数值分析课后习题与解答.docx
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数值分析课后习题与解答
课后习题解答
第一章绪论
习题一
1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=lnx的误差限。
解:
求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有
已知x*的相对误差
满足
,而
,故
即
2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。
解:
直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得
有5位有效数字,其误差限
,相对误差限
有2位有效数字,
有5位有效数字,
3.下列公式如何才比较准确?
(1)
(2)
解:
要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。
(1)
(2)
4.近似数x*=0.0310,是3位有数数字。
5.计算
取
,利用:
式计算误差最小。
四个选项:
第二、三章插值与函数逼近
习题二、三
1.给定
的数值表
用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.
解:
仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。
线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值
误差限
,因
,故
二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值
误差限
,故
2.在-4≤x≤4上给出
的等距节点函数表,若用二次插值法求
的近似值,要使误差不超过
,函数表的步长h应取多少?
解:
用误差估计式(5.8),
令
因
得
3.若
,求
和
.
解:
由均差与导数关系
于是
4.若
互异,求
的值,这里p≤n+1.
解:
,由均差对称性
可知当
有
而当P=n+1时
于是得
5.求证
.
解:
解:
只要按差分定义直接展开得
6.已知
的函数表
求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.
解:
根据给定函数表构造均差表
由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式
N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)
由此可得
f(0.23)N3(0.23)=0.23203
由余项表达式(5.15)可得
由于
7.给定f(x)=cosx的函数表
用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差
解:
先构造差分表
计算
,用n=4得Newton前插公式
误差估计由公式(5.17)得
其中
计算
时用Newton后插公式(5.18)
误差估计由公式(5.19)得
这里
仍为0.565
8.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足
解:
这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。
此处可先造
使它满足
,显然
,再令
p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2
由p
(2)=1求出A=,于是
9.令
称为第二类Chebyshev多项式,试求
的表达式,并证明
是[-1,1]上带权
的正交多项式序列。
解:
因
10.用最小二乘法求一个形如
的经验公式,使它拟合下列数据,并计算均方误差.
解:
本题给出拟合曲线
,即
,故法方程系数
法方程为
解得
最小二乘拟合曲线为
均方程为
11.填空题
(1)满足条件
的插值多项式p(x)=( ).
(2)
则f[1,2,3,4]=( ),f[1,2,3,4,5]=( ).
(3)设
为互异节点,
为对应的四次插值基函数,则
=( ),
=( ).
(4)设
是区间[0,1]上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列,其中
,则
=( ),
=( )
答:
(1)
(2)
(3)
(4)
第4章 数值积分与数值微分
习题4
1.分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.
解 本题只要根据复合梯形公式(6.11)及复合Simpson公式(6.13)直接计算即可。
对
,取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。
按式(6.11)求出
,按式(6.13)求得
,积分
2.用Simpson公式求积分
,并估计误差
解:
直接用Simpson公式(6.7)得
由(6.8)式估计误差,因
,故
3.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.
(1)
(2)
(3)
解:
本题直接利用求积公式精确度定义,则可突出求积公式的参数。
(1)令
代入公式两端并使其相等,得
解此方程组得
,于是有
再令
,得
故求积公式具有3次代数精确度。
(2)令
代入公式两端使其相等,得
解出
得
而对
不准确成立,故求积公式具有3次代数精确度。
(3)令
代入公式精确成立,得
解得
,得求积公式
对
故求积公式具有2次代数精确度。
4.计算积分
,若用复合Simpson公式要使误差不超过
,问区间
要分为多少等分?
若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间
应分为多少等分?
解:
由Simpson公式余项及
得
即
,取n=6,即区间
分为12等分可使误差不超过
对梯形公式同样
,由余项公式得
即
取n=255才更使复合梯形公式误差不超过
5.用Romberg求积算法求积分
,取
解:
本题只要对积分
使用Romberg算法(6.20),计算到K=3,结果如下表所示。
于是积分
,积分准确值为0.713272
6.用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.
解:
本题直接应用三点Gauss公式计算即可。
由于区间为
,所以先做变换
于是
本题精确值
7.用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分
解:
本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算
即
于是
,因n=2,即为三点公式,于是
,即
故
8.试确定常数A,B,C,及α,使求积公式
有尽可能高的代数精确度,并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式?
解:
本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程,令
对公式精确成立,得到
由
(2)(4)得A=C,这两个方程不独立。
故可令
,得
(5)
由(3)(5)解得
,代入
(1)得
则有求积公式
令
公式精确成立,故求积公式具有5次代数精确度。
三点求积公式最高代数精确度为5次,故它是Gauss型的。
第五章 解线性方程组的直接法
习题五
1.用Gauss消去法求解下列方程组.
解 本题是Gauss消去法解具体方程组,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。
故
2.用列主元消去法求解方程组
并求出系数矩阵A的行列式detA的值
解:
先选列主元
,2行与1行交换得
消元
3行与2行交换
消元
回代得解
行列式得
3.用Doolittle分解法求
的解.
解:
由矩阵乘法得
再由
求得
由
解得
4.下述矩阵能否作Doolittle分解,若能分解,分解式是否唯一?
解:
A中
,若A能分解,一步分解后,
,相互矛盾,故A不能分解,但
,若A中1行与2行交换,则可分解为LU
对B,显然
,但它仍可分解为
分解不唯一,
为一任意常数,且U奇异。
C可分解,且唯一。
5.用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中
解:
用解对三角方程组的追赶法公式(3.1.2)和(3.1.3)计算得
6.用平方根法解方程组
解:
用
分解直接算得
由
及
求得
7.设
,证明
解:
即
,另一方面
故
8.设
计算A的行范数,列范数及F-范数和2范数
解:
故
9.设
为
上任一种范数,
是非奇异的,定义
,证明
证明:
根据矩阵算子定义和
定义,得
令
,因P非奇异,故x与y为一对一,于是
10.求下面两个方程组的解,并利用矩阵的条件数估计
.
