小升初专题解题方法.docx

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小升初专题解题方法

最大与最小”问题

例1试求乘积为36，和为最小的两个自然数。

分析与解不考虑因数顺序，乘积是36的两个自然数有以下五种情况：

1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。

相应的两个乘数的和是：

1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12。

显然，乘积是36，和为最小的两个自然数是6与6。

例2试求乘积是80，和为最小的三个自然数。

分析与解不考虑因数顺序，乘积是80的三个自然数有以下八种情况：

1×2×40、1×4×20、1×5×16、1×8×10、2×2×20、2×4×10、2×5×8、4×4×5。

经过计算，容易得知，乘积是80，和为最小的三个自然数是4、4、5。

结论一：

从上述两例可见，m个自然数的乘积是一个常数，则当这m个乘数相等或最相近时，其和最小。

例3试求和为8，积为最大的两个自然数。

分析与解不考虑加数顺序，和为8的两个自然数有以下四种情况：

1+7、2+6、3+5、4+4。

相对应的两个加数的积是：

1×7=7、2×6=12、3×5=15、4×4=16。

显然，和为8，积为最大的两个自然数是4和4。

例4试求和为13，积为最大的两个自然数。

分析与解不考虑加数顺序，和为13的两个自然数有以下六种情况：

1+12、2+11、3+10、4+9、5+8、6+7。

经过计算，不难发现，和为13，积为最大的两个

结论二：

从上述两例可知，m个自然数的和是一个常数，则当这m个数相等或最相近时，其积最大。

例5砌一平方米的围墙要用砖50块，现有5600块砖，用来砌一个矩形晒谷场的围墙。

如果围墙高2米，则砌成的晒谷场的长和宽各是多少米时，晒的谷最多？

分析与解根据题意，首先可知5600块砖可砌围墙（5600÷50÷2=）56米，即长方形晒谷场的周长为56米。

要使晒谷场晒的谷最多，实际就是长方形晒谷场的面积（长×宽）要最大。

而长方形的周长56米一定，即长与宽的和（56÷2=）28米也一定，因此只有当长与宽相等（都是14米）时，面积才最大。

所以，晒谷场的长和宽都是14米时，晒的谷最多。

这时晒谷场的面积是：

　　14×14=196（平方米）

例6要用竹篱笆围一个面积为6400平方米的矩形养鸡场。

如果每米篱笆要用去30千克毛竹，那么该怎样围，才能使毛竹最省？

分析与解要使毛竹最省，就是养鸡场的周长要最小，而矩形养鸡场的面积6400平方米一定，即长与宽的积一定，因此，只有当长与宽相等（都是80米）时，周长才最小。

所以，只有当养鸡场的长和宽都为80米时，所用毛竹最省。

这时所需毛竹是：

　　30×〔（80+80）×2〕=30×320=9600（千克）

例7用2到9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。

分析与解用2、3、4、5、6、7、8、9这八个数字组成两个四位数，使乘积最大，显然，9和8应分别作两个数的千位数，7和6应分别作百位数，但7和6分别放在9和8谁的后面呢？

