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二点分布的应用：
如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.
超几何分布
~
一般地,设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n（n≤N）件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，
则它取值为k时的概率为
，其中
且
则称随机变量X的分布列
为超几何分布列,且称随机变量X服从参数N、M、n的超几何分布
注意：
'
（1）超几何分布的模型是不放回抽样；
（2）超几何分布中的参数是N、M、n，其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量
解题步骤：
例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率
解：
设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布,其中
X可能的取值为0，1，2，3，4,5.
由题目可知，至少摸到3个红球的概率为
≈
答：
中奖概率为.
（
条件概率
1.定义：
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P（B|A），读作A发生的条件下B的概率
2.（
3.事件的交（积）:
由事件A和事件B同时发生所构成的事件D，称为事件A与事件B的交（或积）.记作D=A∩B或D=AB
4.条件概率计算公式:
P（B|A）相当于把A看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:
。
解题步骤：
例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.
解：
设A={第一个取到次品}，
{
B={第二个取到次品}，
所以，P（B|A）=P（AB）/P（A）=2/9
答：
第二个又取到次品的概率为2/9.
。
相互独立事件
1.定义：
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
说明
（1）判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A（或B）发生与否对B（或A）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.
（2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.
（3）如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立.
|
`
说明
（1）使用时，注意使用的前提条件；
（2）此公式可作为判断事件是否相互独立的理论依据，即P（A·B）=P（A）·P（B）是A、B相互独立的充要条件.
2.相互独立事件同时发生的概率公式
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
则有
如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，
>
等于每个事件发生的概率的积。
即：
P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·…·P（An）
则称A，B相互独立
3.两事件是否互为独立事件的判断与证明
？
4.解题步骤
例题、一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A，“第二个取出的是白球”为事件B，试问A与B是不是相互独立事件
答：
不是，因为件A发生时（即第一个取到白球），事件B的概率P（B）=1/3，而当事件A不发生时（即第一个取到的是黑球），事件B发生的概率P（B）=2/3，也就是说，事件A发生与否影响到事件B发生的概率，所以A与B不是相互独立事件。
证明：
由题可知，
P（B|A）=1/3，
P（B|A的补集）=2/3
因为P（B|A）≠P（B|A的补集）
!
所以A与B不是相互独立事件
>
独立重复试验
1.定义：
在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
2.说明：
①这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的
②每次试验是在同样条件下进行；
③每次试验间又是相互独立的，互不影响.
~
前提
二项分布
1.
引入:
一般地，如果在1次实验中某事件A发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
。
P（
）
Pn（k）是[（1-P）+P]n的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公式.
2.二项分布定义：
设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中
（其中k=0,1,,n，q=1-p）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：
由于
恰好是二项展开式
中的第k+1项，所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n，p），其中n，p为参数，
并记：
：
3.解题步骤
例题、某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
解：
依题意，随机变量ξ～B（2，5%）．
∴P（ξ=0）=（95%）2=，
P（ξ=1）=（5%）（95%）=，
P（ξ=2）=（5%）2=．
因此，次品数ξ的概率分布是
…
几何分布
1.定义：
在独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试验次数ξ也是一个取值为正整数的随机变量。
“ξ=k”表示在第k次独立重复试验时事件A第一次发生。
如果把第k次实验时事件A发生记为Ak，p（Ak）=p，事件A不发生记为，P（）=q（q=1-p），那么
（k=0,1,2…,q=1-p.）
…
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
称ξ服从几何分布，并记g（k,p）=p·qk-1
）
【
离散型随机变量的期望和方差
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量
说明：
（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
（2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn，则有p1=p2=…=pn=，Eξ=（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
（3）随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：
前者是常数，不依赖样本抽取；后者是一个随机变量.
—
Dξ=（x1-Eξ）2·P1+（x2-Eξ）2·P2+…+（xn-Eξ）2·Pn+…
叫随机变量ξ的均方差，简称方差。
说明：
①、Dξ的算术平方根√Dξ——随机变量ξ的标准差，记作σξ；
②、标准差与随机变量的单位相同；
③、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。
集中分布的期望与方差一览
…
期望
方差
两点分布
Eξ=p
Dξ=pq，q=1-p
超几何分布
>
D（X）=np（1-p）*（N-n）/（N-1）
不要求
二项分布
ξ～B（n,p）
Eξ=np
Dξ=qEξ=npq，q=1-p
几何分布
p（ξ=k）=g（k，p）
1/p
！
正态分布连续型随机变量
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线．
频率组距
概率密度曲线的形状特征:
中间高，两头低
正态分布
若概率密度曲线就是或近似地是函数
的图像，
其中解析式中的实数
、
是参数，分别表示总体的平均数与标准差．
则其分布叫正态分布，记作
f（x）的图象称为正态曲线
=
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