213实际问题解一元二次方程.docx
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213实际问题解一元二次方程
21.3实际问题解一元二次方程
一.选择题(共12小题)
1.(2015秋•随州期末)教师节期间,某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信.据统计,全组共发了240条祝福短信,如果设全组共有x名教师,依题意,可列出的方程是( )
A.x(x+1)=240B.x(x﹣1)=240C.2x(x+1)=240D.
x(x+1)=240
2.(2015秋•江油市期末)王洪存银行5000元,定期一年后取出3000元,剩下的钱继续定期一年存入,如果每年的年利率不变,到期后取出2750元,则年利率为( )
A.5%B.20%C.15%D.10%
3.(2015秋•常州期末)某商品原价200元,连续两次降价a%后售价为148元,下列所列方程正确的是( )
A.200(1+a%)2=148B.200(1﹣a%)2=148
C.200(1﹣2×a%)=148D.148(1+a%)2=200
4.(2015秋•浦城县期末)某农场的粮食产量在两年内从2800吨增加到3090吨,若设平均每年增产的百分率为x,则所列的方程为( )
A.2800(1+2x)=3090B.(1+x)2=290
C.2800(1+x)2=3090D.2800(1+x2)=3090
5.(2015春•宁波期末)某超市一月份的营业额为300万元,第一季度的营业额共为1500万元,如果平均每月增长率为x,则由题意可列方程为( )
A.300(1+x)2=1500B.300+300×2x=1500
C.300+300×3x=1500D.300[1+(1+x)+(1+x)2]=1500
6.(2015秋•内江期末)2011年初中毕业生诊断考试)某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2450张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( )
A.x(x﹣1)=2450B.x(x+1)=2450C.2x(x+1)=2450D.
7.(2015秋•卢龙县期末)某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为108元,已知两次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x,根据题意列方程得( )
A.168(1+x)2=108B.168(1﹣x)2=108C.168(1﹣2x)=108D.168(1﹣x2)=108
8.(2015秋•岑溪市期末)某厂通过改进工艺降低了某种产品的成本,两个月内从每件产品250元降低到每件160元,则平均每月降低的百分率为( )
A.10%B.5%C.15%D.20%
9.(2015秋•揭阳校级期末)一个数的平方与这个数的3倍相等,则这个数为( )
A.0B.3C.0或3D.
10.(2015秋•三亚校级期中)某超市一月份的营业额为30万元,三月份的营业额为56万元.设每月的平均增长率为x,则可列方程为( )
A.56(1+x)2=30B.56(1﹣x)2=30C.30(1+x)2=56D.30(1+x)3=56
11.(2015秋•江津区期中)九年级
(1)班的全体同学,在新年来临之际,在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张,全班共互赠了5112张,设全班有x名同学,那么根据题意列出的方程是( )
A.x(x+1)=5112B.x(x﹣1)=5112C.x(x+1)=5112×2D.x(x﹣1)=5112×2
12.(2015秋•大冶市期中)在某次聚会上每两个人都握了一次手,所有人共握手28次.设有x人参加这次聚会,则列出方程正确的是( )
A.x(x﹣1)=28B.
x(x﹣1)=28C.x(x+1)=28D.
x(x+1)=28
二.填空题(共6小题)
13.(2016春•房县期末)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请 队参赛.
14.(2014秋•江汉区期中)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感,若每轮传染中平均每个人传染的人数相同,那么第三轮过后,共有 人患有流感.
15.(2015秋•宜兴市期末)红星化工厂要在两年内使工厂的年利润翻一番,那么在这两年中利润的年平均增长率是 .
16.(2015•东西湖区校级模拟)为落实素质教育要求,促进学生全面发展,我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑,计划以后每年以相同的增长率进行投资,2011年投资18.59万元.设该校为新增电脑投资的年平均增长率为x,根据题意得方程为:
.
17.(2015秋•巴州区校级期末)目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系,某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,根据题意,可得方程 .
