状元之路高考数学人教A版文一轮开卷速查93空间点直线平面之间的位置关系.docx
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状元之路高考数学人教A版文一轮开卷速查93空间点直线平面之间的位置关系
开卷速查 规范特训
课时作业 实效精炼
开卷速查(41) 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1.平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,且C∉l,C∈β,又AB∩l=R,如图所示,过A、B、C三点确定的平面为γ,则β∩γ是( )
A.直线AC
B.直线BC
C.直线CR
D.直线AR
解析:
由已知条件可知,C∈γ,AB∩l=R,AB⊂γ,
∴R∈γ.
又∵C,R∈β,故CR=β∩γ.
答案:
C
2.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
解析:
依题意,直线l∩α=A(如图).α内的直线若经过点A,则与直线l相交;若不经过点A,则与直线l是异面直线,故选B.
答案:
B
3.如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A.A、M、O三点共线
B.A、M、O、A1不共面
C.A、M、C、O不共面
D.B、B1、O、M共面
解析:
连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,
∴A1、C1、C、A四点共面.
∴A1C⊂平面ACC1A1.
∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1.
又M∈平面AB1D1,
∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点.
同理OA为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点.
∴A、M、O三点共线.
答案:
A
4.正方体AC1中,E、F分别是线段BC、CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
解析:
如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.
答案:
A
5.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充分必要条件
D.既非充分又非必要条件
解析:
若两条直线无公共点,则两条直线可能异面,也可能平行.若两条直线是异面直线,则两条直线必无公共点.
答案:
A
6.下列四个图是正方体或正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
解析:
只有第四个图中的四点不共面.
答案:
A
7.设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α⇒a⊂α ②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α ④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b
A.①②B.②③C.①④D.③④
解析:
当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错;a∩β=P时,②错;
如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,
∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.
答案:
D
8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
有2条:
A1B和A1C1.
答案:
B
9.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )
A.点AB.点B
C.点C但不过点MD.点C和点M
解析:
∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.
又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.
根据公理3可知,M在γ与β的交线上.
同理可知,点C也在γ与β的交线上.
答案:
D
10.如图所示是三棱锥DABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:
该题我们可以通过补形处理,由于△ABC中AB=AC,且∠A=90°,同时AD⊥平面ABC.将该三棱锥补形为直三棱柱DB′C′ABC,则异面直线DO和AB所成角等于△B′DO中∠B′DO的度数.
其中B′D=2,DO=
=
=
,
B′O=
=
,可得cos∠B′DO=
.
答案:
A
二、填空题
11.下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是______.
①
②
③
④
解析:
在④图中,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P、Q、R、S四点不共面.可证①中四边形PQRS为梯形;③中可证四边形PQRS为平行四边形;②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形,且PMQNRS为正六边形.
答案:
①②③
12.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________.
解析:
如图,连接D1M,可证D1M⊥DN.
又∵A1D1⊥DN,A1D1,MD1⊂平面A1MD1,A1D1∩MD1=D1,
∴DN⊥平面A1MD1,
∴DN⊥A1M,即夹角为90°.
答案:
90°
13.如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=
∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为________.
解析:
在平面ABC内,过A作DB的平行线AE,过B作BH⊥AE于H,连接B1H,则在Rt△AHB1中,∠B1AH为AB1与BD所成角.设AB=1,则A1A=
,∴B1A=
,AH=BD=
,
∴cos∠B1AH=
=
,
∴∠B1AH=60°.
答案:
60°
14.在图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有__________.(填上所有正确答案的序号)
解析:
如题干图①中,直线GH∥MN;
图②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;
图③中连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图④中,G、M、N共面,但H∉面GMN,
∴GH与MN异面.
所以图②④中GH与MN异面.
答案:
②④
三、解答题
15.已知,如图,空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD上的点,F,G分别是边BC,CD上的点,且
=
=λ,
=
=μ(0<λ,μ<1),试判断FE,GH与AC的位置关系.
解析:
∵
=
=λ,
=
=μ,
∴EH∥BD,FG∥BD.
∴EH∥FG,EH=λ·BD,FG=μ·BD.
