初二上数学知识点.docx

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初二上数学知识点

八年级上册数学知识点

（一）1、勾股定理：

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）

如果三角形的三边长a，b，c满足

，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数

满足

的三个正整数，称为勾股数。

对于任意两个整数m，n（m>n>0），

，

和2mn

这三个数就是一组勾股数，可见勾股数组有无数组。

4、应用勾股定理解决实际问题

（1）解决两点距离问题：

画出正确的图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边。

（2）解决航海问题：

理解方向角、灯塔等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决问题。

（3）解决实际问题中两线段是否垂直的问题：

以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。

（4）解决折叠问题：

正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题。

（5）解决梯子问题：

梯子架到墙上，梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题。

（6）解决侧面展开问题：

将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题。

（二）1、无理数的概念：

无限不循环小数叫做无理数

2、无理数包括：

（1）带根号且开方开不尽的数，

（2）有特定意义的数（3）有一定结构的无限小数（4）无限不循环小数

3、确定

中的正数x的近似值的方法，

（1）确定正数x的整数部分。

根据平方的定义，把x夹在两个连续的正整数之间，确定其整数部分，例如：

求

中的正数x的整数部分。

因为

，即

，所以

，因此整数部分为2。

，

（2）确定x的小数部分的十分位上的数字。

所以4.84<5<5.29

所以

所以

，所以十分位上的数字为2。

4、算术平方根

算术平方根的概念：

一般的，如果一个正数x的平方等于a，即

，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，特别的，０的算术平方根是0。

算术平方根的性质：

（1）正数a的算术平方根为

，

（2）0的算术平方根是0，即

=0，

（3）负数没有算术平方根。

算术平方根

具有双重非负数：

被开方数是非负数，即a≥0，算术平方根

本身是非负数，即

≥0

5、平方根

平方根的概念：

一般的，如果一个数x的平方等于a，即

=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次根式）

平方根的性质：

一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根“

”，另一个是“－

”，它们互为相反数，合起来记作“

”；0平方根是0；负数没有平方根。

6、开平方

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开平方数。

7、两个重要的性质

（1）

，即当

时，

，当

时，

（2）

8、立方根的概念

一般的，如果一个数x的立方等于a，即

，那么这个数就叫做a的立方根（也叫三次方根）。

立方根的性质：

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

9、开立方

求一个数a的立方根的运算叫做开立方。

10、两个重要的性质

（1）

，如

（2）

，如

11、无理数大小比较的常见方法：

估算法，求差法，平方法。

12、实数

实数的概念：

有理数和无理数统称为实数.

13、实数的有关概念和性质

实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数的相反数、绝对值、倒数的意义是相同的，即有理数中的概念在实数范围内仍适用.

14、无理数的乘法、除法法则及计算

（1）

，

（2）

（三）1、平移的概念

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.

2、平移的性质

对应线段平行（或共线）且相等，

对应点连线的线段平行且相等，经过平移，

图形上的每一个点都向同一个方向移动了相同的距离，

平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形（这四点共线除外）

对应角分别相等，对应角的两边分别平行，且方向一致。

平移后的图形与原图形全等，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。

3、旋转的概念

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

旋转中心：

在旋转过程中始终保持固定不动的那个定点，称为旋转中心.旋转中心可以是平面内的任意一点.

旋转角：

在平面内，图形绕一个定点沿某个方向转动的角称为旋转角。

4、旋转的基本性质

经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同。

任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。

对应点到旋转中心的距离相等。

对应线段相等，对应角相等。

（四）1、平行四边形的概念：

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.

2、平行四边形的性质

对边平行且相等

对角相等，邻角互补

对角线——对角线互相平分

平行四边形的对角线分得的四个三角形的面积相等。

3、平行线之间的距离

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

平行线之间的距离处处相等。

4、平行四边形的判别方法

两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

对角线互相平分的四边形是平行四边形.

