届高考理数114二项分布与正态分布.docx
《届高考理数114二项分布与正态分布.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考理数114二项分布与正态分布.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
届高考理数114二项分布与正态分布
§11.4 二项分布与正态分布
考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.条件概率、相互独立事件及二项分布
了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题
掌握
2017课标全国Ⅱ,13;
2015课标Ⅰ,4;
2014课标Ⅱ,5
选择题
解答题
★★★
2.正态分布及其应用
利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
了解
2017课标全国Ⅰ,19;
2015湖南,7;
2015湖北,4
选择题
解答题
★☆☆
分析解读 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,掌握求条件概率的步骤,会求条件概率.2.掌握独立事件的概率求法,能用二项分布解决实际问题.3.了解正态分布与正态曲线的概念,掌握正态曲线的性质.4.独立事件的概率及正态分布均为近几年高考的热点.本节在高考中一般以选择题、解答题形式出现,难度为易或中等,分值约为5分或12分.
五年高考
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1.（2015课标Ⅰ,4,5分）投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为（ ）
A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312
答案 A
2.（2014课标Ⅱ,5,5分）某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45
答案 A
3.（2017课标全国Ⅱ,13,5分）一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX= .
答案 1.96
4.（2016四川,12,5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .
答案
5.（2017天津,16,13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.
（1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解析 本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
（1）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P（X=0）=××=,
P（X=1）=×1-×1-+1-××1-+××=,
P（X=2）=××+××+××=,
P（X=3）=××=.
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=.
（2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
P（Y+Z=1）=P（Y=0,Z=1）+P（Y=1,Z=0）
=P（Y=0）P（Z=1）+P（Y=1）P（Z=0）
=×+×
=.
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
6.（2016课标全国Ⅱ,18,12分）某险种的基本保费为a（单位:
元）,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
解析
（1）设A表示事件:
“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P（A）=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.（3分）
（2）设B表示事件:
“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P（B）=0.1+0.05=0.15.
又P（AB）=P（B）,故P（B|A）====.
因此所求概率为.（7分）
（3）记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a（元）.
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.（12分）
教师用书专用（7—11）
7.（2015广东,13,5分）已知随机变量X服从二项分布B（n,p）.若E（X）=30,D（X）=20,则p= .
答案
8.（2016山东,19,12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
（1）“星队”至少猜对3个成语的概率;
（2）“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.
解析
（1）记事件A:
“甲第一轮猜对”,记事件B:
“乙第一轮猜对”,记事件C:
“甲第二轮猜对”,记事件D:
“乙第二轮猜对”,记事件E:
“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC,
由事件的独立性与互斥性,得
P（E）=P（ABCD）+P（BCD）+P（ACD）+P（ABD）+P（ABC）
=P（A）P（B）P（C）P（D）+P（）P（B）P（C）P（D）+P（A）P（）·P（C）P（D）+P（A）P（B）P（）P（D）+P（A）P（B）P（C）·P（）
=×××+2×
=.
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
（2）由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性,得
P（X=0）=×××=,
P（X=1）=2×==,
P（X=2）=×××+×××+×××+×××=,
P（X=3）=×××+×××==,
P（X=4）=2×==,
P（X=6）=×××==.
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.
9.（2015湖南,18,12分）某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率;
（2）若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解析
（1）记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},
A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},
B1={顾客抽奖1次获一等奖},
B2={顾客抽奖1次获二等奖},
C={顾客抽奖1次能获奖}.
由题意知,A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.
因为P（A1）==,P（A2）==,
所以P（B1）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=×=,
P（B2）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）
=P（A1）P（）+P（）P（A2）
=P（A1）[1-P（A2）]+[1-P（A1）]P（A2）
=×+×=.
故所求概率为P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=+=.
（2）顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由
（1）知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B.
于是P（X=0）==,
P（X=1）==,
P（X=2）==,
P（X=3）==.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望为E（X）=3×=.
10.（2015北京,16,13分）A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间（单位:
天）记录如下:
A组:
10,11,12,13,14,15,16;
B组:
12,13,15,16,17,14,a.
假设所有病人的康复时间互相独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.
（1）求甲的康复时间不少于14天的概率;
（2）如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
（3）当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?
（结论不要求证明）
解析 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,
事件Bj为“乙是B组的第j个人”,i,j=1,2,…,7.
由题意可知P（Ai）=P（Bj）=,i,j=1,2,…,7.
（1）由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=.
（2）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.
由题意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.
因此P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）+P（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=.
（3）a=11或a=18.
11.（2014陕西,19,12分）在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量（kg）
300
500
概 率
0.5
0.5
作物市场价格（元/kg）
6
10
概 率
0.4
0.6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
（2）若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
解析
（1）设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P（A）=0.5,P（B）=0.4,
∵利润=产量×市场价格-成本,
∴X所有可能的取值为
500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,
300×10-1000=2000,300×6-1000=800.
P（X=4000）=P（）P（）=（1-0.5）×（1-0.4）=0.3,
P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1-0.5）×0.4+0.5×（1
升级会员 