①当λ=μ时,EH∥FG,且EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形,∴EF∥GH.
=
,∴HG∥AC.
由公理4知,EF∥GH∥AC.
②当λ≠μ时,EH∥FG,但EH≠FG.
∴四边形EFGH是梯形,且EH,FG为上下两底边,
∴EF,GH为梯形的两腰,它们必交于点P,P∈直线EF,P∈直线HG.又EF⊂平面ABC,HG⊂平面ADC,
∴P∈平面ABC,P∈平面ADC,
∴P是平面ABC和平面ADC的公共点.
又∵平面ABC∩平面ADC=AC,
∴P∈直线AC,
∴三条直线EF,GH,AC交于一点.
综上所述,当λ=μ时,三条直线EF,GH,AC互相平行;当λ≠μ时,三条直线EF,GH,AC交于一点.
答案:
当λ=μ时,三条直线EF,GH,AC互相平行;当λ≠μ时,三条直线EF,GH,AC交于一点.
16.
(1)已知异面直线a与b所成的角θ=60°,P为空间一点,则过P点与a和b所成角φ=45°的直线有几条?
(2)已知异面直线a与b所成的角θ=60°,P为空间一
点,则过P点与a和b所成角φ=60°的直线有几条?
(3)已知异面直线a与b所成的角θ=60°,P为空间一点,则过P点与a与b所成角φ=70°的直线有几条?
解析:
过点P作直线a′∥a,b′∥b,且a′与b′所确定的平面为α.
(1)过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为45°.
(2)过P点在平面α内存在一条直线(120°的角平分线)与a、b所成的角为60°;过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为60°,则与a、b所成的角为60°的直线有3条.
(3)过P点在平面α外a′、b′成60°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°,过P点在平面α外a′、b′成120°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°,则与a、b所成的角为70°的直线有4条.
答案:
(1)2;
(2)3;(3)4.
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1.设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥(如图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α( )
A.不存在 B.只有1个
C.恰有4个D.有无数多个
解析:
设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m,n,直线m,n确定了一个平面β,作与β平行的平面α,与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形,而这样的平面α有无数多个.
答案:
D
2.[2014·广州模拟]在正四棱锥VABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
如图所示,设AC∩BD=O,连接VO,由于四棱锥VABCD是正四棱锥,所以VO⊥平面ABCD,故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA,即异面直线VA与BD所成角的大小为
.
答案:
D
3.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的对数为( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
AB,CD,EF和GH在原正方体中如图所示,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有三对.
答案:
C
4.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,
和a,且长为a的棱与长为
的棱异面,则a的取值范围是( )
A.(0,
)B.(0,
)
C.(1,
)D.(1,
)
解析:
如图所示的四面体ABCD中,设AB=a,则由题意可得CD=
,其他边的长都为1,故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形,显然a>0.取CD中点E,连接AE,BE,则AE⊥CD,BE⊥CD且AE=BE=
=
,显然A,B,E三点能构成三角形,应满足任意两边之和大于第三边,可得2×
>a,解得0.
答案:
A
5.[2014·西安模拟]在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC,则直线PC与AB所成角的大小是__________.
解析:
分别取PA,AC,CB的中点F,D,E连接FD,DE,EF,AE,则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角.
设PA=AC=BC=2a,在△FDE
中,易求得FD=
a,DE=
a,FE=
a,
根据余弦定理,得cos∠FDE=
=-
,
所以∠FDE=120°.
所以直线PC与AB所成角的大小是60°.
答案:
60°
6.[2014·许昌调研]如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊
AD,BE綊
FA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)求证:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面?
为什么?
解析:
(1)证明:
由题设知,FG=GA,FH=HD,
所以GH綊
AD.
又BC綊
AD,故GH綊BC.
所以四边形BCHG是平行四边形.
(2)C,D,F,E四点共面.
理由如下:
由BE綊
AF,G是FA的中点知,BE綊GF,
所以EF綊BG.
由
(1)知BG∥CH,
所以EF∥CH,故EC,FH共面.
又点D在直线FH上,
所以C,D,F,E四点共面.