奥数专题几何燕尾模型.docx
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奥数专题几何燕尾模型
O，
燕尾定理：
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点那么，
SABO:
SACOBD:
DC
因为
ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明燕尾定理：
如右图，D是BC上任意一点，请你说明：
S1:
S4S2:
S3BD:
DC
D
解析】三角形
三角形
三角形
BED与三角形
ABE与三角形
ACE与三角形
CED同高，
EBD同高，
CED同高，
分别以
S1:
S2
S4:
S3
BD、DC为底，所以有S1:
S4BD:
DC；
ED:
EA；
ED:
EA，所以S1:
S4S2:
S3；
综上可得，S1:
S4S2:
S3BD:
DC.
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2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在
BC上，且BD:
DC1:
2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．
方法一：
连接CF，根据燕尾定理，S△ABF
S△ACF设S△BDF1份，则S△DCF所以SDCEF5S△ABC5
12
C
解析】
方法二：
连接DE，
S△ADE
2S△
△ADC
S△DEF
S△DEB
而S△CDE
巩固】
如图，已知
BD
解析】
S△ABFS△CBF
BD
DC
2份，S△ABF
12
1，
，
2
AE
EC
3份，
1,
S△AEF
S△EFC3份，如图所标
由题目条件可得到S△ABD
2S
S△ABC
3△ABC11
1，所以
3
BF
FE
3S△ABC
S△ABD
S△ADE
23
S△ABC
DC，
FE
B
S△BEC
S△ABC1
12
1．所以则四边形
3
EC2AE，三角形
DFEC的面积等于5．
12
30，求阴影部分面积.
ABC的面积是
C
题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
（法一）连接CF，因为BDDC，
所以S△ABES△ABC10，S△ABD
3S△ABFAE1
S△CBFEC2
根据燕尾定理，
EC2AE，三角形ABC的面积是30，S△ABC
2S△ABF
S△ACF
15．
CBDD1,
所以S△ABFS△ABC7.5，S△BFD
4所以阴影部分面积是30107.5
157.57.5，
12.5．
（法二）连接DE，
由题目条件可得到
S△ABE
S△BDES△
2
△BEC
2S△ABC
3△ABC
10，所以
1，
S△ABC10，
3△ABC
AFS△ABE1
FDS△BDE1
S△DEF1
2
S△DEA
S△ADC
1S△ABC2.5，
2
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巩固】
解析】
巩固】
解析】
巩固】
解析】
而S△CDE21S△ABC10．所以阴影部分的面积为12.5．
32
如图，三角形ABC的面积是200cm2，E在AC上，点D在BC上，且AE:
EC3:
5AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．
C
连接CF，
根据燕尾定理，
S△ABF
S△ACF
BD
DC
S△ABF
S△CBF
AE
EC
6
10
设S△ABF6份，则S△ACF
9份,
S△BCF
10份，
BD:
DC2:
3，
45所以SDCFE200（6910）（6）
8
8（485
5
9
35
6）93（cm2）
S△EFC
485份，
S△CDF
102336份，
如图，已知BD3DC，EC2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC面积的几分之几？
连接CO,设S△AEO1份，则其他部分的面积如图所示，所以
13,93
60,3010
分按从小到大各占△ABC面积的1,24.5
3030
（2007年香港圣公会数学竞赛）如图所示，在
点X，若△ABC的面积为
方法一：
连接PQ．
△ABC中，
6，则△ABX的面积等于
S△ABC1213.59
3020
1
CPCB，
2
CQ
2CA，所以SVABQSVABC，
3
21AX:
XPSVABQ:
SVBPQSVABC:
SVABC4:
1，
36所以SVABX4SVABP41SVABC2SVABC262.4．
VABX5VABP52VABC5VABC5
方法二：
连接CX设S△CPX1份，根据燕尾定理标出其他部分面积，
由于CP2CB，CQ
由蝴蝶定理知，
91830份，所以四部
1
CA，BQ与AP相交于
3
SVBPQ
1SVBCQ
2
1．
SVABC．
6
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巩固】
解析】
巩固】
解析】
所以S△ABX6（1144）
如图，三角形ABC的面积是的面积各是多少?