　　因为：

97+86=183，96+87=183，它们的和相等。

又有：

　　97-86=11，96-87=9

　　显然，96与87之间比97与86之间相隔更少，更相近。

所以，96与87的乘积一定大于97与86的乘积。

　　所以，7应放在8后面，6应放在9后面。

　　同理，可安排后面两位数字，得到的两个四位数是9642和8753。

它们的积是

　　9642×8753=84396426

例8试比较下列两数的大小：

　　a=8753689×7963845　　b=8753688×7963846

分析与解此题若采用转化法或设置中间数法都能比较出结果，但过程复杂。

仔细观察两数会发现，a中两个因数的和与b中两个因数的和相等。

因此，要比较a与b谁大，只要看a与b哪一个数中的两个因数之间相隔更少，更相近。

很容易看出8753688与7963846之间比8753689与7963845之间相隔更少，更相近，所以，可得出b＞a。

等分法在解题中的妙用

“等分法”就是将一个物体或数量等分几份的一种解题方法。

运用这种方法解答有关多边形的面积问题，常会使人有“柳暗花明”的感受。

一、运用平行四边形定义等分。

例1求图1正六边形的面积。

（单位：

厘米）

分析与解将正六边形按图2所示等分成3个平行四边形。

所以，正六边形的面积为：

37.5×（65÷2）×3=3656.25（平方厘米）

例2如图3，四边都相等的两个完全相同的四边形，在两边的中点处部分重合。

已知重合部分的面积是8平方厘米。

求阴影部分的面积。

分析与解将图3按图4所示等分成7个棱形。

所以，阴影部分的面积为：

8×6=48（平方厘米）

二、运用梯形定义等分

例3如图5所示，求出中队旗的面积。

（单位：

厘米）

分析与解将图5按图6所示等分成2个梯形。

所以，中队旗的面积为：

　　（60+80）×30÷2×2=4200（平方厘米）

例4将正方形的四条边分别向两端各延长一倍，连接8个端点得到一个八边形（如图7），求阴影部分的面积。

分析与解将八边形按图8所示等分成4个梯形。

所以，阴影部分的面积为：

　　（2+2×2）×2÷2×4=24（平方厘米）

三、运用三角形面积法等分。

例5如图9，梯形的面积是36平方厘米，BE是BC的一半。

求阴影部分的面积。

分析与解将梯形按图10所示等分成3个等底等高的三角形。

所以，阴影部分的面积为：

36÷3=12（平方厘米）

例6如图11，平行四边形的面积是49平方厘米，E是底边上的中点。

求阴影部分的面积。

分析与解将平行四边形按图12所示等分成4个等底等高的三角形。

所以，阴影部分的面积为：

49÷4=12.25（平方厘米）

四、运用中点性质等分

例7如图13，长方形ABCD的长是10厘米，宽是6厘米，E、F分别是AB和AD的中点。

求阴影部分的面积。

分析与解将阴影部分等分成与△AEF完全相等的3个三角形（如图14）。

所以，阴影部分的面积为：

（10÷2）×（6÷2）÷2×3=22.5（平方厘米）

合理摘录，巧妙推导

例1把一些图书分给六年级一班的男同学，平均分给每个男同学若干本后，还剩14本，如果每人分9本，这样最后一个男同学只能得6本，六

（1）班的男生有（）人。

分析我们将题中的条件和问题组成的主要数量关系用式子摘录如下：

　　为了书写简便，我们用题中的关键字“书”和“男”分别表示“图书总数”和“男同学人数”，用□表示不知道的量。

　　从上面的两个数量关系式中找不到解题的突破口。

不妨将两式变化，如下：

　　从这两个式子得到：

　　□×男+14=9×男-3　　（9-□）×男=17

　　“9-□”得到的是图书的本数，应该是整数，“男”也必须是整数，而且不能为“1”。

而17=17×1，因此“男”只能为17。

六

（1）班的男生为17人。

例2有人沿公路前进，对面来了一辆汽车，他问司机：

“后面有自行车吗？

”司机答道：

“10分钟前我超过一辆自行车。

”这个人继续走10分钟，遇到自行车。

已知自行车速度是步行速度的3倍，问汽车速度是步行速度的（）倍。

分析这是一道行程问题，用线段图摘录题中条件，表示各数量间关系比较合适。

摘录如下：

　　已知自行车的速度是步行的3倍，则在相同的时间里，自行车行的路程是步行的3倍。

如果将步行10分钟的路程看作1倍的量，那么自行车10分钟行的路程为3倍的量。

在线段图中标出这些倍数，观察线段图可知汽车10分钟行的路程为7倍的量。

因此，汽车10分钟行的路程是步行路程的7倍，则汽车的速度是步行速度的7倍。

