高三数学总复习 直线方程的概念与直线的斜率教案 理.docx

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高三数学总复习直线方程的概念与直线的斜率教案理

22直线方程的概念与直线的斜率

教材分析

这节内容从一个具体的一次函数及其图像入手，引入直线方程和方程的直线的概念．从研究直线方程的需要出发，引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率的概念．然后建立了过两点的直线的斜率公式．直线方程的概念是通过初中学过的一次函数的图像引入的，是将一次函数与其图像的关系转换成直线方程与直线的对应关系．对这种关系的学习，要通过观察图像，研究图像，利用数形结合的思想，归纳和概括出什么是直线的方程和方程的直线，使学生对直线和直线方程的关系有一个初步了解．倾斜角和斜率公式都是反映直线相对于ｘ轴正方向的倾斜程度的，确切地说，倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率公式是利用直线上点的坐标来研究直线的倾斜程度的．解析几何是用数来研究形的，在研究直线时，使用斜率公式比使用倾斜角更方便，因此正确理解斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，是学习这节内容的重点，也是学好平面解析几何的关键．

教学目标

1.通过对本节的学习，了解直线的方程和方程的直线的概念，理解直线的倾斜角和斜率的概念，会准确地表述直线的倾斜角和斜率的意义．

2.理解并掌握过两点的直线的斜率公式，并能用其解决有关的数学问题．

3.初步培养学生数形结合的思想，提高学生联系、转化、归纳、概括的思维能力，进一步培养学生的创新意识和分析问题、解决问题的能力．

任务分析

这节内容是在一次函数的基础上，通过研究一次函数和它的图像的关系，而引入的直线和方程的关系．对于直线和方程的关系，学生接受起来可能比较困难，因此在学习时要始终结合具体的直线方程和它的图像来研究，以增强直观性，便于被学生理解．直线的倾斜角和斜率是描述直线倾斜程度的，在学习过程中，一方面要注意有关概念之间的区别，另一方面要突出它们之间的联系，要充分利用图像进行具体分析，让学生注意斜率的变化和倾斜角的关系，特别是当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在的情况，进一步强调：

有斜率必有倾斜角与之对应；反之，有倾斜角必有斜率与之对应是不够确切的．在这节的学习中，要让学生体会“形”与“数”相互转化的思想，培养学生分析、联想、抽象、概括的能力．

教学设计

一、问题情境

1.在初中，我们学习过一次函数y＝kx＋b，（k≠0），知道它的图像是一条直线l，那么满足y＝kx＋b的有序实数对（x，y）与直线l上的点的坐标有什么关系？

能否把它推广到一般的二元一次方程和直线？

2.作出函数y＝2x＋1的图像，研究满足y＝2x＋1的有序实数对与y＝2x＋1的图像上点的坐标的关系．

二、建立模型

1.学生分析讨论，师生共同总结

（1）有序实数对（0，1）满足函数y＝2x＋1，在直线l上就有一点A，它的坐标是（0，1）；又如有序实数对（2，5）满足函数y＝2x＋1，在直线l上就有一点B，它的坐标是（2，5）．

（2）在直线l上取一点P（1，3），则有序实数对（1，3）就满足函数y＝2x＋1；又如在直线l上取一点Q（－1，－1），则有序实数（－1，－1）就满足函数y＝2x＋1．

结论：

一般地，满足函数式y＝kx＋b的每一对x，y的值，都是直线l上的点的坐标；反之，直线l上每一点的坐标（x，y）都满足函数式y＝kx＋b，因此，一次函数y＝kx＋b的图像是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x，y的值为坐标的点构成的．

2.教师明晰

从方程的角度看，函数y＝kx＋b可以看作二元一次方程y－kx－b＝0，这样“满足一次函数y＝kx＋b的每一对（x，y）的值”，就是“二元一次方程y－kx－b＝0的解x，y”；以方程y－kx－b＝0的解为坐标的点就在函数y＝kx＋b的图像上；反过来，函数y＝kx＋b的图像上的任一点的坐标满足方程y－kx－b＝0，这样直线和方程就建立了联系．

一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫作这条直线的方程；这条直线叫这个方程的直线．由于方程y＝kx＋b的图像是一条直线，因而我们今后就常说直线y＝kx＋b．

