河北省中考数学二轮函数综合应用专题复习训练题型3一种函数的实际应用.docx
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河北省中考数学二轮函数综合应用专题复习训练题型3一种函数的实际应用
题型3 一种函数的实际应用
类型一
1．（2020·石家庄新华区一模）小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，如图所示，图中的线段y1，y2分别表示小东、小明离B地的距离y（km）与所用时间x（h）的关系．
（1）写出y1，y2与x的关系式：
________，________；
（2）试用文字说明：
交点P所表示的实际意义；
（3）试求出A，B两地之间的距离；
（4）求出小东、小明相距4km时出发的时间．
2．某市为鼓励市民节约用气，对居民管道天然气实行两档阶梯式收费，年用天然气量310m3及以下为第一档；年用天然气量超出310m3为第二档，某户应交天然气费y（元）与年用天然气量x（m3）的关系如图所示，观察图象并回答问题：
（1）求y与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围；
（2）嘉琪家2020年天然气费为857元，求嘉琪家2020年使用天然气量．
3．（2020·宁波中考）A，B两地相距200km.早上8：
00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18min将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（km）与时间x（h）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式；
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1h，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
4．（2020·唐山玉田县一模）某药品生产基地共有5条生产线，每条生产线每月生产药品20万盒，该基地打算从第一个月开始到第五个月结束，对每条生产线进行升级改造．改造时，每个月只升级改造一条生产线，这条生产线当月停产，并于下个月投入生产，其他生产线则正常生产．经调查，每条生产线升级改造后，每月的产量会比原来提高20%.
（1）根据题意，完成下面问题：
①把下表补充完整（直接写在横线上）：
月数
第1
个月
第2
个月
第3
个月
第4
个月
第5
个月
第6
个月
…
产量/
万盒
____
____
____
92
…
…
…
②从第1个月进行升级改造后，第______个月的产量开始超过未升级改造时的产量；
（2）若该基地第x个月（1≤x≤5，且x是整数）的产量为y万盒，求y关于x的函数关系式；
（3）已知每条生产线的升级改造费是30万元，每盒药品可获利3元．设从第1个月开始升级改造后，生产药品所获总利润为W1万元；同时期内，不升级改造所获总利润为W2万元，设至少到第n个月（n为正整数）时，W1大于W2，求n的值．（利润＝获利－改造费）
5．（2020·衢州中考）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长；
（2）若货轮比游轮早36min到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km?
6．（2020·石家庄新华区二模）有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时7min同时到达点C，甲机器人前3min以am/min的速度行走，乙机器人始终以60m/min的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间x（min）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
（1）A，B两点之间的距离是________m，A，C两点之间的距离是________m，a＝________m/min；
（2）线段EF所在直线的函数表达式为____________；
（3）设线段FG∥x轴．
①当3≤x≤4时，甲机器人的速度为______m/min；
②直接写出两机器人出发多长时间相距28m.
类型二
1．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速/（km/h）
0
10
20
30
40
50
刹车距离/m
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
（1）y是x的函数，估计函数的类型，并求出函数解析式；
（2）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5m，请推测刹车时的速度是多少？
请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
2．（2020·石家庄市模拟）“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：
销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大？
最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于3800元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
3．（2020·衡水市模拟）在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2m，与篮筐中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m．篮球运行的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3m，通过计算说明此球能否投中．
探究一：
若出手的角度、力度和高度都不变的情况下，求小明朝着篮球架再向前平移多少米后投篮也能将篮球投入篮筐中？
探究二：
若出手的角度、力度和高度都发生改变的情况下，但是抛物线的顶点等其他条件不变，求小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮筐中？
探究三：
若出手的角度、力度都改变，出手高度不变，篮筐的坐标为（6，3.44），球场上方有一组高6m的电线，要想在篮球不触碰电线的情况下，将篮球投入篮筐中，直接写出二次函数解析式中a的取值范围．
4．（2020·绍兴中考）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2所示．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网，是否出界？
说明理由；
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m、边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？
（参考数据：
取1.4）
5．（2020·台州中考）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：
如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：
cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：
cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：
cm）与h的关系为s2＝4h（H－h）.