18.(2014秋•平度市校级期末)如图所示,在宽为25m,长为36m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路,(互相垂直),把耕地分成大小不等的六块试验田,要使试验田的面积为590m2,道路应为多宽?
若设道路的宽为x米,根据题意可列方程 .
三.解答题(共7小题)
19.(2012•枣阳市校级模拟)中百商储服装柜在销售中发现:
“宝贝”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售量,减少库存,商场决定采取降价措施.经市场调查发现:
若每件童装每降4元,那么平均每天就可以多售出8件,要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
20.(2012•杭州模拟)由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格下调后,城区两楼盘相继开盘,小明同时看中其中的一套房,面积均为100平方米:
A楼盘每平方5000元,产权40年;B楼盘每平方12000元,产权70年.A楼盘推出一次付款享受九八折,B楼盘两次降价后为9720元,再一次性送装修费10000元.
(1)求平均每次下调的百分率.
(2)仅从产权的角度考虑,帮助小明作出选择.
21.(2012•江宁区校级模拟)大众电影院为吸引学生观看电影,推出如图的收费标准:
江南中学组织初三学生观看电影,共支付给电影院3750元,请问共组织了多少学生观看电影?
22.(2012•香坊区一模)如图,在一幅矩形地毯ABCD的四周镶有宽度都是1米的花边.设矩形地毯AB边长为x米.镶有花边后,整个地毯EFGH中FG边长为y米.
(1)若原地毯ABCD的周长为l8米,求y与x的函数关系式不要求写出自变量的取值范围);
(2)在
(1)的条件下,当整个地毯EFGH的面积是40平方米,且AB<BC时,AB的长为多少米?
23.(2012•江西模拟)在国家的宏观调控下,某县城的商品房成交价由今年1月份的5000元/m2下降到3月份的4500元/m2.
(1)问2、3两月平均每月降价的百分率(保留1位有效数字)是多少?
(可用计算器).
(2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到5月份该市的商品房成交均价是否会跌破4000元/m2?
请说明理由.
24.(2012•南漳县模拟)某中学校园内有一长100m,宽80m的长方形空地,现将其建成花园广场,设计图案如图所示,阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的矩形),其余区域为活动区,并且四周出口等宽.若绿化区的总面积恰好占空地面积30%,则每一块矩形绿化区的周长是多少?
25.(2012秋•岳池县期末)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数量的小分支,主干、支干和小分支的总数是57,每个支干长出多少小分支?
21.3实际问题解一元二次方程
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.(2015秋•随州期末)教师节期间,某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信.据统计,全组共发了240条祝福短信,如果设全组共有x名教师,依题意,可列出的方程是( )
A.x(x+1)=240B.x(x﹣1)=240C.2x(x+1)=240D.
x(x+1)=240
【分析】每个老师都要向除自己之外的老师发一条短信,让人数乘以每个老师所发短信条数等于短信总条数即为所求方程.
【解答】解:
∵全组共有x名教师,每个老师都要发(x﹣1)条短信,共发了240条短信.
∴x(x﹣1)=240.
故选B.
【点评】考查列一元二次方程;得到短信总条数的等量关系是解决本题的关键.
2.(2015秋•江油市期末)王洪存银行5000元,定期一年后取出3000元,剩下的钱继续定期一年存入,如果每年的年利率不变,到期后取出2750元,则年利率为( )
A.5%B.20%C.15%D.10%
【分析】设定期一年的利率是x,则存入一年后的本息和是5000(1+x)元,取3000元后余[5000(1+x)﹣3000]元,再存一年则有方程[5000(1+x)﹣3000]•(1+x)=2750,解这个方程即可求解.
【解答】解:
设定期一年的利率是x,
根据题意得:
一年时:
5000(1+x),
取出3000后剩:
5000(1+x)﹣3000,
同理两年后是[5000(1+x)﹣3000](1+x),
即方程为[5000(1+x)﹣3000]•(1+x)=2750,
解得:
x1=10%,x2=﹣150%(不符合题意,故舍去),即年利率是10%.
