y=-2.
∴B点坐标为(-8,-2).而A、B两点关于原点对称,∴A(8,2).
从而
.……………………………………………………………………3分
(2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A、B、M、E四点均在双曲线上,
∴
,B(-2m,-
),C(-2m,-n),E(-m,-n).……………4分
S矩形DCNO
,S△DBO=
,S△OEN=
,………………7分
∴S四边形OBCE=S矩形DCNO-S△DBO-S△OEN=k.∴
.…………………………8分
由直线
及双曲线
,得A(4,1),B(-4,-1),
∴C(-4,-2),M(2,2).………………………………………………………9分
设直线CM的解析式是
,由C、M两点在这条直线上,得
解得
.
∴直线CM的解析式是
.………………………………………………11分
(3)如图,分别作AA1⊥x轴,MM1⊥x轴,垂足分别为A1、M1.
设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为-a.于是
.
同理
,……………………………13分
∴
.……………………14分