连接CF，设S△AEF
1,
S△AEF,S△ABF
21
2.4
1，
BD2DC，
CE2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分
1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以
62,8,242,S△BDF,SFDCE
21721217
如图，E在AC上，D在BC上，且AE:
EC2:
3,BD:
DC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积．
1:
2，AD与BE交于点F．四边形DFEC
连接CF,根据燕尾定理，
S△ABFBD
S△ACFDC
S△ABF
S△CBF
AE
EC
设S△BDF
1份
份,S△EFC
4
2
所以S△ABC
22
三角形ABC中，
则
巩固】
3
3
4.4
S△DCF2份，
S△ABF
份，
S△AFC4份，
S△AEF
421.6
23
2.4份,如图所标,所以SEFDC
2
945（cm2）
C是直角，已知AC2，CD部分）的面积为多少？
D
2，
2.4
CB
B
4.4份,S△ABC234
3，AMBM，那么三角形AMN（阴影
解析】
连接BN．
△ABC的面积为3223根据燕尾定理，△ACN:
△ABNCD:
BD2:
1；同理△CBN:
△CANBM:
AM1:
1
巩固】
设△AMN面积为1份，则△MNB的面积也是1份，所以△ANB的面积是112份，而△ACN的面积就是224份，△CBN也是4份，这样△ABC的面积为441110份，所以△AMN的面积为31010.3．
如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少
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平方厘米?
D
E
C
y
C
解析】设S△DEF
1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示
12S△BCD12平方厘米.
例2】如图所示，
在四边形ABCD中，AB3BE，AD形BODC的面积为．
3AF，
四边形AEOF的面积是12，那么平行四边
解析】
解析】
解析】
S△ABO:
S△BDOAF:
FD1:
2,S△AOD:
S△BOD
如图所标，所以SBODC2SAEOF212
连接AO,BD,根据燕尾定理S△BEO1,则其他图形面积，
△BEO
AE:
BE2:
1,设24.
ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AGCD的面积是平方厘米．
连接AC、GB，设S△AGC份，SADCG
S△AGB
1份，根据燕尾定理得
314份，所以SADCG1226
如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，面积是平方厘米．
连接BH,根据沙漏模型得
因此S正方形（122）2
如图所示，在△ABC中，
1份，S△BGC
96（cm2）
AF与CE交于G，则四边形
1份，则S正方形（111）26
E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的
1:
2,设S△BHC1份，根据燕尾定理
127
10份，SBFHG，所以SBFHG120
236
BG:
GD
S△CHD2份，S△BHD2份10714（平方厘米）.
6
BE:
EC3:
1，D是AE的中点，那么AF:
FC
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解析】
巩固】
解析】
连接CD．
由于S△ABD:
S△BED1:
1，S△BED:
S△BCD根据燕尾定理，AF:
FCS△ABD:
S△BCD
3:
4，所以S△ABD:
S△BCD3:
4，3:
4．
在ABC中，BD:
DC3:
2，
AE:
EC3:
1，求OB:
OE？
连接OC．
因为BD:
DC3:
2，根据燕尾定理，
SAOB:
SAOC
BD:
BC
3
3:
2，即SAOB23S
AOC；
4
又AE:
EC3:
1，所以SAOCSAOE
3所以OB:
OESAOB:
SAOE2:
1．
．则SAOB
3SAOC
2
4
SAOE2SAOE，
3
巩固】在ABC中，BD:
DC2:
1，AE:
EC1:
3，求OB:
OE
解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC．连接OC．
AOC；
因为BD:
DC2:
1，根据燕尾定理，SAOB:
SAOCBD:
BC2:
1，即SAOB2S又AE:
EC1:
3，所以SAOC4SAOE．则SAOB2SAOC24SAOE8SAOE，所以OB:
OESAOB:
SAOE8:
1．
例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且
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11