故选D.
【点评】此题考查了列代数式及一元二次方程的应用,是有关利率的问题,关键是掌握公式:
本息和=本金×(1+利率×期数),难度一般.
3.(2015秋•常州期末)某商品原价200元,连续两次降价a%后售价为148元,下列所列方程正确的是( )
A.200(1+a%)2=148B.200(1﹣a%)2=148
C.200(1﹣2×a%)=148D.148(1+a%)2=200
【分析】等量关系为:
原价×(1﹣降低的百分比)2=148,把相关数值代入即可.
【解答】解:
第一次降价后的价格为200×(1﹣a%),
第二次降价后的价格为200×(1﹣a%)2,
∴可列方程为200×(1﹣a%)2=148.
故选B.
【点评】考查列一元二次方程;得到降价后价格的等量关系是解决本题的关键.
4.(2015秋•浦城县期末)某农场的粮食产量在两年内从2800吨增加到3090吨,若设平均每年增产的百分率为x,则所列的方程为( )
A.2800(1+2x)=3090B.(1+x)2=290
C.2800(1+x)2=3090D.2800(1+x2)=3090
【分析】根据增长率的公式,列出方程.
【解答】解:
从2800吨增加到3090吨,增长年数为2,增长率为x,则方程为:
2800(1+x)2=3090.
故选C.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中的增长率问题.关键是明确增长的基数,增长次数,增长后的值.
5.(2015春•宁波期末)某超市一月份的营业额为300万元,第一季度的营业额共为1500万元,如果平均每月增长率为x,则由题意可列方程为( )
A.300(1+x)2=1500B.300+300×2x=1500
C.300+300×3x=1500D.300[1+(1+x)+(1+x)2]=1500
【分析】先得到二月份的营业额,三月份的营业额,等量关系为:
一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800,把相关数值代入即可.
【解答】解:
∵一月份的营业额为300万元,平均每月增长率为x,
∴二月份的营业额为300×(1+x),
∴三月份的营业额为300×(1+x)×(1+x)=300×(1+x)2,
∴可列方程为300+300×(1+x)+300×(1+x)2=1500.
即300[1+(1+x)+(1+x)2]=1500.
故选D.
【点评】考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键.
6.(2015秋•内江期末)2011年初中毕业生诊断考试)某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2450张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( )
A.x(x﹣1)=2450B.x(x+1)=2450C.2x(x+1)=2450D.
【分析】根据题意得:
每人要赠送(x﹣1)张相片,有x个人,然后根据题意可列出方程:
(x﹣1)x=2450.
【解答】解:
根据题意得:
每人要赠送(x﹣1)张相片,有x个人,
∴全班共送:
(x﹣1)x=2450,
故选:
A.
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,本题要注意读清题意,弄清楚每人要赠送x﹣1张相片,有x个人是解决问题的关键.
7.(2015秋•卢龙县期末)某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为108元,已知两次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x,根据题意列方程得( )
A.168(1+x)2=108B.168(1﹣x)2=108C.168(1﹣2x)=108D.168(1﹣x2)=108
【分析】设每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格(1﹣降价的百分率),则第一次降价后的价格是168(1﹣x),第二次后的价格是168(1﹣x)2,据此即可列方程求解.
【解答】解:
设每次降价的百分率为x,根据题意得:
168(1﹣x)2=108.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是根据题意找到等式两边的平衡条件,这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系,列出方程即可.
8.(2015秋•岑溪市期末)某厂通过改进工艺降低了某种产品的成本,两个月内从每件产品250元降低到每件160元,则平均每月降低的百分率为( )
A.10%B.5%C.15%D.20%
【分析】降低后的价格=降低前的价格×(1﹣降低率),如果设平均每次降价的百分率是x,则第一次降低后的价格是250(1﹣x),那么第二次后的价格是250(1﹣x)2,即可列出方程求解.