,即
,即
解:
记
则
的解
,而
的解
故
而
由(3.12)的误差估计得
表明估计
略大,是符合实际的。
11.是非题(若"是"在末尾()填+,"不是"填-):
题目中
(1)若A对称正定,
则
是
上的一种向量范数 ( )
(2)定义
是一种范数矩阵 ( )
(3)定义
是一种范数矩阵 ( )
(4)只要
,则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵,U为非奇上三角阵 ( )
(5)只要
,则总可用列主元消去法求得方程组
的解 ( )
(6)若A对称正定,则A可分解为
,其中L为对角元素为正的下三角阵 ( )
(7)对任何
都有
( )
(8)若A为正交矩阵,则
( )
答案:
(1)(+)
(2)(-)(3)(+)(4)(-)
(5)(+)(6)(+)(7)(-)(8)(+)
第六章 解线性方程组的迭代法
习题六
1.证明对于任意的矩阵A,序列
收敛于零矩阵
解:
由于
而
故
2.方程组
(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.
(2)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以
计算到
为止
解:
因为
具有严格对角占优,故J法与GS法均收敛。
(2)J法得迭代公式是
取
,迭代到18次有
GS迭代法计算公式为
取
3.设方程组
证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散
解:
Jacobi迭代为
其迭代矩阵
,谱半径为
,而Gauss-Seide迭代法为
其迭代矩阵
,其谱半径为
由于
,故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。
4.下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解,是否收敛?
解:
Jacobi法的迭代矩阵是
即
,故
,J法收敛、
GS法的迭代矩阵为
故
,解此方程组的GS法不收敛。
5.设
,detA≠0,用
b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.
解 J法迭代矩阵为
,故J法收敛的充要条件是
。
GS法迭代矩阵为
由
得GS法收敛得充要条件是
6.用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)
精确解
,要求当
时迭代终止,并对每一个ω值确定迭代次数
解:
用SOR方法解此方程组的迭代公式为
取
,当
时,迭代5次达到要求
若取
,迭代6次得
7.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度,并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使
那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?
解:
J法的迭代矩阵为
,故
,因A为对称正定三对角阵,最优松弛因子
J法收敛速度
由于
,故
若要求
,于是迭代次数
对于J法
,取K=15
对于GS法
,取K=8
对于SOR法
,取K=5
8.填空题
(1)
要使
应满足().
(2)已知方程组
,则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛().它的渐近收敛速度R(B)=().
(3)设方程组Ax=b,其中
其J法的迭代矩阵是().GS法的迭代矩阵是().
(4)用GS法解方程组
,其中a为实数,方法收敛的充要条件是a满足().
(5)给定方程组
a为实数.当a满足(),且0<ω<2时SOR迭代法收敛.
答:
(1)
(2)J法是收敛的,
(3)J法迭代矩阵是
,GS法迭代矩阵
(4)
满足
(5)
满足
第七章 非线性方程求根
习题七
1.用二分法求方程
的正根,使误差小于0.05
解 使用二分法先要确定有根区间
。
本题f(x)=x2-x-1=0,因f
(1)=-1,f
(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。
另一根在[-1,0]内,故正根在[1,2]内。
用二分法计算各次迭代值如表。
其误差
2.求方程
在
=1.5附近的一个根,将方程改写成下列等价形式,并建立相应迭代公式.
(1)
,迭代公式
.
(2)
迭代公式
.
(3)
,迭代公式
.
试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根
解:
(1)取区间
且
,在
且
,在
中
,则L<1,满足收敛定理条件,故迭代收敛。
(2)
,在
中
,且
,在
中有
,故迭代收敛。
(3)
,在
附近
,故迭代法发散。
在迭代
(1)及
(2)中,因为
(2)的迭代因子L较小,故它比
(1)收敛快。
用
(2)迭代,取
,则
3.设方程
的迭代法
(1)证明对
均有
其中
为方程的根.
(2)取
=4,求此迭代法的近似根,使误差不超过
并列出各次迭代值.
(3)此迭代法收敛阶是多少?
证明你的结论
解:
(1)迭代函数
,对
有
,
(2)取
,则有各次迭代值
取
,其误差不超过
(3)
故此迭代为线性收敛
4.给定函数
,设对一切x,
存在,而且
.证明对
的任意常数
迭代法
均收敛于方程
的根
解:
由于
,
为单调增函数,故方程
的根是唯一的(假定方程有根
)。
迭代函数
,
。
令
,则
,由递推有
,即
5.用Steffensen方法计算第2题中
(2)、(3)的近似根,精确到
解:
在
(2)中
令
则有
令
得
与第2题中
(2)的结果一致,可取
则满足精度要求.
对(3)有
原迭代不收敛.现令
令
6.用Newton法求下列方程的根,计算准确到4位有效数字.
(1)
在
=2附近的根.
(2)
在
=1附近的根
解:
(1)
Newton迭代法
取
,则
,取
(2)
令
,则
,取
7.应用Newton法于方程
求立方根
的迭代公式,并讨论其收敛性.
解:
方程
的根为
,用Newton迭代法
此公式迭代函数
,则
,故迭代法2阶收敛。
还可证明迭代法整体收敛性。
设
,对
一般的,当
时有
这是因为
当
时成立。
从而
,即
,表明序列
单调递减。
故对
,迭代序列收敛于