AEAB，CFBC，
AF与CE相交于G，若矩形
ABCD的面积为120，则AEG与CGF的
34面积之和为．
解析】
1:
3，
（法1）如图，过
1
EB
2
1
3
所以AE
所以SAEG
2
且EGHF
3
F做CE的平行线交AB于H，则EH:
HB
CF:
FB
2EH，
AG:
GFAE:
EH2，即AG
2GF，
2
3
2
3
SABF
1．
SXABCD10．2
3EC
4所以两三角形面积之和为（法2）如上右图，连接AC、根据燕尾定理，SABG:
SACG
2
9
1
EC，故CGGE，则SCGF2
10
1SAEG
2
5．
而SABC
SXABCD60，
2
3
所以SABG321
SABC
则SAEGSABG10，SCFGAEG3ABGCFG所以两个三角形的面积之和为
515．BG．
BF:
CF3:
1
，SBCG:
SACG
BE:
AE
2:
1，
1
2
SBCG5，
4
15．
6030，
SBCG
321
，SABC
1
6020，
3
CE:
EA4:
3，求AF:
FB．
如右图，三角形ABC中，BD:
DC4:
9，
解析】
点评】
巩固】
根据燕尾定理得S△AOB:
S△AOCBD:
CD4:
912:
27S△AOB:
S△BOCAE:
CE3:
412:
16都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以S△AOC:
S△BOC27:
16AF:
FB
本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
如右图，三角形ABC中，BD:
DC3:
4，AE:
CE5:
6，求AF:
FB.
解析】
根据燕尾定理得S△AOB:
S△AOCBD:
CD3:
415:
20
S△AOB:
S△BOCAE:
CE5:
615:
18
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都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S△AOC:
S△BOC20:
1810:
9AF:
FB
巩固】
如图，BD:
DC2:
3,AE:
CE
5:
3,则AF:
BF
解析】
根据燕尾定理有
S△ABG:
S△ACG
2:
3
10:
15,S△ABG:
S△BCG5:
310:
6,所以
S△ACG:
S△BCG
15:
65:
2AF
:
BF
巩固】
如右图，三角形
ABC中，BD:
DC
EA:
CE5:
4，求AF:
FB.
2:
3，
2:
3
10:
15
解析】
根据燕尾定理得
S△AOB:
S△AOCBD:
CD
S△AOB:
S△BOCAE:
CE
5:
4
10:
8
点评】
都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S△AOC:
S△BOC15:
8AF:
FB本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
（2008年“学而思杯”六年级数学试题）如右图，三角形ABC中，AF:
FBBD:
DCCE:
AE3:
2，
且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为，三角形AGE的面积为，三角
形GHI的面积为．
分析】
、CG．
连接AH、BI
由于CE:
AE
3:
2，所以AE
根据燕尾定理，
SACG:
SABG
SACG:
SABG:
SBCG
那么SAGE5SAGC
同样分析可得
C
2
故SABESABC
5
2AC，
5
CD:
BD
2:
3
4:
6:
9，则SACG
19
，SBCG:
SABG
S9；
SBCG；
BCG19
2；
；
5
CE:
EA3:
2，所以
SACH
24
519
9
95
则EG:
EHSACG:
SACH4:
9，EG:
EBSACG:
SACB4:
19，所以
19
4:
5:
10，同样分析可得AG:
GI:
ID10:
5:
4，1
EG:
GH:
HB
所以SBIE150SBAE1505251，SGHI159SBIE15915
19
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巩固】
如右图，三角形ABC的面积．
ABC中，AF:
FB
BD:
DCCE:
AE3:
2，且三角形GHI的面积是1，求三角形
解析】
巩固】
分析】
巩固】
连接BG，S△AGC6份根据燕尾定理，S△AGC:
S△BGCAF:
FB
得S△BGC4（份），S△ABG
3:
26:
4，S△ABG:
S△AGC因此S△AGCS△ABC
9（份），则S△ABC19（份），
BD:
DC3:
29:
6
6,
19,
同理连接AI、CH得S△ABH
S△ABC
19666
所以S△GHI
S△ABC
6,S△BIC6
19S△ABC19
1
19
19
三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是
