广东省普宁市学年高二数学下学期第一次月考试题 理.docx

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广东省普宁市学年高二数学下学期第一次月考试题理

普宁市华侨中学2015-2016学年度下学期第一次月考

高二数学试题（理科）

注意事项：

1．本试题共4页，满分150分，考试时间90分钟。

2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等相关信息填写在答题卷密封线内，并在“座位号”栏内填写座位号。

3.所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知全集,集合,,则集合可以表示为

A．B．C．D．

2．已知向量，若，则实数的值为

A．B．C．D．

3．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）

A．1B．2C．3D．4

5．若等比数列的各项均为正数，且，则（）

A.50B.60C.100D.120

6、从某小学随机抽取100名同学，现已两他们的身高（单位：

厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应是

A．2B．3C．4D．5

7．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：

①垂直于同一条直线的两条直线互相平行

②垂直于同一个平面的两条直线互相平行

③垂直于同一条直线的两个平面互相平行

④垂直于同一个平面的两个平面互相平行,则正确的结论是（）.

A．①②B．②③C．③④D．①④

8．若定义运算：

，例如，

则下列等式不能成立的是（）.

A．B．

C．D．（）

9．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：

在此流程图中,①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）.

A．①—综合法，②—分析法B．①—分析法，②—综合法

C．①—综合法，②—反证法D．①—分析法，②—反证法

10.已知有下列各式：

，成立，观察上面各式，按此规律若，

则正数（）

A．4B．5C．D．

11在区间上任取三个数、、，若点在空间直角坐标系中的坐标为，则的概率是

A．B．C．D．

12．棱长为2的正四面体在空间直角坐标系中移动，但保持点、分别在x轴、y轴上移动，则棱的中点到坐标原点O的最远距离为（）

A．B．C．D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）

13．＝__________．

14．已知，，若，则=．

15．2015年12月26日，南昌地铁一号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁游览八一广场、滕王阁、秋水广场。

每人只能去一个地方，八一广场一定要有人去。

则不同的游览方案有___种。

16．下面的数组均由三个数组成，它们是：

，，，，，……，若数列的前n项和为，则_______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17..（本小题满分14分）

如图4，在边长为的菱形

中，，点，分别是

边，的中点，．

沿将△翻折到△，连

接，得到如图5的五棱

锥，且.

（1）求证：

平面；

（2）求四棱锥的体积.

18.．（本小题满分为12分）

已知函数，其图像在点处的切线为．

（1）求、直线及两坐标轴围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积；

（2）求、直线及轴围成图形的面积．

19、（本小题满分12分）

如图所示，三棱锥D-ABC中，AC、BC、CD两两垂直，，点为AB中点。

（1）若过点的平面与平面ACD平行，分别与棱DB、CB相交于M、N，在图中画出嘎截面多边形，并说明M、N的位置（不要求证明）；

（2）求点C到平面ABD的距离。

20.（本小题满分12分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA＝AD＝DC＝BC＝a，E是BC的中点，将△BAE沿AE折起到的位置，使平面平面，F为B1D的中点.

（Ⅰ）证明：

B1E∥平面ACF；

（Ⅱ）求平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，长轴长为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为的任意一点，过作的垂线交椭圆C于点P，Q.

（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．

22.（本题满分12分）

设函数，a、b，x=a是的一个极大值点．

（1）若，求b的取值范围；

（2）当a是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得的某种排列（其中）依次成等差数列？

若存在，求所有的b及相应的；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题

DDCADBDAADBC　

二、填空题

13.14.515．6516．－1991

三、解答题

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证明：

∵点，分别是边，的中点，

∴∥.…………………………1分

∵菱形的对角线互相垂直，

∴.…………………………2分

∴.…………………………3分

∴，.…………………………4分

∵平面，平面，，

∴平面.…………………………5分

∴平面.…………………………6分

（2）解：

设，连接，

∵，

∴△为等边三角形.…………………………7分

∴，，，.……………………8分

在Rt△中，，…………………………9分

在△中，，…………………………10分

∴.…………………………11分

∵，，平面，平面，

∴平面.…………………………12分

梯形的面积为，………………………13分

∴四棱锥的体积.………………14分

19.．解：

（1）（6分）

（2）直线的斜率，则直线方程为：

（8分）

（12分）

20．（Ⅰ）当为棱中点，为棱中点时，平面∥平面.…………6分

（Ⅱ）因为，，

所以直线平面，…………8分

.

又

所以，……………………………………9分

设点是的中点，连接，则,

所以，

.

又，

而，

设点到平面的距离为，则有，……10分

即，∴，即点到平面的距离为.……12分

21

（1）连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，OE=OD所以FO∥B1E，所以。

………………4分

（2）取AE的中点M，连结B1M，连结MD，则∠AMD=，

分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系，则,,,,所以1，，,,设面ECB1的法向量为，，令x=1,，…8分

同理面ADB1的法向量为…………10分

所以，

故面所成锐二面角的余弦值为…………12分

22．（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，长轴长为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为的任意一点，过作的垂线交椭圆C于点P，Q.

（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．

21．解：

（1）由已知解得

所以椭圆C的标准方程是.………………………………（3分）

（2）（ⅰ）由

（1）可得，F点的坐标是（2，0）.

设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得（m2＋3）y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1＋y2＝，y1y2＝.于是x1＋x2＝m（y1＋y2）+4＝.

设M为PQ的中点，则M点的坐标为.…………6分

因为，所以直线FT的斜率为，其方程为.

当时，，所以点的坐标为，

此时直线OT的斜率为，其方程为.

将M点的坐标为代入，得.

解得.………………………………………………8分

（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线上任意一点可得，点T点的坐标为.

于是，.…………10分

所以

.……………12分

当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．

故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，－1）．……………12分

22.（本题满分12分）

设函数，a、b，x=a是的一个极大值点．

（1）若，求b的取值范围；

（2）当a是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得的某种排列（其中）依次成等差数列？

若存在，求所有的b及相应的；若不存在，请说明理由.

解析：

（1）时，，

，……1分

令，，

可设是的两个根，……………………………………2分

①当或时，则不是极值点，不合题意；

②当且时，由于是的极大值点，

故，即，故b的取值范围是.……5分

（2），

令，

则，于是，假设是的两个实根，且

由

（1）可知，必有，且是的三个极值点，

则，.……6分

假设存在及满足题意，不妨只考虑公差大于零的情形，即：

①当排列为或，则，即时，

于是或

即

或……………………8分

②当排列为或，则或

（i）若，于是，

即两边平方得，

于是，从而，

此时………10分

（ii）若，于是，

即两边平方得，

于是，从而

此时

综上所述，存在b满足题意，当b=－a－3时，；当时，；时，.………12分