小学奥数系统讲义完整版.docx

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小学奥数系统讲义完整版

小学奥数是以竞赛大纲作为指导，知识体系是以竞赛的目标而设计的。

但西安五大名校小升初，是名校的初中老师出题，考虑到了初中数学的延续性，考试范围和内容要比竞赛要窄,但出题范围不外乎以下25个奥数模块。

Ø归一问题

【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。

这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】总量÷份数＝1份数量1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

【例题】买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

解：

（1）买1支铅笔多少钱？

0.6÷5＝0.12（元）

（2）买16支铅笔需要多少钱？

0.12×16＝1.92（元）

列成综合算式：

0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

答：

需要1.92元。

11.3台拖拉机3天耕地90公顷，5台拖拉机6天耕地多少公顷？

12.5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？

Ø归总问题

【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求

的问题，叫归总问题。

所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）

的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

【数量关系】1份数量×份数＝总量总量÷1份数量＝份数

总量÷另一份数＝另一每份数量

【解题思路】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

【例题】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。

原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

解：

（1）这批布总共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）

（2）现在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904（套）

列成综合算式3.2×791÷2.8＝904（套）

答：

现在可以做904套。

13.小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。

小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？

14.食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。

后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？

Ø和差问题

【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】大数＝（和＋差）÷2小数＝（和－差）÷2

【解题思路】简单的题目可以直接套用公式复杂的题目变通后再用公式。

【例题】甲乙两班共学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？

解：

甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

答：

甲班有52人，乙班有46人。

15.长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积?

16.有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

17.甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？

Ø和倍问题

【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数总和－较小的数＝较大的数

较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

【例题】果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

解：

（1）杏树有多少棵？

248÷（3＋1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？

62×3＝186（棵）

答：

杏树有62棵，桃树有186棵。

18.东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？

19.甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

20.甲乙丙三数之和是170乙比甲的2倍少4丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？

Ø差倍问题

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

【例题】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。

求杏树、桃树各多少棵？

解：

（1）杏树有多少棵？

124÷（3－1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？

62×3＝186（棵）

答：

果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

21.爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？

22.商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，这两个月盈利各是多少万元？

23.粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是10吨，多少天后，玉米是小麦的12倍？

Ø植树问题

基本类型及公式：

①在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。

基本公式：

棵树=段数＋1；棵距（段长）×段数=总长

②在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。

基本公式：

棵树=段数－1；棵距（段长）×段数=总长

③在封闭曲线上植树：

基本公式：

棵树=段数；棵距（段长）×段数=总长

关键问题：

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。

【例题】一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵

垂柳？

解：

136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

答：

一共要栽69棵垂柳。

24.一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？

25.甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取1.6米，2米，1.2米长的钢条，要求都按0.4米规格锯开，劳动结束后，甲乙丙分别锯了24段，25段，27段，谁锯钢条的速度最快？

26.某一淡水湖的周长1350米,在湖边每隔9米种柳树一株,在两株柳树中间种植2株夹枝桃,可栽柳树多少株?

可栽夹枝桃多少株?

两株夹枝桃之间相距多少米?

27.一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？

Ø年龄问题

【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

【例题】爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？

明年呢？

解：

35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：

今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

28.母亲今年37岁，女儿7岁，几年后母亲年龄是女儿的4倍？

29.3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？

30.甲对乙说：

“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。

乙对甲说：

“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。

求甲乙现在的岁数各是多少？

Ø盈亏问题

【含义】据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），

根

一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

【例题】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4

个就少1个。

问有多少小朋友？

有多少个苹果？

解：

按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：

（1）有小朋友多少人？

（11＋1）÷（4－3）＝12（人）

（2）有多少个苹果？

3×12＋11＝47（个）

答：

有小朋友12人，有47个苹果。

31.修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。

这条路全长多少米？

32.学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。

问有多少车？

多少人？

Ø周期问题

在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。

如：

人调查十二生肖：

鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。

像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。

这类问题一般要利用余数的知识来解决。

在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。

周期现象：

事物在变化过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

闰年：

四年一闰，百年不闰，四百年再闰；

月份：

1、3、5、7、8、10、12月大。

解答周期问题的关键：

找出周期T,考察余数，注意周期的首尾两数。

例题分析

【例1】元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期几？

【解】平年元旦到国庆节共有的天数：

31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274；

循环的周期和余数：

274÷7=39…1；

平年的国庆节是星期日；[整周期的第一个数]