练习：

已知方程2x＋3y＋6＝0．

（1）把这个方程改写成一次函数．

（2）画出这个方程对应的直线l．

（3）判定点（

，1），（－3，0）是否在直线ｌ上．

进一步思考如下问题：

哪些条件可以确定一条直线？

在平面直角坐标系中，过点Ｐ的任何一条直线l，对x轴的相应位置有哪些情形？

如何刻画它们的相对位置？

3.通过学生讨论，师生共同总结

直线相对x轴的情形有四种，如图所示：

通过分析四种情形，师生共同得出：

直线相对ｘ轴的位置情形，可用直线l和x轴所成的角来描述．我们规定：

x轴正向与直线向上的方向所成的角叫作这条直线的倾斜角，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．

问题：

（1）在直角坐标系中，画出过点P（－1，2），倾斜角分别为45°，150°，0°，90°的四条直线．

（2）直线的倾斜角的取值范围是怎样的？

通过讨论师生共同明确：

直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．在此范围的直角坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角确定一条直线的方向．倾斜角直观地表示了直线相对x轴正方向的倾斜程度．

从上面的讨论可以看出，直线在坐标系中的倾斜程度可以用倾斜角直观地来表示．我们知道，当一条直线上的两个点确定时，这条直线也就随之确定了，那么现在的问题是：

如果已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），那么如何用x1，y1，x2，y来量化直线P1P2的倾斜程度呢？

在教师的启发下，引导学生作如下探索：

直线y＝kx＋b被其上的任意两个不同的点唯一确定（如图22-3）．因此，由该直线上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标可以计算出k的值．

由于x1，y1和x2，y2是直线方程的两组解，所以

y1＝kx1＋b，

y2＝kx2＋b．

两式相减，得y2－y1＝kx2－kx2＝k（x2－x1）．

所以

由直线上两点的坐标求该直线的斜率ｋ与这两点在直线上的顺序无关，可知

如果令Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，则Δx表示变量x的改变量，Δy表示相应的y的改变量．于是

因此，我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫作该直线的斜率．垂直于x轴的直线不存在斜率．

想想看：

（1）在函数方程y＝kx中，如果ｘ表示某物体运动的时间（t），y表示在时刻x时运动过的距离（m），那么k表示的意义是什么？

k＝60，120，…的具体意义是什么？

（2）如果在函数方程y＝120x中，x表示某商店销售某个商品的数量，y表示销售所得的总收入（元），那么斜率k＝120表示的意义是什么？

进一步引导学生明确下列事实：

除去垂直于x轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，由（*）式就可以算出这条直线的斜率．

方程y＝kx＋b的图像是通过点（0，b）且斜率为k的直线．

对一次函数确定的直线，它的斜率等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值．直观上可使我们感知到斜率k的值决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．

当k＝0时，直线平行于x轴或与x轴重合，直线的倾斜角等于0°．

当k＞0时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大．当k＜0时，直线的倾斜角为钝角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大．

垂直于ｘ轴的直线的倾斜角等于90°．

三、解释应用

［例　题］

1.求经过A（－2，0），B（－5，3）两点的直线的斜率k．

解：

x1＝－2，x2＝－5，y1＝0，y2＝3；

Δx＝－2－（－5）＝3，Δy＝0－3＝－3．

故k＝

＝－1，即k＝－1．

2.画出方程3x＋6y－8＝0的图像．

解：

由已知方程解出y，得y＝

这是一次函数的表达式，它的图像是一条直线．当x＝0时，y＝

；当x＝2时y＝

．

在坐标平面内描出点A（0，

），B（2，

），则经过A，B两点的直线即为所求一次方程的图像（如图22-4）．

3.若三点A（－2，3），B（3，－2），C（

，m）共线，求m的值．解：

因为A，B，C三点共线，所以kAC＝kAB，

即

，解得m＝

.

思考总结：

研究三点共线的常用方法．

［练　习］

1.经过下列两点的直线的斜率是否存在？

如果存在，求其斜率．

（1）（1，－1），（－3，2）．　　

（2）（1，－2），（5，－2）．

（3）（3，4），（－2，5）．　　　（4）（3，0），（0，

）．

2.已知过点P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，求m的值．

3.过点P（－1，2）的直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点．若点P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率．

四、拓展延伸

1.直线的斜率k与直线的倾斜角α之间的关系怎样？

2.已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P1P2的斜率为k，求证：

｜P1P2｜＝

｜x1－x2｜＝

｜y1－y2｜．

3.某城市出租汽车所收租车费y（元）与行驶路程x（km）之间的关系可用下列关系式表示

你能用斜率来解释这一实际问题吗？

点　评

这篇案例首先通过实例一次函数的图像和一次函数的解析式的关系，引入了直线的方程和方程的直线的概念，在概念的建立上充分利用了图像的直观性，注重了数形结合的思想，注意了概念的严谨性．接着由直线相对x轴的位置关系引入了直线的倾斜角和斜率的概念，为了用数研究形，又引入了过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线的斜率公式k＝

