数值分析课后习题与解答.docx
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数值分析课后习题与解答
课后习题解答
第一章绪论
习题一
1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f（x）=lnx的误差限。
解：
求lnx的误差极限就是求f（x）=lnx的误差限，由公式（1.2.4）有
已知x*的相对误差
满足
，而
，故
即
2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：
直接根据定义和式（1.2.2）（1.2.3）则得
有5位有效数字，其误差限
，相对误差限
有2位有效数字，
有5位有效数字，
3.下列公式如何才比较准确？
（1）
（2）
解：
要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）
（2）
4.近似数x*=0.0310,是3位有数数字。
5.计算
取
，利用：
式计算误差最小。
四个选项：
第二、三章插值与函数逼近
习题二、三
1.给定
的数值表
用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.
解：
仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值
误差限
，因
，故
二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值
误差限
，故
2.在-4≤x≤4上给出
的等距节点函数表，若用二次插值法求
的近似值，要使误差不超过
，函数表的步长h应取多少?
解：
用误差估计式（5.8），
令
因
得
3.若
，求
和
.
解：
由均差与导数关系
于是
4.若
互异，求
的值，这里p≤n+1.
解：
，由均差对称性
可知当
有
而当P＝n＋1时
于是得
5.求证
.
解：
解：
只要按差分定义直接展开得
6.已知
的函数表
求出三次Newton均差插值多项式，计算f（0.23）的近似值并用均差的余项表达式估计误差.
解：
根据给定函数表构造均差表
由式（5.14）当n=3时得Newton均差插值多项式
N3（x）=1.0067x+0.08367x（x-0.2）+0.17400x（x-0.2）（x-0.3）
由此可得
f（0.23）N3（0.23）=0.23203
由余项表达式（5.15）可得
由于
7.给定f（x）=cosx的函数表
用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差
解：
先构造差分表
计算
，用n=4得Newton前插公式
误差估计由公式（5.17）得
其中
计算
时用Newton后插公式（5.18）
误差估计由公式（5.19）得
这里
仍为0.565
8．求一个次数不高于四次的多项式p（x）,使它满足
解：
这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
此处可先造
使它满足
，显然
，再令
p（x）=x2（2-x）+Ax2（x-1）2
由p
（2）=1求出A＝，于是
9.令
称为第二类Chebyshev多项式，试求
的表达式，并证明
是［-1,1］上带权
的正交多项式序列。
解：
因
10.用最小二乘法求一个形如
的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.
解：
本题给出拟合曲线
，即
，故法方程系数
法方程为
解得
最小二乘拟合曲线为
均方程为
11.填空题
（1）满足条件
的插值多项式p（x）=（ ）.
（2）
则f［1,2,3,4］=（ ），f［1,2,3,4,5］=（ ）.
（3）设
为互异节点，
为对应的四次插值基函数，则
＝（ ），
＝（ ）.
（4）设
是区间［0,1］上权函数为ρ（x）=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中
，则
＝（ ），
＝（ ）
答：
（1）
（2）
（3）
（4）
第4章 数值积分与数值微分
习题4
1.分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.
解 本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合Simpson公式（6.13）直接计算即可。
对
，取n=8,在分点处计算f（x）的值构造函数表。
按式（6.11）求出
，按式（6.13）求得
，积分
2.用Simpson公式求积分
，并估计误差
解：
直接用Simpson公式（6.7）得
由（6.8）式估计误差，因
，故
3.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.
（1）
（2）
（3）
解：
本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。
（1）令
代入公式两端并使其相等，得
解此方程组得
，于是有
再令
，得
故求积公式具有3次代数精确度。
（2）令
代入公式两端使其相等，得
解出
得
而对
不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。
（3）令
代入公式精确成立，得
解得
，得求积公式
对
故求积公式具有2次代数精确度。
4.计算积分
，若用复合Simpson公式要使误差不超过
，问区间
要分为多少等分?
若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间
应分为多少等分?
解：
由Simpson公式余项及
得
即
，取n=6，即区间
分为12等分可使误差不超过
对梯形公式同样
，由余项公式得
即
取n=255才更使复合梯形公式误差不超过
5.用Romberg求积算法求积分
，取
解：
本题只要对积分
使用Romberg算法（6.20），计算到K＝3，结果如下表所示。
于是积分
，积分准确值为0.713272
6．用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.
解：
本题直接应用三点Gauss公式计算即可。
由于区间为
，所以先做变换
于是
本题精确值
7．用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分
解：
本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算
即
于是
，因n=2,即为三点公式，于是
，即
故
8.试确定常数A，B，C，及α，使求积公式
有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式?
解：
本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令
对公式精确成立，得到
由
（2）（4）得A=C，这两个方程不独立。
故可令
，得
（5）
由（3）（5）解得
，代入
（1）得
则有求积公式
令
公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。
三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。
第五章 解线性方程组的直接法
习题五
1.用Gauss消去法求解下列方程组.
解 本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。
故
2.用列主元消去法求解方程组
并求出系数矩阵A的行列式detA的值
解：
先选列主元
，2行与1行交换得
消元
3行与2行交换
消元
回代得解
行列式得
3.用Doolittle分解法求
的解.
解：
由矩阵乘法得
再由
求得
由
解得
4.下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?