应用思考：
现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
答案
题型3 一种函数的实际应用
类型一
1．（2020·石家庄新华区一模）小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，如图所示，图中的线段y1，y2分别表示小东、小明离B地的距离y（km）与所用时间x（h）的关系．
（1）写出y1，y2与x的关系式：
________，________；
（2）试用文字说明：
交点P所表示的实际意义；
（3）试求出A，B两地之间的距离；
（4）求出小东、小明相距4km时出发的时间．
解：
（1）y1＝－5x＋20；y2＝3x;
[设y1＝k1x＋b.根据题意，得
解得
∴y1＝－5x＋20.
设y2＝k2x.根据题意，得2.5k2＝7.5.解得k2＝3.
∴y2＝3x.]
（2）交点P所表示的实际意义：
经过2.5h后，小东与小明在距离B地7.5km处相遇；
（3）y1＝－5x＋20中，当x＝0时，y1＝20.
∴A，B两地之间的距离为20km；
（4）两人相遇之前，－5x＋20－3x＝4，解得x＝2；
两人相遇之后，3x－（－5x＋20）＝4，解得x＝3.
∴出发2h或3h时小东、小明相距4km.
2．某市为鼓励市民节约用气，对居民管道天然气实行两档阶梯式收费，年用天然气量310m3及以下为第一档；年用天然气量超出310m3为第二档，某户应交天然气费y（元）与年用天然气量x（m3）的关系如图所示，观察图象并回答问题：
（1）求y与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围；
（2）嘉琪家2020年天然气费为857元，求嘉琪家2020年使用天然气量．
解：
（1）当x≤310时，设函数解析式为y＝kx.
将点（310，230）代入y＝kx，得230＝310k.
解得k＝
.∴y＝
x（0≤x≤310）；
当x＞310时，设函数解析式为y＝k′x＋b.
将点（310，230），（320，263）代入y＝k′x＋b，得
解得
∴y＝
x－793（x>310）.
综上所述，y与x之间的函数解析式为
y＝
（2）∵857＞230，
∴嘉琪家2020年使用天然气量超出310m3.
令857＝
x－793，解得x＝500.
∴嘉琪家2020年使用天然气量为500m3.
3．（2020·宁波中考）A，B两地相距200km.早上8：
00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18min将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（km）与时间x（h）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式；
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1h，
问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
解：
（1）设函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.
将点（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx＋b，得
解得
∴y关于x的函数表达式为y＝80x－128（1.6≤x≤3.1）；
（2）当y＝200－80＝120时，
120＝80x－128.解得x＝3.1.
货车甲出现故障前的速度为80÷1.6＝50（km/h），
正常到达B地的时间为200÷50＝4（h）.
18÷60＝0.3（h），4＋1＝5（h），
5－3.1－0.3＝1.6（h）.
设货车乙返回B地的车速为vkm/h，则
1．6v≥120.解得v≥75.
答：
货车乙返回B地的车速至少为75km/h.
4．（2020·唐山玉田县一模）某药品生产基地共有5条生产线，每条生产线每月生产药品20万盒，该基地打算从第一个月开始到第五个月结束，对每条生产线进行升级改造．改造时，每个月只升级改造一条生产线，这条生产线当月停产，并于下个月投入生产，其他生产线则正常生产．经调查，每条生产线升级改造后，每月的产量会比原来提高20%.