闰年元旦到国庆节共有的天数：

274+1=275；

循环的周期和余数：

275÷7=39…2；

闰年的国庆节是星期一；[整周期的第二个数]

【例2】甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期______。

【解】21天内，每人取奶7次，甲第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期100÷7＝14……2，所以甲第100次取奶是星期二。

基础务实

33.1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期几？

34.《小学生数学报》每周星期五出版一期，1994年10月份第1期是10月7日出版的，1995年1月份第1期应在1月几日出版？

35.果园里要种100棵果树，要求每六棵为一组。

第一棵种苹果，第二、三棵种梨树，后面三棵树，即第四、第五、第六棵种桃树。

那么，最后一棵应种什么树？

在这100棵树中，有苹果树、梨树、桃树各多少棵？

36.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面紧接着有3盏彩灯。

那么第73盏灯是什么颜色的灯？

37.小明把节省下来的硬币先按四个1分，再按三个2分，最后按两个5分这样的顺序往下排。

那么，他排的第111个是几分硬币，这111个硬币共多少元？

38.如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是几点钟？

39.某年的10月里有5个星期六，4个星期日。

问：

这年的10月1日是星期几？

40.学校一学期共安排86节数学课，单周一、三、五每天两节，双周二、四每天两节。

开学第一周星期一开学典礼没上课，从星期三开始上，则最后一节数学课是星期几上的？

41.1993年一月份有4个星期四、5个星期五，1993年1月4日是星期几？

42.有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个

数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这串数中，第1991个数

被3除，所得的余数是多少？

Ø鸡兔同笼

【含义】这是古典的算术问题。

已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。

已知鸡兔的总数和

鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

【解题思路】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。

如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。

这类问题也叫置换问题。

通过先假设，再置换，使问题得到解决。

【例题】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。

数数头有三十五，脚数共有九十四。

请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

解：

假设35只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔数＝35－23＝12（只）也可以先假设35只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡数＝35－12＝23（只）

答：

有鸡23只，有兔12只。

43.2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？

44.李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。

问作业本和日记本各买了多少本？

45.（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

46.有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？

Ø方阵问题

【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：

总人数＝每边人数×每边人数内边人数＝外边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

【解题思路】方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

【例题】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？

解：

22×22＝484（人）

答：

参加体操表演的同学一共有484人。

47.有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。

48.有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数

是28人，这队学生共多少人？

49.一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？

Ø抽屉原理

【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？

要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。

这两种情况可用一句话表示：

一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。

这就是数学中的抽屉原则问题。

【数量关系】基本的抽屉原则是：

如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：

如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。

通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。

【解题思路】

（1）改造抽屉，指出元素；

（2）把元素放入（或取出）抽屉；（3）说明理由，得出结论。

【例题】育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？

解：

由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。

367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素。

这说明至少有2个学生的生日是同一天的。

”

50.有一四种颜色的小旗，任意取出三个排成一排，表示各种信号，在200

个信号中至少有多少个信号相同？

51.书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种，每位获奖者可任选其中两种奖品。

问至少应有多少名获奖的同学，才能保证其中必有4名同学得到的奖品完全相同？

52.一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。

其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。

某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？

Ø容斥原理

公式法：

直接应用包含与排除的概念和公式进行求解

容斥原理一：

C=A+B-AB，利用这一公式可计出两个集合圈的有关问题。

容斥原理二：

D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC利用这一公式可计算三个集合圈的有关问题。

图像法：

不是利用容斥原理的公式计算，而是画图，借助图形帮助分析，逐块地计算出各个部分，从而解答问题。

【例1】某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有24，其中语文、数学都得优的有12人。

全班得优共有多少人？

【解】全班得优分3种:

语数均得优;语文得优数学不得优;数学得优语文不得优。

语数均得优=12人语文得优数学不得优=15-12=3人数学得优语文不得优=24-12=12人全班得优共有12+3+12=27人。

53.某班共50人,参加课外兴趣小组学书法的32人,学绘画的28人，其中两种都学的15人,这个班级还有多少人没参加兴趣小组？

54.从1到100的自然数中，

（1）不能被6和10整除的数有多少个？

（2）至少能被2，3，5中一个数整除的数有多少个？

Ø逻辑推理

逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，而是根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理，做到正确的判断，最终找到问题的答案。

逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性，并且没有一定的解题模式。

因此，要正确解决这类问题，不仅需要始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律，同一律，矛盾律和排中律。

①“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。

②“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既

不真也不假。

③“同一律”指的是在同一思维过程中对同一对象的思想必须是确定的，

在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。

55.甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。

赵说：

“甲是2号，乙是3号.”钱说：

“丙是4号，乙是2号.”

孙说：

“丁是2号，丙是3号.”李说：

“丁是4号，甲是1号.”

又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？

56.甲、乙、丙三名教师分别来自浙江、江苏、福建，分别教数学、语文、英语。

根据下面的已知条件：

（1）甲不是浙江人，乙不是江苏人；

（2）浙江的教师不教英语；（3）江苏的教师教数学；（4）乙不教语文。

则丙不教什么学科？

57.执行一项任务，要派A、B、C、D、E五人中的一些人去，受下述条件约束：

（1）若A去，B必须去；

（2）D、E两人至少去1人；（3）B、C两人只能去1人；（4）C、D两人都去或都不去；（5）若E去，A、D两人也必须去。

问应派哪些人去？

Ø数字谜

数字谜语是一种有趣的数学问题。

它的特点是给出运算式子，但式中某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行恰当的判断和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数字。

步骤：

1、先确定明显部分的数字2、寻找突破口，缩小范围3、分情况讨论

58.下题中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，当他们各代表什么数字时，算式成立？

59.每个汉字代表的数字是多少？

60.下边的算式中的不同汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，如果巧+解+数+字+谜=30，那么“巧解数字谜”所代表的五位数是多少？

61.A、B各代表什么数字？

Ø等差数列

若干个数排成一列，称为数列。

数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

例如：

等差数列：

3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。

等差数列相关公式：

通项公式：

第几项＝首项＋（项数－1）×公差

项数公式：

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

求和公式：

总和＝（首项＋末项）×项数÷2

平均数公式：

平均数＝（首项＋末项）÷2

在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。

求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。

62.某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位,最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位?

63.等差数列第一项是3，第四项是15，求等差数列第二项和公差？

64.等差数列1，5，9，13，17……

1）数字2009是不是该数列的项？

2）求该数列第200项与第100项的差。

65.在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少？

Ø一笔画

一笔画性质：

凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点，一定可以一笔画成。

）

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

其他情况的图都不能一笔画出。

（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。

）

66.下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？

67.甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。

如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？

68.邮递员从邮局出发送信，走过如图的所有道路后再回到邮局。

图中各横道、竖道之间的道路都是平行的，邮递员要走遍所有的邮路至少要走多少千米？

Ø加法乘法原理

加法原理

如果完成一件任务有n类方法，在一类方法中有m1种不同的方，法在第二类方法中有m2种不同的方法……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件任务共有：

m1+m2+m3+……＋mn种不同的方法。

乘法原理

如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪一种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

69.下图中的“我爱希望杯”有种不同的读法。

70.如图，把A、B、