解：
A中
，若A能分解，一步分解后，
，相互矛盾，故A不能分解，但
，若A中1行与2行交换，则可分解为LU
对B，显然
，但它仍可分解为
分解不唯一，
为一任意常数，且U奇异。
C可分解，且唯一。
5.用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中
解：
用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得
6.用平方根法解方程组
解：
用
分解直接算得
由
及
求得
7.设
，证明
解：
即
，另一方面
故
8．设
计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数
解：
故
9．设
为
上任一种范数，
是非奇异的，定义
，证明
证明：
根据矩阵算子定义和
定义，得
令
，因P非奇异，故x与y为一对一，于是
10.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计
.
，即
，即
解：
记
则
的解
，而
的解
故
而
由（3.12）的误差估计得
表明估计
略大，是符合实际的。
11.是非题（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：
题目中
（1）若A对称正定,
则
是
上的一种向量范数 （ ）
（2）定义
是一种范数矩阵 （ ）
（3）定义
是一种范数矩阵 （ ）
（4）只要
，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵 （ ）
（5）只要
，则总可用列主元消去法求得方程组
的解 （ ）
（6）若A对称正定,则A可分解为
，其中L为对角元素为正的下三角阵 （ ）
（7）对任何
都有
（ ）
（8）若A为正交矩阵，则
（ ）
答案：
（1）（＋）
（2）（－）（3）（＋）（4）（－）
（5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋）
第六章 解线性方程组的迭代法
习题六
1.证明对于任意的矩阵A，序列
收敛于零矩阵
解：
由于
而
故
2.方程组
（1）考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.
（2）写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以
计算到
为止
解：
因为
具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。
（2）J法得迭代公式是
取
，迭代到18次有
GS迭代法计算公式为
取
3.设方程组
证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散
解：
Jacobi迭代为
其迭代矩阵
，谱半径为
，而Gauss-Seide迭代法为
其迭代矩阵
，其谱半径为
由于
，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。
4.下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?
解：
Jacobi法的迭代矩阵是
即
，故
，J法收敛、
GS法的迭代矩阵为
故
，解此方程组的GS法不收敛。
5.设
，detA≠0，用
b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.
解 J法迭代矩阵为
，故J法收敛的充要条件是
。
GS法迭代矩阵为
由
得GS法收敛得充要条件是
6.用SOR方法解方程组（分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1）
精确解
，要求当
时迭代终止，并对每一个ω值确定迭代次数
解：
用SOR方法解此方程组的迭代公式为
取
，当
时，迭代5次达到要求
若取
，迭代6次得
7.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使
那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?
解：
J法的迭代矩阵为
，故
，因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子
J法收敛速度
由于
，故
若要求
，于是迭代次数
对于J法
，取K＝15
对于GS法
，取K＝8
对于SOR法
，取K＝5
8.填空题
（1）
要使
应满足（）.
（2）已知方程组
，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R（B）=（）.
（3）设方程组Ax=b,其中
其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.
（4）用GS法解方程组
，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.
（5）给定方程组
a为实数.当a满足（），且0＜ω＜2时SOR迭代法收敛.
答:
（1）
（2）J法是收敛的，
（3）J法迭代矩阵是
，GS法迭代矩阵
（4）
满足
（5）
满足
第七章 非线性方程求根
习题七
1.用二分法求方程
的正根，使误差小于0.05
解 使用二分法先要确定有根区间
。
本题f（x）=x2-x-1=0,因f
（1）=-1,f
（2）=1,故区间[1,2]为有根区间。
另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。
用二分法计算各次迭代值如表。
其误差
2.求方程
在
=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.
（1）
，迭代公式
.
（2）
迭代公式
.
（3）
，迭代公式
.
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根
解：
（1）取区间
且
，在
且
，在
中
，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。
（2）
，在
中
，且
，在
中有
，故迭代收敛。
（3）
，在
附近
，故迭代法发散。
在迭代
（1）及
（2）中，因为
（2）的迭代因子L较小，故它比
（1）收敛快。
用
（2）迭代，取
，则
3.设方程
的迭代法
（1）证明对
均有
其中
为方程的根.
（2）取
=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过
并列出各次迭代值.
（3）此迭代法收敛阶是多少?
证明你的结论
解：
（1）迭代函数
，对
有
，
（2）取
，则有各次迭代值
取
，其误差不超过
（3）
故此迭代为线性收敛
4.给定函数
，设对一切x,
存在，而且
.证明对
的任意常数
迭代法
均收敛于方程
的根
解：
由于
，
为单调增函数，故方程
的根是唯一的（假定方程有根
）。
迭代函数
，
。
令
，则
，由递推有
，即
5.用Steffensen方法计算第2题中
（2）、（3）的近似根，精确到
解:
在
（2）中
令
则有
令
得
与第2题中
（2）的结果一致,可取
则满足精度要求.
对（3）有
原迭代不收敛.现令
令
6.用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.
（1）
在
=2附近的根.
（2）
在
=1附近的根
解：
（1）
Newton迭代法
取
，则
，取
（2）
令
，则
，取
7.应用Newton法于方程
求立方根
的迭代公式，并讨论其收敛性.
解：
方程
的根为
，用Newton迭代法
此公式迭代函数
，则
，故迭代法2阶收敛。
还可证明迭代法整体收敛性。
设
，对
一般的，当
时有
这是因为
当
时成立。
从而
，即
，表明序列
单调递减。
故对
，迭代序列收敛于
升级会员 