【解答】解:
如果设平均每月降低率为x,根据题意可得
250(1﹣x)2=160,
∴x1=20%,x2=180%(不合题意,舍去).
故选:
D.
【点评】本题考查一元二次方程的应用.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.(当增长时中间的“±”号选“+”,当降低时中间的“±”号选“﹣”)
9.(2015秋•揭阳校级期末)一个数的平方与这个数的3倍相等,则这个数为( )
A.0B.3C.0或3D.
【分析】设这个数是x,根据题意可列方程x2=3x,求解即可.
【解答】解:
设这个数是x
x2=3x
x=0或x=3
故选C.
【点评】本题只要设出这个数为x,想到用方程就很容易.
10.(2015秋•三亚校级期中)某超市一月份的营业额为30万元,三月份的营业额为56万元.设每月的平均增长率为x,则可列方程为( )
A.56(1+x)2=30B.56(1﹣x)2=30C.30(1+x)2=56D.30(1+x)3=56
【分析】设每月的平均增长率为x,根据某超市一月份的营业额为30万元,三月份的营业额为56万元.可列出方程.
【解答】解:
设每月的平均增长率为x,
30(1+x)2=56.
故选C.
【点评】本题考查理解题意的能力,是个增长率问题,经过两次变化可列方程.
11.(2015秋•江津区期中)九年级
(1)班的全体同学,在新年来临之际,在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张,全班共互赠了5112张,设全班有x名同学,那么根据题意列出的方程是( )
A.x(x+1)=5112B.x(x﹣1)=5112C.x(x+1)=5112×2D.x(x﹣1)=5112×2
【分析】设全班有x名同学,根据全班互赠贺卡,每人向本班其他同学各赠送一张,全班共相互赠送了5112张可列出方程.
【解答】解:
∵全班有x名同学,
∴每名同学要送出贺卡(x﹣1)张;
又∵是互送贺卡,
∴总共送的张数应该是x(x﹣1)=5112.
故选:
B.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,关键是理解题意后,类比数线段来做,互赠张数就像总线段条数,人数类似线段端点数.
12.(2015秋•大冶市期中)在某次聚会上每两个人都握了一次手,所有人共握手28次.设有x人参加这次聚会,则列出方程正确的是( )
A.x(x﹣1)=28B.
x(x﹣1)=28C.x(x+1)=28D.
x(x+1)=28
【分析】如果有x人参加了聚会,则每个人需要握手(x﹣1)次,x人共需握手x(x﹣1)次;而每两个人都握了一次手,因此要将重复计算的部分除去,即一共握手:
x(x﹣1)次;已知“所有人共握手28次”,据此可列出关于x的方程.
【解答】解:
设x人参加这次聚会,则每个人需握手:
(x﹣1)次,
根据题意得:
x(x﹣1)=28.
故选B.
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用,关键是理清题意,找对等量关系,需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件,类似于球类比赛的单循环赛制.
二.填空题(共6小题)
13.(2016春•房县期末)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请 8 队参赛.
【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛,则每个队参加(x﹣1)场比赛,则共有
场比赛,可以列出一个一元二次方程,求解,舍去小于0的值,即可得所求的结果.
【解答】解:
∵赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,
∴共7×4=28场比赛.
设比赛组织者应邀请x队参赛,
则由题意可列方程为:
=28.
解得:
x1=8,x2=﹣7(舍去),
所以比赛组织者应邀请8队参赛.
故答案为:
8.
【点评】本题是一元二次方程的求法,虽然不难求出x的值,但要注意舍去不合题意的解.
14.(2014秋•江汉区期中)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感,若每轮传染中平均每个人传染的人数相同,那么第三轮过后,共有 512 人患有流感.
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人,根据经过两轮传染后共有64人患了流感,可求出x,进而求出第三轮过后,共有多少人感染.