（2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级
AF2FC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的
如图，连接AI．根据燕尾定理，SBCI所以，SACI:
SBCI:
SABI那么，SBCI2
12
:
SACIBD:
AD
1:
2:
4，
SABC2S
47
ABC
19
）如图，ABC中BD2DA，CE2EB，倍．
2:
1，SBCI:
SABICF:
AF1:
2，
同理可知
ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的2，所以阴影三角形的面积等于ABC面积
7
1
1，所以ABC的面积是阴影三角形面积的
7
如图在△ABC中，
DCEA
DBEC
FB
FA
12,求
△GHI的面积的值．△ABC的面积的值．
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解析】
连接BG,设S△BGC
1份，根据燕尾定理S△AGC:
S△BGCAF:
FB2:
1,
S△ABG:
S△AGCBD:
DC
2:
1,
得S△AGC2（份），
S△ABG
4（份）,则S△ABC7（份），因此S△AGC2
S△ABC7
同理连接AI、CH得
点评】
巩固】
解析】
巩固】
S△ABH2
S△ABC7
所以S△GHI
S△ABC
S△BIC
S△ABC
72
2,
7
22
如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
如图在△ABC中，
DCEA
DBEC
连接BG,设S△BGC
得S△AGC3（份），
S△ABHS△BIC
△13,△
S△ABCS△ABC
所以S△GHI133
S△ABC
如右图，三角形的面积．
虽然形状千变万化，
FB1,求△GHI的面积的值．
FA3
△ABC的面积
1份，根据燕尾定理S△AGC:
S△BGCAF:
FB3:
1
S△ABG
3
13,
33
13
9（份）,则S△ABC13（份），因此S△AGC
S△ABC
S△ABG:
S△AGCBD:
DC
3
3,同理连接AI、CH得
13
3:
1,
13
ABC中，AF:
FB
BD:
DCCE:
AE4:
3，且三角形
ABC的面积是74，求角形
GHI
解析】连接BG，S△AGC12份
根据燕尾定理，S△AGC:
S△BGC
AF:
FB4:
3
12:
9，
S△ABG:
S△AGC
BD:
DC4:
316:
12
得S△BGC9（份），S△ABG16（份），则S△ABC
912
1637（份），
因此S△AGC12
S△ABC37
同理连接AI、CH得S△ABH12,S△BIC12
S△ABC37S△ABC37
所以S△GHI371212121
S△ABC
37
37
三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是
742
37
page10of17
两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，
则阴影四边形的面积是多少？
如图所示，
三个三角形的面积分别是3，7，7，
解析】
巩固】
解析】
方法一：
遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算再看这道题，设三角形为所以三角形则x:
33方法二：
设
飞的燕子，有（x37）:
7x:
3，解得x
出现两个面积相等且共底的三角形．
ABC，BE和CD交于F，则BFFE，再连结DE．
DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，
AD:
DBx10:
10，所以x15，四边形的面积为18．
根据燕尾定理S△ABF:
S△BFCS△AFE:
S△EFC,得到S△AEFx3，再根据向右下
7.5四边形的面积为7.57.5318
S△ADFx，
右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．
方法一：
整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：
2:
S阴影13:
4，解得S阴影2.
方法二：
回顾下燕尾定理，有2（:
S阴影4）1:
3，解得S阴影2.
例10】少?
如图，
三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，
问三角形ABC的面积是多
解析】设S△BOF
x，由题意知BD:
DC4:
3根据燕尾定理,得
3
（84x）
4
S△ABO:
S△ACOS△BDO:
S△CDO4:
3,所以S△ACO
再根据S△ABO:
S△BCOS△AOE:
S△COE，列方程
（84
3
63x，
4
3
x）:
（4030）（63x
4
35）:
35解得x56
S△AOE:
35
所以三角形
（
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