（1）根据题意，完成下面问题：
①把下表补充完整（直接写在横线上）：
月数
第1
个月
第2
个月
第3
个月
第4
个月
第5
个月
第6
个月
…
产量/
万盒
____
____
____
92
…
…
…
②从第1个月进行升级改造后，第______个月的产量开始超过未升级改造时的产量；
（2）若该基地第x个月（1≤x≤5，且x是整数）的产量为y万盒，求y关于x的函数关系式；
（3）已知每条生产线的升级改造费是30万元，每盒药品可获利3元．设从第1个月开始升级改造后，生产药品所获总利润为W1万元；同时期内，不升级改造所获总利润为W2万元，设至少到第n个月（n为正整数）时，W1大于W2，求n的值．（利润＝获利－改造费）
解：
（1）①80；84；88；[由题意，得
第1个月的产量是20×4＝80（万盒）.
第2个月的产量是20×3＋20（1＋20%）＝84（万盒）.
第3个月的产量是20×2＋20（1＋20%）×2＝88（万盒）.]
②6；[由题意，得未升级改造时产量是20×5＝100（万盒）.
第5个月的产量是20（1＋20%）×4＝96（万盒）<100（万盒）.第6个月的产量是20（1＋20%）×5＝120（万盒）＞100（万盒）.]
（2）由题意，得
y＝20×（5－1）＋20×20%（x－1）＝4x＋76.
∴y关于x的函数关系式为y＝4x＋76（1≤x≤5，且x是整数）；
（3）由
（1）②可知，改造后第6个月的产量超过未升级改造时月产量，故在前5个月期间W1＜W2.
∵改造后前5个月的总产量是80＋84＋88＋92＋96＝440（万盒），
∴当n≥6时，W1＝440×3＋（n－5）×20×（1＋20%）×5×3－30×5＝360n－630，
W2＝20×5×3×n＝300n.
当W1＞W2时，360n－630＞300n，解得n＞10.5.
∵n为正整数，∴n的值为11.
5．（2020·衢州中考）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长；
（2）若货轮比游轮早36min到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km?
解：
（1）C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h.
∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长为23－（420÷20）＝23－21＝2（h）；
（2）①280÷20＝14（h）.
∴点D（14，0），点A（14，280），点B（16，280）.
∵36÷60＝0.6（h），23－0.6＝22.4（h），
∴点E（22.4，420）.
设BC的函数表达式为s＝20t＋b，把B（16，280）代入s＝20t＋b，可得b＝－40.
∴s＝20t－40（16≤t≤23）.
同理由D（14，0），E（22.4，420）可得DE的函数表达式为s＝50t－700（14≤t≤22.4）.
当货轮追上游轮时，20t－40＝50t－700，
解得t＝22.
∵22－14＝8（h），
∴货轮出发后8h追上游轮；
②相遇之前相距12km时，20t－40－（50t－700）＝12，解得t＝21.6；
相遇之后相距12km时，50t－700－（20t－40）＝12，解得t＝22.4.
∴游轮行驶21.6h或22.4h时游轮与货轮相距12km.
6．（2020·石家庄新华区二模）有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时7min同时到达点C，甲机器人前3min以am/min的速度行走，乙机器人始终以60m/min的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间x（min）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
（1）A，B两点之间的距离是________m，A，C两点之间的距离是________m，a＝________m/min；
（2）线段EF所在直线的函数表达式为____________；
（3）设线段FG∥x轴．
①当3≤x≤4时，甲机器人的速度为______m/min；
②直接写出两机器人出发多长时间相距28m.
解：
（1）70；490；95；[由图象可知，x＝0时，y＝70，即A，B两点之间的距离是70m.
乙历时7min到达点C，则A，C两点之间的距离是70＋60×7＝490（m）.
在图象点E处表示甲追上乙，则2a＝70＋2×60，解得a＝95.]
（2）y＝35x－70；[设线段EF所在直线的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.
当x＝3时，甲追上乙后1min，甲走了95m，乙走了60m，此时y＝95－60＝35（m），则F（3，35）.
将E（2，0），F（3，35）代入y＝kx＋b，得
解得
∴线段EF所在直线的函数表达式为y＝35x－70；]
（3）①60；[FG段表示甲、乙之间的距离不变，则他们的速度相等，都是60m/min.]
②两机器人出发1.2min或2.8min或4.6min时相距28m.