例3一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高25％，可以比原定时

10分到达乙地。

那么甲乙两地相距（）千米。

分析题中给的数量较多，而且数量间的关系不明显。

我们根据“速度×时间=路程”这个关系式列表分析推导如下：

　　速度×时间=路程

　　原来　　1　　　　　　1　　　　　1

　　变化一　1+25％　　　　①　　　　1

　　根据表中变化一可求出①，即现在所用时间为原时间的1÷（1+25％）

　　而变化二实际只提前10分，相差（30-10=）20（分），这是“将速度

千米所用时间为：

　　原速度为：

80÷80=1（千米）

　　甲乙两地相距为：

1×120=120（千米）

巧添线、通关系

有些平面组合图形题目，做起来感到很棘手，但恰到好处地添上一条辅助线后，能沟通图形之间的关系，思路会变得豁然开朗，从而使问题迅速得解。

例1图1中，BDFG为正方形，ACEG为直角梯形，GE=25厘米，AC比GE长12厘米，BD=20厘米，求直角梯形ACFG的面积。

分析与解答要求直角梯形ACEG的面积，关键要求出高AG等于多少厘米。

。

图1

因为GE=25厘米，所以，以GE为底的△GBE的高等于16厘米。

（列式：

200×2÷25=16厘米）即AG=16厘米。

因此，直角梯形ACEG的面积=

例2如图2，正方形ABCD的边长为4厘米，长方形DEFG的长DG为5厘米。

求长方形的宽。

[分析与解答]要求长方形的宽，只需求出长方形DEFG的面积。

而根据已知的条件，只能求出正方形ABCD的面积。

如果能找出二者之间的联系，就会迎刃而解。

　　连接AG，因为三角形AGD的面积等于正方形ABCD的一半，也等于长方形DEFG的一半，所以，正方形ABCD的面积等于长方形DEFG的面积，都是（4×4=）16（平方厘米）。

又因为长方形DEFG的长DG是5厘米，所以，长

图2

例3如图3，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，那么，阴影部分的面积是多少平方厘米？

　　图3

[分析与解答]这道题目，我们也可以通过连线来沟通三角形AED和平行四边形DEFC面积之间的联系，通过等量代换，便能顺利求解。

　　连接DF，因为AC和ED平行，所以S△AED=S△FED（两三角形同底等

合理分类 正确解题

在数学问题中有一类被称作“数字问题”的题目，与同学们在书本上学到的一些数学问题相比，似乎“不太规则”，有的数学课外参考书称它为“杂类问题”。

解答这类题目要求同学们要认真审题，悉心研究题意，关键是做到合理分类，这样才能正确解题。

　　例1在1～1999内，是3的倍数，不是5的倍数的数一共有多少个？

为什么？

　　[分析与解]这道题要求3的倍数有多少个，但有两个条件限制：

（1）规定在1～1999内；

（2）只是3的倍数，但不是5的倍数。

比如：

3×5=15，15是3的倍数，但它同时又是5的倍数，不符合题目要求，所以在1999内，15以及15的倍数都不能算进去。

这样在1～1999内就把3的倍数分为两类：

一类是3的所有倍数；一类是15以及15的倍数。

然后从3的所有倍数的个数中减去15以及15的倍数的个数，即为题目所求的问题。

有三种解法：

　　解法

（一）在1～1999内3的倍数共有：

1999÷3=666……1。

余1，不到3的1倍，可以不考虑。

在1～1999内15的倍数共有：

1999÷15=133……4。

余4，不到15的1倍，也不考虑。

两者相减，便是所求的问题：

666-133=533（个）。

　　解法

（二）在1～1999内3的倍数共有666个，那么，666中又包含多少个5的倍数呢？

666÷5=133……1。

余1，比5小，可以不考虑。

两者相减，便是所求的问题：

666-133=533（个）。

　　解法（三）把数字分段来考虑：

比如在1～30中，3的倍数有10个，但要去掉同时能被3、5整除的数2个，还剩10-2=8（个）。

1999÷30=66……19。

余数19，19÷3=6……1。

余数1比3小，不考虑，但要注意，在最后的6个3的倍数中，有一个是5的倍数（1995），应去掉。

每段8个，共有：

8×66+（6-1）=533（个）。

　　例243位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片，画片只有两种，3分一张和5分一张，每人都尽量多买5分一张的画片。