【解答】解:
设每轮传染中平均每人传染了x人,
1+x+x(x+1)=64
x=7或x=﹣9(舍去).
64+64×7=512(人).
经过第三轮后,共有512人患有流感.
故答案为:
512.
【点评】本题考查理解题意的能力,先求出每轮传染中平均每人传染了多少人,然后求出三轮过后,共有多少人患病.
15.(2015秋•宜兴市期末)红星化工厂要在两年内使工厂的年利润翻一番,那么在这两年中利润的年平均增长率是
﹣1 .
【分析】年利润翻一番就是原来的两倍,设在这两年中利润的年平均增长率是x,原来的年利润为1,那么第一年的年利润为1+x,第二年的年利润为(1+x)(1+x),然后根据年利润翻一番列出方程,解方程即可求出结果.
【解答】解:
设在这两年中利润的年平均增长率是x,原来的年利润为1,
依题意得(1+x)2=2,
∴1+x=±
,
∴x=
﹣1,或x=﹣
﹣1(负值舍去).
∴在这两年中利润的年平均增长率是
﹣1.
故答案为
﹣1.
【点评】此题主要考查了增长率的问题,一般公式为原来的量×(1±x)2=后来的量,增长用+,减少用﹣.
16.(2015•东西湖区校级模拟)为落实素质教育要求,促进学生全面发展,我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑,计划以后每年以相同的增长率进行投资,2011年投资18.59万元.设该校为新增电脑投资的年平均增长率为x,根据题意得方程为:
11(1+x)2=18.59 .
【分析】设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x,从2009年到2011年两年在增长,可列出方程.
【解答】解:
设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x.
根据题意得:
11(1+x)2=18.59.
故答案为:
11(1+x)2=18.59.
【点评】本题考查了增长率问题,关键是找到增长的结果这个等量关系,列方程求解.
17.(2015秋•巴州区校级期末)目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系,某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,根据题意,可得方程 389(1+x)2=438 .
【分析】先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数,再表示出今年上半年发放的钱数,令其等于438即可列出方程.
【解答】解:
设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则去年下半年发放给每个经济困难学生389(1+x)元,今年上半年发放给每个经济困难学生389(1+x)2元,
由题意,得:
389(1+x)2=438.
故答案为:
389(1+x)2=438.
【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.
18.(2014秋•平度市校级期末)如图所示,在宽为25m,长为36m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路,(互相垂直),把耕地分成大小不等的六块试验田,要使试验田的面积为590m2,道路应为多宽?
若设道路的宽为x米,根据题意可列方程 20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=590 .
【分析】试验地的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积.如果设道路宽x,可根据此关系列出方程即可.
【解答】解:
设道路为x米宽,
由题意得:
20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=590,
故答案为:
20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=590.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,对于面积问题应熟记各种图形的面积公式.另外,整体面积=各部分面积之和;剩余面积=原面积﹣截去的面积.
三.解答题(共7小题)
19.(2012•枣阳市校级模拟)中百商储服装柜在销售中发现:
“宝贝”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售量,减少库存,商场决定采取降价措施.经市场调查发现:
若每件童装每降4元,那么平均每天就可以多售出8件,要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
【分析】设每件童装应降价x元,原来平均每天可售出20件,每件盈利40元,后来每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元,由此即可列出方程(40﹣x)(20+2x)=1200,解方程就可以求出应降价多少元.
【解答】解:
如果每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出8件,则每降价1元,多售2件,设降价x元,则多售2x件.
设每件童装因应降价x元,
依题意得(40﹣x)(20+2x)=1200,
整理得x2﹣30x+200=0,
解之得x1=10,x2=20,
因要减少库存,故x=20.
答:
每件童装因应降价20元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,首先找到关键描述语,找到等量关系,然后准确的列出方程是解决问题的关键.最后要判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
20.(2012•杭州模拟)由于国务院有