完整word版全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版.docx
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完整word版全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版
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试题类型：
新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第I卷
一.选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
（1）设集合S
x|（x
2）（x
3）0,
Tx|x0
，则SI
T=
A.2,3
B.
2
U3,
C.3,
D.0,
2U3,
【答案】D
【解析】易得
S
2U
3,，
SIT0,2
U3,
，选D
考点】解一元二次不等式、交集
（2）若z12i，则4i
A.1B.1
zz1
C.iD.i
【答案】C
【解析】易知z1
2i，故zz14，
4i
i，选C
考点】共轭复数、复数运算
zz1
uuur13uuur31
（3）已知向量BA2,2，BC=（23，2），则ABC
A.30°B.45°C.60°D.120
答案】A
解析】法
cosABC
uuur
uuur
BA
BC
uuuruuur
BABC
233，
112，
o
ABC30
ABx60o,CBx30o,ABC30o
法二：
可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知
考点】向量夹角的坐标运算
（4）
某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15oC，B点表示四月的平均最低气温约为5oC.下面叙述不正确的是
A.各月的平均最低气温都在0oC以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20oC的月份有5个
【答案】D
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20oC的月份有七月、八
月，六月为20oC左右，故最多3个【考点】统计图的识别
32
（5）若tan4，则cos22sin2
64
48
16
A.
B.
C.1D.
25
25
25
答案】
A
解析】
2cos
2
2sin2cos
4sincos
14tan
64
222cossin1tan25
考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式
4
2
1
（6）已知a23,b
33,c
253，
则
A.bac
B.a
bc
C.bcaD.cab
【答案】A
4
2
2
12
【解析】a23
43,b
33,c
25353，故cab
【考点】指数运算、幂函数性质
（7）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=
A.3B.4C.5D.6
答案】B
解析】列表如下
a
4
2
6
-2
4
2
6
-2
4
b
6
4
6
4
6
s
0
6
10
16
20
n
0
1
2
3
4
考点】程序框图
π1
（8）在△ABC中，B4，BC边上的高等于3BC,则cosA
43
解析】如图所示，可设BDAD1，则AB2，DC
2332362393654185
【考点】三视图、多面体的表面积（10）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是
4πB.92πC.6πD.332π
23
答案】
大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，
又AA1322，所以内接球的半径为
即V的最大值为
考点】内接球半径的求法
（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：
b0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.
P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的
考点】椭圆的性质、相似（12）定义“规范01数列”a{n}如下：
{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，⋯，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）
A．18个B．16个C．14个D．12个
答案】C
解析】
0
1111
0
111
0
1
1
0
11
1
01
0
0
111
0
1
0
11
1
1
01
0
011
1
0
101
0
111
0
1
011
10
101
011
1
0
101
【考点】数列、树状图
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题~第（24）题
为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：
本大题共3小题，每小题5分
x
y
10
（13）设x，y满足约束条件x
2y
0，则zxy的最大值为.
x
2y
20
3
【答案】3
2
【解析】三条直线的交点分别为
2,1,1,21,0,1，代入目标函数可得
3
3,32,1，故最小值为10
考点】线性规划
（14）函数ysinx3cosx的图像可由函数ysinx3cosx的图像至少向右平移个单位长度得到.
2【答案】
3
【解析】Qysinx3cosx2sinx,ysinx3cosx2sinx3，故可前者的图像可由后者向33
答案】2xy10
解析】法
f'（x）1313，xx
f'1
法二：
当x0时，fx
xlnx3x，
f'x13,x
2，故切线方程为2xy10
f'12，故切线方程为2xy10
考点】奇偶性、导数、切线方程
（16）已知直线l：
mxy3m30与圆x2
2
y212交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D
两点，若AB23，则|CD|
答案】3
解析】如图所示，作AEBD于E，作OFAB于F，
QAB23,OA23,OF3，即
∴直线l的倾斜角为
30°
x
233
2
考点】直线和圆、弦长公式
CDAE23
三.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
已知数列
an的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．
（1）
证明
an是等比数列，
并求其通项公式；
（2）
若S5
31，求
32
λ．
【答案】
（1）
；
（2）
【解析】
解：
（1）
QSn
1an,
0
an0
当n2时，a
nSnSn
11
an1an1an
（17）（本小题满分12分）
即
1anan1，
an
an1
1,n
2，
an
是等比数列，
公比
n=1
时，S11
a1
a1，
a1
an
n1
2）
S5
31
32
则S5
11
5
31
132
考点】等比数列的证明、由
Sn求通项、等比数列的性质
（18）（本小题满分12分）
图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：
777
参考数据：
yi9.32，tiyi40.17，（yiy）20.55，7≈2.646.