问所买的3分画片的总数是多少张？

　　[分析与解]先来分析一下题目的要求：

（1）从8分到5角就是以“分”为单位，从8到50的43个连续自然数，这正好与43个同学一一对应。

（2）每个同学都把身上带的全部钱各自买画片，就是每人都不许有余钱。

　　（3）每人既要把钱花光，又要尽量多买5分一张的画片。

　　我们把钱数是5的倍数（0、15、20、25、30、35、40、45、50）的九个人分为一类。

他们不能买3分一张的画片。

　　钱数被5除余3分（8、13、18、23、28、33、38、43、48）的九个人分为另一类。

他们可以买1张3分的画片，9人共买9张。

　　钱数被5除余1分（11、16、21、26、31、36、41、46）的八个人分为第三类。

因为他们身上所余的钱数不是3的倍数，只好退下一个5分与余数1分合成6分，这样每人可以买2张3分画片，8人共买：

2×8=16（张）。

　　用同样的方法，把钱数被5除余2分的8个人再分为一类，每人可买3分画片4张，共买：

4×8=32（张）。

　　把钱数被5除余4分的9个人也分为一类，他们每人可买3分画片3张，共买：

3×9=27（张）。

　　因此，他们所买3分画片的总数共是：

　　9+16+32+27=84（张）。

竞赛计算题常用解法

　　一、分组凑整法：

　　例1．3125+5431+2793+6875+4569

　　解：

原式=（3125+6875）+（4569+5431）+2793　　=22793

　　例2．100+99-98-97+96+95-94-93+……+4+3-2

　　解：

原式=100+（99-98-97+96）+（95-94-93+92）+……+（7-6-5+4）+（3-2）　　=100+1=101

　　分析：

例2是将连续的（+--+）四个数组合在一起，结果恰好等于整数0，很快得到中间96个数相加减的结果是0，只要计算余下的100+3-2即可。

　　二、加补数法：

　　例3：

1999998+199998+19998+1998+198+88

　　解：

原式=2000000+200000+20000+2000+200+100-2×5-12　　=2222300-22=2222278

　　分析：

因为各数都是接近整十、百…的数，所以将各数先加上各自的补数，再减去加上的补数。

　　三、找准基数法：

　　例4．51.2+48.8+52.5+50.9+47.8+52.3-48.2-59.6

　　解：

原式=50×（6-2）+1.2-1.2+2.5+0.9-2.2+2.3+1.8-9.6　　=200-4.3=195.7

　　分析：

这些数都比较接近50，所以计算时就以50为基数，把每个数都看作50，先计算，然后再加多或减少，这样减轻了运算的负担。

　　四、分解法：

　　例5．1992×198.9-1991×198.8

　　解：

原式=1991×198.9+198.9×1-1991×198.8

　　=1991×（198.9-198.8）+198.9　　=199.1+198.9=398

　　分析：

由于1991与1992、1989与198.8相差很小，所以不妨把其中的任意一个数进行分解，如：

198.9=198.8+0.1或198.8=198.9-0.1，多次运用

　　分析：

题目不可能通过通分来计算，可以先把每一个数分解成两个分数差（有时离分为两数和）的形式，再计算。

　　五、倒数法：

　　分析：

将算式倒数后，就可直接运用运算定律计算，所得商的倒数就是原式的结果。

　　六、运用公式法：

　　等差数列求和公式：

总和=（首项+末项）×项数÷2

　　平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）