[由
（2）可得G（4，35）.令D（0，70），H（7，0）.
∵D（0，70），E（2，0），
∴线段DE所在直线的函数表达式为y＝－35x＋70.
∵G（4，35），H（7，0），
∴线段GH所在直线的函数表达式为y＝－
x＋
.
设两机器人出发tmin时相距28m．由题意，得
－35x＋70＝28或35x－70＝28或－
x＋
＝28.
解得t＝1.2或t＝2.8或t＝4.6.
∴两机器人出发1.2min或2.8min或4.6min时相距28m．]
类型二
1．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速/（km/h）
0
10
20
30
40
50
刹车距离/m
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
（1）y是x的函数，估计函数的类型，并求出函数解析式；
（2）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5m，请推测刹车时的速度是多少？
请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
解：
（1）设y与x之间的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c.由表中数据，得
解得
∴y与x之间的函数解析式为y＝0.002x2＋0.01x；
（2）当y＝46.5时，46.5＝0.002x2＋0.01x.
解得x1＝150，x2＝－155（舍去）.
∴刹车时的速度是150km/h.
∵150＞130，
∴汽车是超速行驶．
2．（2020·石家庄市模拟）“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：
销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大？
最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于3800元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
解：
（1）y＝－5x＋500；
（2）由题意，得
w＝（x－40）（－5x＋500）
＝－5x2＋700x－20000
＝－5（x－70）2＋4500.
∵－5＜0，∴w有最大值．
∴当x＝70时，w最大＝4500.
∴应降价80－70＝10（元）.
答：
当降价10元时，每月获得的利润最大，最大利润为4500元；
（3）由题意，得－5（x－70）2＋4500＝3800＋200.
解得x1＝60，x2＝80.
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当60≤x≤80时，符合该网店要求．
而为了让消费者得到最大实惠，则x＝60.
∴当销售单价定为60元时，既符合网店要求，又能让消费者得到最大实惠．
3．（2020·衡水市模拟）在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2m，与篮筐中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m．篮球运行的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3m，通过计算说明此球能否投中．
探究一：
若出手的角度、力度和高度都不变的情况下，求小明朝着篮球架再向前平移多少米后投篮也能将篮球投入篮筐中？
探究二：
若出手的角度、力度和高度都发生改变的情况下，但是抛物线的顶点等其他条件不变，求小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮筐中？
探究三：
若出手的角度、力度都改变，出手高度不变，篮筐的坐标为（6，3.44），球场上方有一组高6m的电线，要想在篮球不触碰电线的情况下，将篮球投入篮筐中，直接写出二次函数解析式中a的取值范围．
解：
∵抛物线的顶点为（4，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a1（x－4）2＋4.
将点（0，2）代入上式，得2＝16a1＋4.解得a1＝－
.
∴y＝－
（x－4）2＋4.
当x＝7时，y＝－
＋4＝
≠3.
∴此球不能投中．
探究一：
设向前平移hm.
由题意可得平移后y＝－
（x－4－h）2＋4.
将点（7，3）代入上式，得3＝－
（7－4－h）2＋4.
解得h＝3±2
.
根据实际情况可知h取3－2
，
即向前平移（3－2
）m，可将篮球投入篮筐中．
探究二：
设y＝a2（x－4）2＋4.
将点（7，3）代入上式，得3＝a2（7－4）2＋4.解得a2＝－
.
∴y＝－
（x－4）2＋4.
当x＝0时，y＝
，
－2＝
，即小明出手的高度需要增加
m才能将篮球投入篮筐中．
探究三：
－
.
[若篮球刚触碰到电线，则设y＝a（x－b）2＋6.
将点（0，2），（6，3.44）代入上式，得
∴b＝30（舍去）或b＝
.
∴a＝－
.
若篮球最高点坐标为（6，3.44），则
设y＝a（x－6）2＋3.44.
将点（0，2）代入上式，得2＝36a＋3.44.
解得
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