华中科技大学 竺子明 物理光学习题解答.docx
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华中科技大学竺子明物理光学习题解答
物理光学习题解答
说明：
本资料是2010～2011学年度第一学期光电学院中法0801～0803班的物理光学作业题，
配套书籍为竺子民主编、华中科技大学出版社2009年出版的《物理光学》。
助教刘昊在任课
老师王英的指导下从同学们的作业中选取优秀的解法，综合整理成为习题解答，因此这也是
各位同学的功劳。
本解答对于大部分的题目只做方向上的引导，列出公式，而略过具体计算。
如果同学们有任何疑问或发现解答错误，请发邮件至jy02760419@（刘昊），在
此先行感谢。
1.2写出存在电荷ρ和电流密度J的介质中的E和H的波动方程。
解：
麦克斯韦方程组可写为
⎧∂H
⎪
⎨∂t
⎪ρ
⎪
⎪⎩∇⋅H=0
根据上述麦克斯韦方程组，有
∇⨯∇⨯E=-μ
∂（∇⨯H）
∂t
∂t
⎛∂E⎫
∂t
∂J
∂t
-εμ
∂2E
∂t2
⎛ρ⎫
⎝ε⎭
2
∇2E-μ
∂J
∂t
-εμ
∂2E
2
=∇
ρ
ε
根据麦克斯韦方程组有
∇⨯∇⨯H=∇⨯J+ε
∂（∇⨯E）
∂t
∂ç-μ⎪
∂t
∂t
∂2H
∂t2
2
∇2H+∇⨯J-εμ
∂2H
∂t2
=0
⎪∇⨯E=-μ∂t
⎪⎪∇⨯H=J+ε∂E
⎪∇⋅E=
J+ε
∂ç⎪
=-μ⎝⎭=-μ
∇（∇⋅E）=∇ç⎪
由∇⨯∇⨯E=∇（∇⋅E）-∇E可得：
∂t
⎛∂H⎫
=∇⨯J+ε⎝⎭=∇⨯J-εμ
由∇⨯∇⨯H=∇（∇⋅H）-∇H可得：
=∇
2
综上，波动方程为⎨2
⎪∂t2
1.3证明：
在无源自由空间中
（1）仅随时间变化的场，如E（t）=xE0sin（ωt），不满足麦克斯韦方程组；
ˆ
⎣⎝
z⎫⎤
⎪，可满足麦克斯韦方程
组（式中，c=
1
εμ
）。
2
2
∂2E
∂t2
=0。
仅
而εμ
∂2E
2
=-εμω2E0sin（ωt）不恒为0。
因此无法满足波动方程，不满足麦克斯韦方程组。
ˆ
⎣⎝
z⎫⎤
⎪时，
∇
2
⎡⎛z⎫⎤
⎣⎝c⎭⎦
∂2E
2
⎡⎛z⎫⎤
⎣⎝c⎭⎦
2
∂2E
∂t2
2
∂2H
∂t2
=0
解：
在无源空间中，麦克斯韦方程组可写为
⎧∂H
⎪
⎨
⎪
⎪∇⋅E=0
⎪∇⋅H=0
∇E-μ
-εμ
⎧2∂J∂2Eρ
⎪⎪
∂t∂t
⎪∇2H+∇⨯J-εμ∂H=0
⎩
ˆ
⎡⎛
（2）同时随时间和空间变化的场，如E（t,z）=xE0sin⎢ωçt-
c⎭⎥⎦
证：
（1）无源空间中，若场满足麦克斯韦方程组，则满足波动方程∇E-εμ
随时间变化的场无空间变量，∇E=0。
∂t
⎡⎛
（2）当E（t,z）=xE0sin⎢ωçt-
c⎭⎥⎦
E=-εμω2E0sin⎢ωçt-⎪⎥，
∂t
=-ω2E0sin⎢ωçt-⎪⎥
满足波动方程∇E-εμ
=0，则E（t,z）可满足麦克斯韦方程组。
1.5推导磁场波动方程式∇H-με
⎪∇⨯E=-μ∂t
⎪∇⨯H=ε∂E
∂t
⎩
根据上述麦克斯韦方程组，有
∇⨯∇⨯H=ε
∂（∇⨯E）
∂t
⎛∂H
∂t
∂t
⎫
⎪2
∂t2
2
∇2H-εμ
∂2H
∂t2
=0
2.2空气中均匀平面光波的电场强度振幅E0为800V/m，沿x方向偏振，z方向传播，波长
为0.6μm，求：
（1）光波的频率f
（2）周期T
（3）波数k
（4）磁场强度振幅H
解：
（1）f=
c
λ
=5⨯1014Hz
（2）T=
（3）k=
1
f
2π
λ
=2⨯10-15s
=1.047⨯107radm
（4）H=
ε
μ
⋅E=2.12Am
⎝3⎭⎝3⎭
求：
（1）时间角频率ω
