湘潭三模理科数学word含答案湖南省湘潭市届高三下学期第三次模拟考试数学理试题.docx
《湘潭三模理科数学word含答案湖南省湘潭市届高三下学期第三次模拟考试数学理试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湘潭三模理科数学word含答案湖南省湘潭市届高三下学期第三次模拟考试数学理试题.docx（35页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
湘潭三模理科数学word含答案湖南省湘潭市届高三下学期第三次模拟考试数学理试题
2018届高三第三次模拟考试
数学理科试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，则
的元素个数为（）
A．
B．
C．
D．
2.已知
是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.已知
，则（）
A．
B．
C．
D．
4.数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”，图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不用绳子上打结，右边绳子上的结每满7个的左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（）
A．
B．
C．
D．
5.已知实数
满足
，则
的最小值是（）
A．
B．
C．
D．
6.双曲线
的离心率为
，其渐近线与圆
相切，则该双曲线的方程是（）
A．
B．
C．
D．
7.执行如图所示的程序框图，则输出的
（）
A．
B．
C．
D．
8.若
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
9.已知等比数列
的前
项积为
，若
，则当
取得最大值时，
的值为（）
A．
B．
C．
D．
10.某几何体的三视图如图所示，其正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）
A．
B．
C．
D．
11.已知函数
的最小正周期为
，将函数
的图象向右平移
个单位后关于原点对称，则当
取得最小值时，函数
的一个单调递增区间为（）
A．
B．
C．
D．
12.已知函数
，若函数
与
有相同的值域，则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设非零向量
满足
，且
，则向量
与
的夹角为．
14.已知在
内任取一个实数
，在
内任取一个实数
，则点
位于
上方的概率为．
15.已知抛物线
的焦点为
，准线为
，抛物线
有一点
，过点
作
，垂足为
，若等边
的面积为
，则
．
16.已知三棱锥
满足
底面
是边长为
的等边三角形，
是线段
上一点，且
，球
为三棱锥
的外接球，过点
作球
的截面，若所得截面圆的面积的最小值于最大值之和为
，则球
的表面积．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知
中，
.
（1）若
，求
的面积；
（2）若
，求
的长.
18.生蚝即牡蛎
是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如下表所示：
（1）若购进这批生蚝
，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；
（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在
间的生蚝的个数为
，求
的分布列及数学期望.
19.已知直三棱柱
中，
点
在线段
上.
（1）证明：
；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
20.已知椭圆
的离心率为
，且椭圆
过点
，过点
做两条相互垂直的直线
分别与椭圆
交于
四点.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若
，探究：
直线
是否过定点？
若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.
21.已知关于
的方程
有两个不同的实数根
.
（1）求实数
的取值范围；
（2）求证：
.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系中，曲线
经过伸缩变换
后得到曲线
，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求出曲线
的参数方程；
（2）若
分别是曲线
上的动点，求
的最大值.
23.已知函数
.
（1）解不等式：
；
（2）当
时，函数
的图象与
轴围成一个三角形，求实数
的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
BBDCB6-10:
ADDCA11、B12：
A
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解：
由题意
，
所以
，所以
.
（2）设
，则
在
中，
，
解得
或
（舍去），所以
，
在
中，
.
18.解：
（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为
，
所以购进
，生蚝的数列均为
（只）；
（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在
间的概率为
，
的可能取值为
，则
所以
的分布列为
所以
19.解：
（1）不妨设
，则
在
和
中，
，
所以
，所以
，
所以
所以
，
因为
因为
为直三棱柱，所以
平面
，所以
，
所以
平面
，因为点
在线段
上，所以
.
（2）由
（1）知，
平面
，建立如图所示的空间直角坐标系
不妨设
，则
所以
，
设平面
的法向量为
，则
，
即
，取
，则平面
的法向量为
，
设平面
的法向量
，则
，
即
，取
，则平面
的法向量为
，
故平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
20.解：
（1）由题意知
，所以椭圆的方程为
.
（2）因为
，所以
分别为
的中点，
当两直线的斜率存在且不为0时，设直线
的方程为
，
则直线
的方程为
，
联立
，得
，
，所以
的中点
的坐标为
，
同理，
中点
的坐标为
，所以
，
所以直线
的方程为
，
即
，所以直线
过定点
，
当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线
的方程为
，也过点
，
综上所述，直线
过定点
.
21.解：
因为
，所以
，令
，
则
，
令
，解得
，令
，解得
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
又当
时，
，当
时，
，
画出函数
的图象，
要使函数
的图象与
有两个不同的交点，则
，即实数的取值范围为
.
（2）由
（1）知，
，不妨设
，则
，
要证
，只需证
，
因为
，且函数
在
上单调递减，
所以只需证
，由
，所以只需
，
即证
，即证
对
恒成立，
令
，则
因为
，所以
，所以
恒成立，
则函数
在
的单调递减，所以
，
综上所述
.
22.解：
（1）曲线
经过伸缩变换
，可得曲线
的方程为
，
所以参数方程为
为参数）
曲线
的极坐标方程为
，即
，
所以曲线
的直角坐标方程为
，即
，
所以其参数方程为
为参数）
（2）设
，则
到曲线
的圆心
的距离
，
因为
，所以当
时，
，
所以
23.解：
（1）由题意知，原不等式等价于
或
或
截得
或
或
，
综上所述，不等式
的解集为
.
（2）当
时，则
，
此时
的图象与
轴围成一个三角形，满足题意；
当
时，
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
要使函数
的图象与
轴围成一个三角形，
则
，解得
；
综上所述，实数
的取值范围为
.
升级会员 