最新高中数学圆锥曲线解题技巧优秀名师资料.docx

资源描述

最新高中数学圆锥曲线解题技巧优秀名师资料.docx

《最新高中数学圆锥曲线解题技巧优秀名师资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高中数学圆锥曲线解题技巧优秀名师资料.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

最新高中数学圆锥曲线解题技巧优秀名师资料.docx

最新高中数学圆锥曲线解题技巧优秀名师资料

高中数学圆锥曲线解题技巧

篇一:

高中数学圆锥曲线解题技巧总结

解圆锥曲线问题的常用方法大全

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r1+r2=2a。

第二定义中，r1=ed1r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。

r1?

r2?

2a，当r1r2时，注意r2的最小值为c-a:

第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用

韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A（x1,y1）,B（x2,y2）,

弦AB中点为M（x0,y0），将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有:

xy0x2y2

0。

（1）2?

1（a?

0）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M（x0,y0），则有022ababxy0x2y2

（2）2?

1（a?

0,b?

0）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M（x0,y0）则有022abab

（3）y2=2px（p0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M（x0,y0）,则有2y0k=2p,即y0k=p.

【典型例题】

例1、

（1）抛物线C:

y2=4x上一点P到点A（3,42）

（2）抛物线C:

y2=4x上一点Q到点B（4,1）与到焦点F的距离和最小,分析:

（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PH?

PFP、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR?

l交于R，则当B、Q、R最小。

解:

（1）（2，2）

连PF，当A、P、F三点共线时，AP?

PH?

AP?

PF最小，此时y=22（x-1）,代入y2=4x得P（2,22），（注:

另一交点为（

2）2

（2）（

1）4

过Q作QR?

l交于R，当B、Q、R三点共线时，BQ?

QF?

BQ?

QR最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=

14，?

Q（14

1）点评:

这是利用定义将“点点距离”与“点线距离

”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例2、F是椭圆x2y2

1的右焦点，A（1,1）为椭圆内一定点，

（1）?

PF的最小值为

（2）?

2PF的最小值为

分析:

PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF?

题。

解:

（1）4-5

设另一焦点为F?

，则F?

（-1,0）连AF?

PF?

PA?

PF?

2a?

PF?

2a?

（PF?

）?

2a?

AF?

当P是F?

A的延长线与椭圆的交点时,?

PF取得最小值为4-。

（2）3

作出右准线l，作PH?

l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=12

，?

PF?

PH,即2PF?

PH?

2PF?

当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为a2

xA?

例3、动圆M与圆C1:

（x+1）2+y2=36内切,与圆C2:

（x-1）2+y2=4分析:

作图时，要注意相切时的“图形特征”（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）等于半径”（如图中的MC?

MD）。

解:

如图，MC?

MD，

AC?

MA?

MB?

DB6?

MB?

8（*）

x2y2

点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b=15轨迹

方程为

1615

点评:

得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出

（x?

1）2?

y2?

（x?

1）2?

y2?

4，再移项，平方，?

相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐～

例4、?

ABC中，B（-5,0）,C（5,0）,且sinC-sinB=

sinA,求点A的轨迹方程。

分析:

由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。

解:

sinC-sinB=

sinA2RsinC-2RsinB=?

2RsinA553

BC5

AB?

AC?

即AB?

AC?

6（*）

点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）?

2a=6，2c=10?

a=3，c=5，b=4

x2y2

1（x3）所求轨迹方程为

916

点评:

要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。

分析:

（1）可直接利用抛物线设点，如设A（x1,x12），B（x2，X22），又设AB中点为M（x0y0）用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。

解法一:

设A（x1，x12），B（x2，x22），AB中点M（x0，y0）

（x1?

x2）2?

（x12?

x2）?

则?

x1?

x2?

2x0

2y120?

由?

得（x1-x2）2[1+（x1+x2）2]=9

即[（x1+x2）2-4x1x2]?