5、菱形的概念：

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

6、菱形的性质

菱形的四条边都相等，

两条对角线互相垂直平分，

每一条对角线平分一组对角

它是轴对称图形，有两条对称轴。

7、菱形的判别方法

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）四条边相等的四边形是菱形

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

8、菱形的面积：

菱形的面积等于两条对角线长的积的一半

9、矩形的概念：

有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。

10、矩形的性质

矩形具有平行四边形的一切性质

矩形的对角线相等

矩形的四个角都是直角

矩形是轴对称图形，有两条对称轴

11、矩形的判别

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是矩形。

12、正方形的概念：

一组邻边相等的矩形叫做正方形。

13、正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

正方形的四条边相等、对边平行、邻边垂直。

正方形的四个角都是直角。

正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

14、正方形的判别

一组邻边相等的矩形是正方形

有一个角是直角的菱形是正方形

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

15、矩形性质的延伸

矩形对角线的交点到各顶点的距离相等。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

16、梯形的概念：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

17、特殊梯形

等腰梯形：

两腰相等的梯形

直角梯形：

一腰和底垂直的梯形。

18、等腰梯形的性质

两腰相等

同一底上的两个内角相等，两底所夹同旁内角互补。

两条对角线相等

是轴对称图形，有一条对称轴。

19、等腰梯形的判别

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

对角线相等的梯形是等腰梯形

两腰相等的梯形是等腰梯形。

20、多边形的有关定义

在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫做多边形。

一个多边形有几条边就叫做几边形。

在平面内内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形，

21、多边形的内角和公式

n边形的内角和=（n-2）·180°，其中n≥3，且为正整数

22、多边形的外角和公式

多边形的外角和都等于360°，多边形的外角和是一个定值，与它的边无关。

23、中心对称图形

在平面内，一个图形绕某一个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

24、中心对称图形的性质

中心对称图形上的每一对对应点所连接的线段都被对称中心平分。

（五）1．平面直角坐标系及有关概念

定义：

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

特点：

（1）两条数轴

（2）取向右与向上的方向为正方向

（3）水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴

（4）公共点O称为直角坐标系的原点

（5）两坐标轴把平面分成四个部分，分别是第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

2．点的坐标的定义及特点

定义：

对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足在x轴，y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标，纵坐标，

有序实数对（a，b）叫做点P的坐标。

注意：

写一个点的坐标时，应把横坐标写在前面，把纵坐标写在后面，中间用逗号隔开，并且用括号括起来。

特点：

（1）x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。

（2）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。

3．各象限内点的横、纵坐标的特点

第一象限的横、纵坐标都为正，

第二象限的横坐标为负、纵坐标为正，

第三象限的横、纵坐标都为负，

第四象限的横坐标为正，纵坐标为负。

相反亦可根据点的坐标的正负值找到点所在的象限。

4．与坐标有关的距离

（1）点P（a，b）到x轴的距离为

。

（2）点P（a，b）到y轴的距离为

。

（3）点P（a，b）到原点的距离为OP=

（由勾股定理可得）

（4）两点

之间的距离AB=

5．图形上点的坐标变化与图形变化之间的关系

（1）纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的k倍。

①当k>1时，原图形被横向拉长为原来的k倍。

②当0

（2）横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的k倍。

①当k>1时，原图形被纵向拉长为原来的k倍。

②当0

（3）纵坐标保持不变，横坐标分别加k

①当k为正数时，原图形形状、大小不变，向右平移k个单位长度。

②当k为负数时，原图形形状、大小不变，向左平移

个单位长度。

（4）横坐标保持不变，纵坐标分别加k。

①当k为正数时，原图形形状、大小不变，向上平移k个单位长度。

②当k为负数时，原图形形状、大小不变，向下平移

个单位长度。

（5）横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于横轴对称．

（6）纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于纵轴对称

（7）横、纵坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于原点成中心对称。

（8）横、纵坐标分别变为原来的k倍。

①当k>1时，所得图形与原图形相比，形状不变，面积扩大为原来的

倍。

②当0

倍。

6．直角坐标系中两对称点的坐标的关系

（1）点P（a，b）关于x轴的对称点是（a，－b）.

（2）点P（a，b）关于y轴的对称点是（－a，b）.

（3）点P（a，b）关于原点的对称点是（－a，－b）.

利用上述关系可以做出一个关于x轴或y轴对称的图形，

也可以做出一个关于原点成中心对称的图形。

（六）1函数的概念：

一般的，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应的就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

2．函数的表达形式：

（1）列表法

（2）图像法（3）解析式法

3．函数值：

函数值是指自变量在数值范围内取某个值时，因变量与之对应的确定的值。

例如：

在正方形的面积公式S=a2中，若a=2，则S=4，若a=3则S=9，这就说明4是当a=2时的函数值，9是当a=3时的函数值。

4．一次函数和正比例函数的概念

若两个变量x和y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量），特别的，当b=0时称y是x的正比例函数

5．确定一次函数关系式

根据实际问题中的条件正确的列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x的代数式表示y，注意自变量的取值应使实际问题有意义。

6．函数的图像

把一个函数的自变量x与因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像。

画函数图像的一般步骤：

列表、描点、连线

7．一次函数的图像

由于一次函数y=kx+b的图像是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b。

由于两点确定一条直线，因此在今后做一次函数图像时，只要描出两点即可，例如：

画一次函数y=kx+b的图像时，只要描出点（0，b），（－b/k，0）即可，画正比例函数y=kx的图像时，只要描出点（0，0），（1，k）即可。

8．一次函数y=kx+b的性质

（1）k的正、负决定直线的倾斜方向。

①当k>0时，y的值随x值的增大而增大。

②当k<0时，y的值随x值的增大而减小。

（2）︳k︱的大小决定直线的倾斜程度，即︳k︱越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），︳k︱越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）