（2）介质的相对介电常数εr
解：
H
E
=
==
1
377
⋅εr，又由题干知，
H
E
=
1
30π
解得，εr=16
ω=k⋅v=k⋅
c
εr
=108rads
∂ç-μ
=ε⎝
⎭=-εμ∂H，∇∇⋅H=0
（）
由∇⨯∇⨯H=∇（∇⋅H）-∇H可得：
⎛4y
⎫
⎛4y
⎫
2.5均匀绝缘介质中的光场为E=z⋅300πcosç-ωt⎪，H=x⋅10cosç-ωt⎪
2.7在正常色散区，k1，证明当γ=0时，式（2.3.11）可近似为柯西公式。
证明：
k1，γ=0时
n2=1+
Nq2Nq2
22
1
⋅
2
可以看成n→∞项求和，
Nq2
ε0mω02
1
λ2n
⋅
2
=1+
⎣
24
24
1Nq1
22
2
≈1+2+
24
11
⎝ω0⎭λε0mω0⎝ω0⎭λ
2B'C'
24
2.8一光学材料对435.8nm和546.1nm波长的折射率分别为1.52626和1.51829，确定柯西公
式中的常数A和B，并计算该材料对486.1nm波长的折射率和色散率dn
B
解：
柯西公式近似为n=A+
λ2
dλ
。
带入题中数据，解得
3
λ=486.1nm时，带入柯西公式，得n=1.52195
dn2B
dλλ
2.9两个振动方向相同的单色波在空间某点的振动分别为E1=a1cos（α1-ωt）和
E2=a2cos（α2-ωt），若ω=2π⨯1015Hz，a1=15Vm，a2=10Vm，α1=0和
α2=
π
2
，求该点的合振动表达式。
解：
E=E1+E2=E0exp⎡j（ϕ-ωt）⎦
E0=a1+a1+2a1a2cos（α2-α1）=18Vm
=1+⋅
1-ç⎪
⎛2πν1⎫
⎝ω0
n2=1+⋅
1-
1-ç⎪
⎛2πν1⎫
⎝ω0
Nq2⎡
⎤
⎛2πν⎫⎛2πν⎫
⎢1+ç⎪+ç⎪+⎥
⎥⎦
⎛2πν⎫
⎛2πν⎫
NqNq22
2
=1++⋅ç⎪⋅224+
+⋅ç⎪⋅
NqNq2
mωεmω
⎛2πν⎫
⎛2πν⎫
Nq2
⋅ç⎪⋅22⋅ç⎪⋅4
+
则近似为柯西形式n=A'++
A=1.50413，B=4.16806×10nm2
=-3=-7.2574⨯10-5nm-1
⎣⎤
22
⎝a1cosα1+a2cosα2⎭
15
2.10如图2.4.3所示，有N个振幅同为A0的光波叠加，相邻相幅矢量之间的夹角为δ，利
用相幅矢量加法求合振动的振幅A。
解：
取第一个光波方向为标准方向，记为A0则
1-e-iδ
1-e-inδ
1-e-iδ
2
2
=A0⋅
1-cosnδ
1-cosδ
=A0⋅
nδ
sin
2
δ
sin
2
2.11两个偏振方向相同的光波分别为E1=a⋅cos（kx+ωt）和E2=-a⋅cos（kx-ωt），利用
复数形式求合光波。
解：
两个光波的复数形式为E1=a⋅exp⎡⎣j（kx+ωt）⎤⎦，E2=-a⋅exp⎡⎣（kx-ωt）⎤⎦
⎡⎛
⎣⎝
π⎫⎤
2⎭⎥⎦
⎧⎡⎛
⎩⎣⎝
2⎭⎦⎭
π⎫⎤⎫
2.14证明任何一个椭圆偏振光可分解为一对旋向相反，振幅不等的圆偏振光。
2
2
a1a2aa2
这是一个斜椭圆，取适当的坐标系，可以将其转化为
⎧x=acosθ
⎨
2
2
+
=1，也可以表示为
⎧x1=pcosθ
假设存在两个方向相反的圆偏振光⎨
⎧⎪x2=qcos（-θ）
和⎨
⎧x=x1+x2
，使得⎨
，
⎛a1sinα1+a2sinα2⎫
⎪=33.69︒
则合振幅表达式为E=18cos（33.69︒-2π⨯10t）Vm
+Ae-2iδ++Ae-（N-1）iδ=A
-iδ1-e-inδ
A=A0+Ae000⋅
A=A=A0⋅=A0⋅
（1-cosnδ）+sin2nδ
（1-cosδ）+sin2δ