[1+（x1+x2）2]=9?

由?

、?

得2x1x2=（2x0）2-2y0=4x02-2y0代入?

得[（2x0）2-（8x02-4y0）]?

[1+（2x0）2]=9

4y0?

4x0?

，2

4x0

4y0?

4x0?

992

（4x?

1）?

1022

4x04x0?

5,y0?

当4x02+1=3即x0?

5225

时，（y0）min?

此时M（?

）

4224

法二:

如图，2MM2?

AA2?

BB2?

AF?

BF?

AB?

MM2?

3，即25

MM1?

，当4

M到x

点评:

用梯形的中位线，转化为F，而且点Mx2y2

1（2?

5）过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从

左到右依次变于A、例6、已知椭圆

mm?

B、C、D、设f（m）=AB?

CD,

（1）求f（m）,

（2）求f（m）的最值。

分析:

此题初看很复杂，对f（m）的结构不知如何运算，因A、B圆上，同样C在椭圆上，Df（m）?

（xB?

xA）2?

（xD?

xC）2?

2（xB?

xA）?

（xD?

2（xB?

xC）?

（xA?

xD）

2（xB?

XC）

此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

x2y2

1中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1（-1,0）解:

（1）椭圆

mm?

则BC:

y=x+1,代入椭圆方程即（m-1）x2+my2-m（m-1）=0得（m-1）x2+m（x+1）2-m2+m=0?

（2m-1）x2+2mx+2m-m2=0

设B（x1,y1）,C（x2,y2）,则x1+x2=-

（2?

5）

2m?

f（m）?

AB?

CD?

2（xB?

xA）?

（xD?

xC）2m

2（x1?

x2）?

（xA?

xC）?

2x1?

x2?

2m?

（2）f（m）?

2m?

2（1?

）

2m?

12m?

当m=5时，f（m）min?

942

当m=2时，f（m）max?

点评:

此题因最终需求xB?

xC，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M（x0,y0）,通过将B、C坐标代入作差，得

x0yxx?

1m?

0，将y0=x0+1，k=1代入得0?

0，?

x0?

，可见mm?

1mm?

12m?

xB?

xC?

2m?

当然，解本题的关键在于对f（m）?

AB?

CD的认识，通过

线段在x轴的“投影”发现f（m）?

xB?

xC是解此题的要点。

【同步练习】

篇二:

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线

1、圆锥曲线的中点弦问题:

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b2x0x2y2

在椭圆2?

1中，以P（x0,y0）为中点的弦所在直线的斜率k=,2;

ay0ab

b2x0x2y22

在双曲线2?

1中，以P（x0,y0）为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛物线y?

2px（p?

0）中，以

abay0

P（x0,y0）为中点的弦所在直线的斜率k=。

提醒:

因为?

0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验?

0～

2（了解下列结论

2222

（1）双曲线x?

1的渐近线方程为x?

a2b2a2b2

2222

（2）以y?

x为渐近线（即与双曲线x?

1共渐近线）的双曲线方程为x?

（?

为参数，?

0）。

2222

aabab

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx?

ny?

2b2b2

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛

物线的通径为2p，焦准距为p;

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦;

（6）若抛物线y?

2px（p?

0）的焦点弦为AB，A（x1,y1）,B（x2,y2），则?

|AB|?

x1?

x2?

y1y2?

p2?

x1x2?

（7）若OA、OB是过抛物线y?

2px（p?

0）顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点（2p,0）

3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:

（1）在?

ABC中，给出AD?

AB?

AC,等于已知AD是?

ABC中BC边的中线;

（2）在?

ABC中，给出?

，等于已知O是?

ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）;（3）在?

ABC中，给出OA?

OB?

OC?

0，等于已知O是?

ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）;

（4）在?

ABC中，给出?

，等于已知O是?

ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）;

（5）给出以下情形之一:

AB//AC;?

存在实数?

使B?