（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置

①当b>0时，直线与y轴交于正半轴上。

②当b<0时，直线与y轴交于负半轴上。

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数。

（4）k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同。

①当k>0，b>0时，直线经过第一、二、三象限。

②当k>0，b<0时，直线经过第一、三、四象限。

③当k<0，b>0时，直线经过第一、二、四象限。

④当k<0，b<0时，直线经过第二、三、四象限。

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此它们是平行的，另外从平移的角度也可以分析，例如，直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的。

9．正比例函数y=kx的性质

（1）正比例函数y=kx的图像必经过原点。

（2）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大。

（3）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

10．点p（

）与直线y=kx+b的图像的关系

（1）若点p（

）在直线y=kx+b的图像上，那么

的值必满足解析式y=kx+b。

（2）若

是满足函数解析式的一对对应值，那么以

为坐标的点p（

）必在函数的图像上。

例如，点p（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则p（1，2）在直线y=x+1的图像上，点p′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为x=2时y=3，所以点p′（2，1）不在直线y=x+1的图像上。

11．确定正比例函数及一次函数表达式的条件

（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可以求k值。

（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值。

12．用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤

（1）函数表达式为y=kx+b，其中包含待定系数k，b

（2）根据条件列方程（组）

（3）方程（组），求出待定系数k与b的值。

（4）将待定系数k，b的值代入所设的函数表达式中，得到一次函数表达式。

（七）1．二元一次方程组的概念

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

2．二元一次方程的一个解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

3．二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

4．代入消元法（简称代入法）

代入法的基本思路是：

通过“代入”，达到“消元”（即消去一个未知数）的目的，从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

由以上可总结出代入法的一般步骤为：

（1）选择较简单的方程，用其中一个未知数表示另一个未知数，写成x=或y=的形式。

（2）代入，将变形的代数式代入到另一个方程中去，消去一个未知数，使方程变为一元一次方程。

（3）求一个解：

解一元一次方程，求出一个解。

（4）求另一个解：

将求出的一个解代入方程组中任意一个方程，可求出另一个解。

（5）写出原方程组的解。

5．加减消元法（简称加减法）

加减法的基本思路：

通过“加减”达到化“二元”为“一元”，即消去元的目的。

①若有一个字母的系数相同或互为相反数，这时直接将两方程相加或相减。

②若有一个字母的系数成倍数关系，只需将系数较小的一个方程两边同时乘以一个适当的数，使系数与另一个方程相应字母系数的绝对值相等。

③若两个方程中对应未知数的系数既不相等，也不互为相反数，又没有某一个字母的系数是另一个相同字母系数的倍数时，则需将方程组中的两个方程都变形。

④解一元一次方程，求出一个未知数的解。

⑤求出另一个未知数的值。

⑥检验：

把已知的解带入原方程组（或变形后的系数较简单的方程组）的每一个方程中进行检验。

6．列二元一次方程组解应用题的一般步骤

（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题中的两个未知数。

（2）找出表示应用题全部含义的两个相等关系。

（3）根据找出的两个相等关系列出所需的代数式，从而列出方程组。

（4）解方程组。

（5）检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合题意，否则要舍去。

（6）写出答案，包括单位名称。

7．有关销售问题的公式

（1）利润＝总产值－总支出

（2）利润率＝

（3）商品利润＝销售价格－进货价格

（4）商品利润率＝

8．数字问题（十进制整数的表示方法）

两位数：

=10

+

三位数：

=100

+10

+

四位数：

=1000

+100

+10

+

……

9．二元一次方程与一次函数的关系

直线y=kx+b（k≠0）的解析式是一个关于x，y的二元一次方程，以二元一次方程y－kx=b的解为坐标的点组成的图像就是一次函数y=kx+b的图像。

10．二元一次方程组与一次函数的关系

两条直线

：

y=

（

≠0），

的交点坐标就是关于x，y的方程组

的解。

11．二元一次方程组的图像解法。

画出方程组中两个一次函数的图像，找出它们的交点，即可得到相应的二元一次方程组的解，这种解方程组的方法叫做二元一次方程组的图像解法。

（八）1．平均数的概念

算术平均数：

一般的，对于n个数

，我们把

叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作：

。

加权平均数：

如果n个数中，

出现

次，

出现

次，…，

出现

次（

+

+…+

=n），那么这n个数的平均数可以表示为

，这样的平均数叫做加权平均数，其中

叫做权。

2．中位数的概念

中位数：

一般的，n个数据按大小顺序排列，处于最中间的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

3．众数的概念

众数：

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。