合光波的复数形式为E=E1+E2=2aexp⎢jçkx+
⎪sin（ωt）
合光波E=Re⎨2aexp⎢jçkx+
⎪⎥sin（）⎬=-2asin（）（）
Ex2
Eyxy
EE
证：
对于任意一个椭圆方程2+2-2cosδ=sinδ，其中δ=α2-α1
1
xy2
ab2
⎩y=bsinθ
⎩y1=psinθ
⎪⎩y2=qsin（-θ）
⎩y=y12
+y
则椭圆可有这两个相反的圆偏振光叠加而成。
解得，当⎨⎨
⎪x1+y1=ç⎪
2
2
2
逆时针方向
顺时针方向
综上，任何一个椭圆偏振光可分解为一对旋向相反，振幅不等的圆偏振光。
2.15一个平面线偏光从空气中入射到εr=4，μr=1的介质上，如果入射光的电场强度矢量
与入射面的夹角为45︒，问：
（1）入射角θi为何值时，反射光中只有垂直分量？
（2）此时反射率R等于多少？
解：
（1）n1=1，n2=
εrμr=2当反射光中只有垂直分量时，入射角为布儒斯特角，有：
tanθi=
n2
n1
=2，θi=64.43︒
（2）由n1sinθ1=n2sinθ2，θ1=θi=64.43︒，解得，θ2=26.56︒。
Rs=rs
2
2
=ç⎪=36%
2.18已知全反射时，第二介质中的电场强度矢量为：
=yA
求：
（1）第二介质中的磁场强度矢量H2
（2）平均坡印廷矢量
（3）分析第二介质中的能量流动情况
解：
（1）由E2的表达式知，选取的入射面是xz面。
2
Rs
2
=18%
则有sinθ2=
sinθ1
n
⎝n⎭
2
k2=sinθ2x+cosθ2z
⎧a+b⎧22⎛a+b⎫
⎪⎪p=
2时，满足上述情况，则两个圆为⎪⎝2⎭
⎪q=a-b
⎪x22=ç⎝⎭⎪
⎪22⎛a-b⎫
⎪⎩
+y
⎩
2
⎛n1122⎫
cosθ-ncosθ
⎝n1cosθ1+n2cosθ2⎭
R=Rssin2α+Rpcos2α，由Rp=0和α=45︒得，R=sin45︒⋅Rs=
E22exp（-μz）exp⎡⎣j（k2xx-ωt）⎤⎦
ˆ
⎛sinθ1⎫
，cosθ2=±jç⎪-1
ˆˆˆ
H2=kˆ2⨯E2⋅
ε2
μ2
ˆ
ε2
μ2
=
ε2
μ2
⎝⎭
1ˆ
2
当虚部前取正号时，振幅将随x增加趋向无限大，因此舍去。
因此有：
H2=
⎝⎭
2
（2）在介质中，复振幅分别为：
=yA=z⋅A
n
坡印廷矢量为：
S2=
11
22
xˆ
⋅
n
（3）由于是全反射，在介质内的波为隐失波，其平均能流为0。
而在介质界面上能流为xˆ方
向，大小呈指数衰减。
2.19一个折射率n=1.3的介质立方块置于空气中，平面波以θ1角入射到介质块的A端，偏
转θ2角后传播到介质块的B侧，求：
（1）θ1=22︒时的θ2
（2）B侧有光波传出的最小θ1
解：
（1）sinθ2=
11
n1.3
θ2=arcsin0.288≈16.75︒
（2）全反射角θ'=
1
n
，此时θ2=90︒-θ'
sinθ1=nsinθ2，解得，θ1≈56︒，而此为产生全反射的最小角，因此θ1最小为56︒。
2.26铝的n=1.5，k=3.2，波长500nm的光垂直照射铝表面，求反射光相对入射光的相位变
化ϕ和反射率R。
解：
垂直入射时r=rs=rp=
n-1
n+1
=
n+kj-1
n+kj+1
=（sinθ2x+cosθ2z）⨯yA2exp（-μz）exp⎡j（k2xx-ωt）⎤⋅
⎛sinθ
⎛sinθ1⎫
⎫
A2çZ±jç⎪-1⋅x⎪exp（-μz）exp⎡j（k2xx-ωt）⎤
çn⎝n⎭⎪
⎛sinθ
⎛sinθ1⎫
⎫
A2çZ-jç⎪-1⋅x⎪exp（-μz）exp⎡j（k2xx-ωt）⎤
E22exp（-μz）exp（jk2xx）H22exp（-μz）exp（jk2xx）