AC;?

若存在实数

222

且?

1,使OC?

OA?

OB,等于已知A,B,C三点共线.

（6）给出?

0,等于已知MA?

MB,即?

AMB是直角,给

出?

0,等于已知?

AMB是钝角,给出?

0,等于已知?

AMB是锐角,

（8）

给出?

等于已知MP是?

AMB的平分线/（9）在平行四边形ABCD中，给出（?

）?

（?

）?

0，等于已知ABCD是菱形;

（10）在平行四边形ABCD中，给出|AB?

AD|?

|AB?

AD|，等于已知ABCD是矩形;

4.圆锥曲线中线段的最值问题:

例1、

（1）抛物线C:

y2=4x上一点P到点A（3,42）

（2）抛物线C:

y2=4x上一点Q到点B（4,1）与到焦点F的距离和最小,分析:

（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PH?

PF，共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR?

l交于R，则当B、Q、R解:

（1）（2，2）

（2）（

1）4

y2?

1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1、已知椭圆C1的方程为4

的左、右焦点。

（1）求双曲线C2的方程;

（2）若直线l:

kx?

2与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足

OA?

OB?

6（其中O为原点），求k的取值范围。

解:

（?

）设双曲线C2的方程为x?

1，则a2?

3,再由a2?

b2?

c2得b2?

x2x22

1.（II）将y?

kx?

2代入?

y2?

1得（1?

4k2）x2?

82kx?

0.故C2的方程为34

由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

（82）2k2?

16（1?

4k2）?

16（4k2?

1）?

0,即k2?

将

kx?

2代入?

y2?

1得（1?

2）x2?

62kx?

0.由直线l与双曲线C

2恒有两个不同的交点A，B

3k?

0,22得?

即k?

且k?

222

（?

）?

36（1?

3k）?

36（1?

k）?

设A（xA

yA）,B（xB,yB）,则xA?

xB?

3k21?

3k2

由OA?

OB?

6得xAxB?

yAyB?

6,而xA

xB?

yAyB?

xAxB?

（kxA?

kxB?

（k2?

1）xAxB?

（xA?

xB）?

（k?

1）?

3k23k2?

2.3k?

3k2?

715k2?

1313122

于是2?

6,即?

0.解此不等式得k?

或k?

3k?

13k?

1153

由?

、?

得

1113

k2?

或?

k2?

1.4315

故k

的取值范围为（?

1,11?

（?

）?

（?

222.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,-1），B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MA?

AB=MB?

BA，M点的轨迹为曲线C。

（?

）求C的方程;（?

）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

（?

）设M（x,y）,由已知得B（x,-3）,A（0,-1）.所以MA=（-x,-1-y）,MB=（0,-3-y）,AB=（x,-2）.再由愿意得知?

（MA+MB）?

AB=0,即（-x,-4-2y）?

（x,-2）=0.

12121'1x-2.（?

）设P（x0,y0）为曲线C:

y=x-2上一点，因为y=x,所以l的斜率为x0442212

因此直线l的方程为y?

y0?

x0（x?

x0），即x0x?

2y?

2y0?

0。

所以曲线C的方程式为y=

x0?

4112?

2,则O点到l

的距离d?

.又y0?

x0?

2，所以d?

422

当x0=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.

x2y22

3.设双曲线2?

1（a,0,b,0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心率等于（）

x2y2?

4.过椭圆2?

1（a?

0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若?

F1PF2?

60，则椭圆的

离心率为

x2y2

1（b?

0）的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y?

x，点P（,y0）在双曲线5.已知双曲线

上.则PF1?

PF2,（）0

6.已知直线y?

与抛物线C:

8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|?

2|FB|，则

（）

7.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点。

若AB的中点为（2，

2），则直线l的方程为_____________.

x2y2

1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|?

4，则|PF2|?