　　13+23+33+43+……+n3=（1+2+3+4……+n）2

　　例8．100×100-99×99+98×98-97×97+……+2×2-1×1

　　解：

原式=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+……+（2+1）（2-1）

　　=（100+99）×1+（98+97）×1+……+（2+1）×1

　　=（100+99）+（98+97）+……+（2+1）

　　=（100+1）×100÷2=5050

　　分析：

这道题直接无法计算，但如果将100×100-99×99为一组，运用平方差公式，就很快能算出每一组的差，最后运用等差数列求和公式计算出结果。

　　想一想：

3988×4012=40002-122，是怎么得到的？

　　例9．12+22+32+42+……+102

　　七、有借有还法：

　　例11．53+63+73+83+93

　　解：

原式=（13+23+33+43+53+……+93）-（13+23+33+43）

　　=（1+2+3+4+5+……+9）2-（1+2+3+4）2

　　=452-102=1925

　　分析：

此题借助于公式运算就比较简单，但必须先借来一个13+23+33+43，才可以运用公式计算。

用“赋值法”解题

例：

甲、乙两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒，从乙身边开过用了7秒，车头离甲后5分钟又与已相遇，从乙与车头相遇开始，再过多少分钟甲乙两人相遇？

　　题中只告诉了3个时间，求的也是时间，而时间与所行的速度及路程有关，要求出问题应知道甲、乙两人的速度。

根据题意应设火车的长度为56（通常设为7和8的公倍数），这样就可以求出人和火车的速度，故本题这样解：

　　解：

设火车的长为56米，则

　　当车头遇乙时甲乙相距：

（7.5-0.5）×（60×5）=2100（米）

　　甲乙两人的相遇时间为：

2100÷（0.5×2）÷60=35（分）

　　练一练：

　　1．一辆汽车沿山路行驶，上山每小时行10千米，下山沿原路返回每小时行15千米，求这辆车上、下山的平均速度。

（设山路长）

　　2．搬运一堆土，若用200名工人需5天；若用25辆马车需4天；若用5辆卡车需2天。

现有100名工人、10辆马车、2辆卡车同时搬运。

问：

运完这堆土需多少天？

（设1名工人1天运土1）

对角线等分”知识的应用

正方形、长方形、平行四边形的对角线，将这些图形等分成两个完全一样的三角形。

应用这一特性，可以使一些几何图形题得解。

下面略举几例说明之。

例1如图1，每一小方格的面积为2平方厘米，求图中四边形ABCD的面积。

分析与解四边形ABCD是一个不规则的图形，无法直接求出它的面积。

但可考虑先求大长方形E－FGH的面积：

2×（5×6）=60（平方厘米），再减去四个角上的小三角形的面积，可各三角形的底和高都不知道。

根据“对角线等分”知识，在长方形AEBQ中，AB是对角线，长方形的面积是：

2×（3×4）＝24（平方厘米），则S△AEB=S△ABQ=24÷2＝12（平方厘米）；同理，线段AD、CD、BC分别是长方形AFDM、DGCN、BHCP的对角线，可求得：

S△AFD=S△AMD=2×（2×2）÷2=4（平方厘米），S△GCD=S△CDN=2×（3×3）÷2＝9（平方厘米），S△HBC=S△BCP=2×（2×3）÷2＝6（平方厘米）。

因此，四边形ABCD的面积是：

60-12-4-9-6=29（平方厘米）。

也可以把四边形ABCD分割成几部分，求出三角形ABQ、AMD、CDN、BCP的面积之和，再减去重复的小正方形MNPQ的面积，即S=12+4+9+6-2＝29（平方厘米）。