ˆˆ
（）
ReE2+H2*=
A2exp（-2μz）
sinθ1=⋅sin22︒≈0.288
相位变化ϕ=ϕs=ϕp=arctan
Imr
Rer
≈29.118︒
2
2
n+1n+kj+1
3.3如题3.3图所示的杨氏干涉装置中，点光源波长λ=0.55μm，小孔间隔d=3.3mm，
小孔到观察屏的距D=3m。
求：
（1）条纹间隔e
（2）在小孔S2后放一块厚度h=0.01mm的玻璃平行平板，确定条纹移动方向，给出移动公
式
（3）在
（2）的条件下，若条纹移动4.73mm，求玻璃折射率n
解：
（1）e=
Dλ
d
=0.5mm
（2）由于加了玻璃板后下光束比上光束的光程多了h（n-1），为了平衡光程差，中心条纹
将向下移动。
光程差D=n-1
e
在没有加玻璃板时，零级条纹在x=0处，增加玻璃后，D=0时，
x=-
（n-1）eh
λ
故条纹往下移动了
（n-1）eh
λ
（3）将数据带入
（2）中公式，得n=1.5203
3.4如题图3.4所示，求沿s1p和s2p传播的两个相干平面波在点p的相位差。
⎛
⎝
由于r1+r2≈2D
2dxdx
光程差D=
DD
22
2⎭⎝2⎭
22
2dx
r+r2
D
λ
kdx
D
3.7图3.1.1中，除x=0处的单色光源s外，还有x=
b
2
处的s'和x=-
b
2
处的s''两个单色
n-1
n+kj-1
2
R=r===63.6%
+h（）
xλ
解：
D=r21=çx+
-r
d⎫
⎛
d⎫
⎪+y2+z2-çx-⎪+y+z=
=
1
相位差ϕ=⨯2π=
点光源，三个点光源的波长、光强相同。
求干涉条纹对比度。
解：
s在P点处的光强为I1=2I0+2I0cos
2πD
λ
s'在P点处的光强为I2=2I0+2I0cos
s''在P点处的光强为I2=2I0+2I0cos
⎛b⎫
⎝2⎭
λ
⎛b⎫
⎝2⎭
λ
+I+I=2I
⎣
变量为光程差D，当cos
2πD
λ
取±1时，分别为I的最大和最小值。
对比度k=
Imax-Imin
Imax+Imin
=
1+2cos
3
πbβ
λ
3.8干涉仪中点光源的光谱如题图3.8所示，求干涉条纹对比度。
解：
I1=2I0
k1+∆k
k1-∆k
⎡
⎣
sin（∆kD）
∆kD
⎤
⎦
k2+∆k
k2-∆k
⎡
⎣
sin（∆kD）
∆kD
⎤
⎦
由于I1与I2互不相干，总光强为
∆kD22
式中光程差D为变量，由实际情况可知，∆kD≈0，则
sin（∆kD）
∆kD
≈1。
k1≈k2，则
k1-k2k1+k2k1+k2
cos
222
±1时，分别约为I的最大和最小值。
对比度k=
Imax-Imin
Imax+Imin
=⋅cosD
∆kD2
8-1
，高稳定激光的典型频带宽度为
2πç⎪
D+β
2πçD-β⎪
I=I1230⎢3+cos1+2cos
⎡2πD⎛πbβ⎫⎤
ç⎪⎥
⎰
（1+coskD）dk=4I0∆k⎢1+
cos（k1D）⎥
I2=2I0⎰
（1+coskD）dk=4I0∆k⎢1+
cos（k2D）⎥
⎡sin（∆kD）k1-k2k1+k2⎤
I=I1+I2=8I0∆k⎢1+⋅cosD⋅cosD⎥
⎣
⎦
≈1，因此真正对I的值产生显著影响的是cosD项。
而cosD取
sin（∆kD）k1-k2
3.9准单色热光源的典型频带宽度为∆D=10s
∆ν=104s-1，求它们各自的相干时间和相干长度。
解：
对于准单色热光源，相干时间τ=
1
∆ν
=10-8s，相干长度dl=τ⋅c=3m
对于高稳定激光，相干时间τ=
1
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