F1PF2的大小为8.椭圆92

篇三:

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]

（1）

圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义:

第一定义中要重视“括号”内的限制条件:

椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹;双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a,|F1F2|不可忽视。

若2a,|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a，|F1F2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如

8表示的曲线是_____（答:

双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）:

abab

方程Ax2?

By2?

C表示椭圆的充要条件是什么,（ABC?

0，且A，B，C同号，A?

B）。

（1）椭圆:

焦点在x轴上时

（a?

0），焦点在y轴上时?

1（a?

0）。

若x,y?

R，且3x2?

2y2?

6，则x?

y的最大值是____，x2?

y2的最小值是___

2）。

方程?

2=1，焦点在y轴上:

2,1（a?

0,b?

0）2

abab

。

Ax?

By?

C表示双曲线的充要条件是什么,（ABC?

0，且A，B异号）

如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?

则C的方程为_______（答:

x2?

y2?

6）

（3）抛物线:

开口向右时y2?

2px（p?

0），开口向左时

y2?

2px（p?

0），开口向上时

2py（p?

0），开口向下时x?

2py（p?

0）。

（2）双曲线:

焦点在x轴上:

2的双曲线C过点P（4,?

），

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后

再判断）:

（1）椭圆:

由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的

坐标轴上。

如已知方程

1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答:

（?

1）?

（1,））

（2）双曲线:

由x

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;

（3）抛物线:

焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

222222

提醒:

在椭圆中，a最大，a?

c，在双曲线中，c最大，c?

b。

4.圆锥曲线的几何性质:

1（a?

0）为例）:

范围:

a,?

b;?

焦点:

两2ab

个焦点（?

c,0）;?

对称性:

两条对称轴x?

0,y?

0，一个对称

中心（0,0），四个顶点（?

a,0）,（0,?

b），

（1）椭圆（以

其中长轴长为2a，短轴长为2b;?

准线:

两条准线x?

越小，椭圆越圆;e越大，椭圆越扁。

离心率:

，椭圆?

1，

如

（1）若椭圆

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积

最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为

1的离心率e?

，则m的值是__（答:

3或

）;

__（答:

22）

两个焦点（?

c,0）;?

对称性:

两条对称轴x?

0,y?

0，一个对

称中心（0,0），两个顶点（?

a,0），其

（2）双曲线（以

范围:

a或x?

a,y?

R;?

焦点:

1（a?

0,b?

0）为

例）

中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的

长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x?

k,k?

0;?

准线:

两条准线x?

离心率:

，双曲线?

bax。

e越小，开口越小，e越大，开口越大;?

两条渐近线:

（3）抛物线（以y2?

2px（p?

0）为例）:

范围:

0,y?

焦点:

一个焦点（

0），其中p

的几何意义是:

焦点到准线的距离;?

对称性:

一条对称

轴y?

0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）;

准线:

一条准线x?

离心率:

，抛物线?

1。

116a

如设a?

0,a?

R，则抛物线y?

4ax2的焦点坐标为________

（答:

（0,5、点P（x0,y0）和椭圆

;））

x0a

（1）点P（x0,y0）在椭圆外?

1（a?

0）的关系:

x0a

y0b

（2）点P（x0,y0）在椭圆上?

y0b

1;（3）点P（x0,y0）在椭圆内?

x0a

y0b

6（直线与圆锥曲线的位置关系:

（1）相交:

直线与椭圆相交;?

直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有?

0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故?

0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件;?

直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有?

0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故?

0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切:

直线与椭圆相切;?

直线与双曲线相切;?

直线与抛物线相切;

（3）相离:

直线与椭圆相离;?

直线与双曲线相离;?

直线与抛物线相离。

提醒:

（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:

相切和相交。

如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;

（2）过双曲线

公共点的情况如下:

P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条;?

P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条;?

P在两条渐近线上但非原点，只有两条:

一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线;?

P为原点时不存在这样的直线;（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:

两条切线和一条平行

展开阅读全文