例2如图2，平面上有21个点，其中每相邻三点“∴”或“∵”所形成的等边三角形，面积是1平方厘米，试计算三角形ABC的面积。

分析与解题目中没有告诉我们任何一条边的长度，只说每相邻三点所形成的三角形的面积为1平方厘米，因此，必须从△ABC包含多少个相邻三点所组成的三角形这方面考虑。

根据“对角线等分”知识，分别以边AB、BC、AC为平行四边形AIBF、BHCE、AGCD的对角线（如图2，为了便于叙述，在相应的点中添上字母，并用虚线连接）。

从图中可见，平行四边形AIBF的面积是4平方厘米，AB是其对角线，则S△ABF=4÷2=2（平方厘米）；同理可求得：

S△BCE=8÷2=4（平方厘米），S△ACD=6÷2=3（平方厘米）。

而三角形DEF的面积正好是1平方厘米，所以，S△ABC＝2+4+3+1=10（平方厘米）。

例3如图3，在正方形ABCD内有一个上底为3分米的直角梯形，梯形的面积比三角形的面积大15平方分米。

求正方形的边长。

分析与解由于这道题的条件较少，难以直接从图中寻找到解法。

必须根据“梯形的面积比三角形的面积大15平方分米”这一条件，设法把两个面积之差在图上表示出来，再去寻找已知数量与所求数量的联系。

过E点，作BC边的垂线，交BC于F点，即EF把正方形分割成两个长方形，而BE是长方形ABFE的对角线，则S△ABE=S△BEF，由此可知，梯形与三角形的面积之差（15平方分米），正好是长方形CDEF的面积，ED是3分米，则正方形的边长是：

15÷3=5（分米）。

　　“对角线等分”知识，对于小学生来说，是个简单易学的内容。

学生可通过实际操作，运用剪、折、拼、摆等方法，直观形象地掌握这一特性。

其实，在平行四边形、三角形的面积计算公式的推导过程中（义教六年制第九册），也可以应用“对角线等分”知识进行教学。

教学平行四边形的面积计算公式时，第一步是用数方格的方法求出平行四边形的面积，并且规定：

“不满一格的，都按半格计算。

”教师还应指出这种方法的计算结果不够精确，学生自然也对此法表示怀疑，甚至怀疑这一结果与平行四边形的底和高的联系。

因此，这种方法学生学起来总觉得心理不踏实，担心答案的准确性。

在教学中，我尝试应用了“对角线等分”知识，学生的疑虑消除了，同时也懂得应用此特性，准确数出三角形的面积，解答类似竞赛题，起到了举一反三的作用。

所以，教学中可适当渗透“对角线等分”知识。

鉴于此，教材是否也可以适当增加此项内容呢？

此乃个人浅见，仅供同行参考。

一题解答误区与矫正

题目：

从1开始到1998止，这1998个整数中，能被3整除，但不能被5和7整除的数的个数为____。

　　该题是一道竞赛题目，据统计参赛学生中无一人能够完整得到解答。

从表面看，属于整除问题，但实质上是有一定难度的包含与排除问题。

此类题的特征是：

有关数量有相互包含、重复计算的部分。

在具体解答时，还存在个别数量的排除问题。

学生在分析解答该题时，极容易在“包含”、“重复”、“排除”等方面出现混淆，产生误解。

现分析如下：

　　一、“包含”辨析不清简单草率作解

　　有的学生审题不认真，把不存在“包含”关系的数量当作“包含”关系去处理，就盲目草率去解答，导致解答失误。

如简单认为只有同时能被5、7整除的数的个数是包含在能被3整除的数中。

这样：

　　1998÷3=666（个）

　　666-57=609（个）

　　二、例举范围狭窄类推遗漏“重复”

　　有些学生在分析时，突然也注意到“包含”，但在类推时，例举数据取在100以内：

　　12457810111314

　　16171920222325262829

　　31323435373840414343

　　这样类推，就只存在能同时被3、5整除，3、7整除的数的“包含”情况，显然把这两种“包含”中100以上数中存在的相互“重复”情况遗漏掉，也产生误答。

　　1998÷3=666（个）

　　666-（133+95）=438（个）

　　三、“排除”理解欠妥