，通过师生共同探索明确了倾斜角和斜率是表现直线在坐标系中倾斜程度的．例题与练习的设计由浅入深，有利于巩固所学内容．拓展延伸的设计注意了前瞻性和创新，有利于加深理解所学内容和培养学生探究问题的能力．总之，这篇案例的设计比较好地体现了新课程的理念．

中国书法艺术说课教案

今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：

本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：

使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：

（一）教学重点

了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：

如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：

粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：

一课时 

二、教学方法：

要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）   欣赏法：

通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）   讲授法：

讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！

（3）   练习法：

为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：

（一）组织教学

让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，

通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！

（三）讲授新课

1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！

A书法文字发展简史：

①古文字系统

甲古文——钟鼎文——篆书

早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。

（请学生讨论这几种字体的特点？

）古文字是一种以象形为主的字体。

②今文字系统

隶书——草书——行书——楷书

到了秦末、汉初这一时期，各地交流日见繁多而小篆书写较慢，不能满足需要，隶书便在这种情况下产生了，隶书另一层意思是平民使用，同时还出现了一种草写的章草（独草），这时笔墨纸都已出现，对书法的独立创作起到了积极的推动作用。

狂草在魏晋出现，唐朝的张旭、怀素将它推向顶峰；行书出现于晋，是一种介于楷、行之间的字体；楷书也是魏晋出现，唐朝达到顶峰，著名的书法家有欧阳询、颜真卿、柳公权。

（请学生谈一下对今文字是怎样理解的？

），教师进行归纳：

它们的共同特点是已经摆脱了象形走向抽象化。

B主要书体的形式特征 

①古文字：

甲骨文，由于它处于文明的萌芽时期，故字形错落有致辞，纯古可爱，目前发现的总共有3000多字，可认识的约1800字。

金文，处在文明的发展初期，线条朴实质感饱满而丰腴，因它多附在金属器皿上，所以保存完整。

石鼓文是战国时期秦的文字，记载的是君王外出狩猎和祈祷丰年，秦篆是一种严谨刻板的纯实用性的字体，艺术价值很小。

②今文字：

隶书是在秦篆严谨的压抑下出现的一种潇洒开放型的新字体，课本图例《张迁碑》结构方正，四周平稳，刚劲沉着，是汉碑方笔的典范，章草是在隶书基础上更艺术化，实用化的字体，索靖《急就章》便是这种字体的代表作，字字独立，高古凝重，楷书有两大部分构成：

魏碑、唐楷魏碑是北魏时期优秀书法作品的统称。

《郑文公碑》和《始平公造像》是这一时期的代表，前者气势纵横，雄浑深厚，劲健绝逸是圆笔的典型；唐楷中的《醴泉铭》法度森严、遒劲雄强，浑穆古拙、浑厚刚健，《神策军碑》精练苍劲、风神整峻、法度谨严，以上三种书体分别代表了唐楷三个时期的不同特点。

《兰亭序》和《洛神赋》作者分别是晋代王羲之、王献之父子是中国书法史上的两座高峰，前者气骨雄骏、风神跌宕、秀逸萧散的境界，后者在技法上达到了由拙到巧、笔墨洗练、丝丝入扣的微妙的境界。

他们都是不拘泥于传统的章法和技能，对后世学书者产生了深远的影响；明代文征明的书法文雅自如，现代书家沈尹默在继承传统书法方面起到了不可魔灭的作用。

3、欣赏要点：

先找几位同学说一下自己评价书法作品的标准或原则是什么？

[或如何来欣赏一幅书法作品？

]学生谈完后，对他们的观点进行归纳总结。

然后自己要谈一下自己的观点：

书法艺术的欣赏活动，有着不同于其它艺术门类的特征，欣赏书法伤口不可能获得相对直接的印象、辨识与教益，也不可能单纯为了使学生辨识书写的内容，去探讨言词语汇上的优劣。

进而得出：

书法主要是通过对抽象的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受（结合讲授出示古代书法名作的图片，并与一般的书法作品进行比较，让学生在比较中得出什么是格调节器高雅，什么是粗庸平常）。

书法可以说是无声的音乐，抽象的绘画，线条流动的诗歌。

四、课堂评价：

 根据本节课所学的内容结合板书。

让学生体会到祖国书法艺术的博大精深，着重分析学生在书体形式特点和审美欣赏方面表现出的得失。

让学生懂得在欣赏书法时主要是通过对抽像的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受。