（tit）（yiy）
i1
参考公式：
r，nn
（tit）2（yiy）2
i1i1
解析】
将t9代入回归方程可得，y$1.82
（1）证明MN∥平面PAB；
考点】相关性分析、线性回归
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，
PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
答案】
（1）见解析；
（2）85
25
2
解析】
（1）由已知得AM3AD2，取BP的中点T，连接AT,TN，
1
由N为PC中点知TN//BC，TNBC2.3分
2
又AD//BC，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN//AT.
因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN//平面PAB.
6分
面ABCD，故可以A为坐标原点，以AE为
（2）取BC中点E，连接AE，则易知AEAD，又QPA
x轴，以AD为y轴，以
AP为z轴建立空间直角坐标系，
则A
0,0,0、
P0,0,
4、C5,2,0、N
25,1,2
、M0,2,0
uuur
AN
25,1,
uuuur
2,PM
uuur
0,2,4,PNN
25,1,
故平面
PMN的法向量n
0,2,1
uuurr4AN,n
552
直线AN与平面PMN所成角的正弦值为85
25
考点】线面平行证明、线面角的计算
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C：
y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程【答案】
（1）见解析；
（2）y2x1
【解析】
（1）法一：
1
由题设F（2,0）.设l1:
ya,l2:
yb，则ab0，且22
a2b2111ab
A（a2,a）,B（b2,b）,P（21,a）,Q（21,b）,R（21,a2b）.
记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x（ab）yab0.
由于F在线段
AB上，
故1
ab0.
记AR的斜率为
k1，
FQ的斜率为k2，则
aba
b
1
ab
k122
bk2.
11a2a2
ab
a
a
所以AR∥FQ.
.5分
法二：
证明：
连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
∵R是PQ的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（2）设l与x轴的交点为D（x1,0），
则SABF2baFD2bax12,SPQF2.由题设可得12bax112a2b，所以x10（舍去），x11.设满足条件的AB的中点为E（x,y）.
当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得2y（x1）.
abx1
ab2
而2y，所以y2x1（x1）.
当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2x
3分
1.12分
考点】抛物线、轨迹方程
（21）（本小题满分12分）
（1）求f'x；
（2）求A；
（3）证明：
2A.
解析】
（1）
（2）
见解析
f'x
2asin2xa1sinx
1时，
|f（x）||acos2x（a1）（cosx1）|
a2（a1）
3a2f（0）
因此，
3a
2．
当0
1时，
将f（x）变形为f（x）2acos2x（a
1）cosx1．
令g（t）
2at2
（a
1）t1，则A是|g（t）|在［
1,1］上的最大值，
g
（1）
a，g
（1）
3a2，且当
14aa时，
4a
g（t）取得极小值，
1a极小值为g（）
4a
（a1）2
8a
a26a
8a
令1
14aa1，
4a
解得a
舍去），a
①当
a1时，
5
g（t）在（
1,1）内无极值点，
|g
（1）|a，
|g
（1）|
23a，|g
（1）||g
（1）|，所以
3a．
②当
a1时，
由g（
1）
g
（1）2（1a）
0，知g
（1）
g
（1）
g（14aa）．
4a
1
又|g（1
4aa）||g
（1）|
（1
a）（17a）0，
8a
所以A
1
|g（14a
a
）|
a26a1
8a
23a,0
2
综上，Aa6a1
8a
3a
1
5
2,a
1．
（3）由
（1）得|f（x）|
2asin2x
（a1）sinx|2a|
a1|.
1'
当0a时，|f'（x）|1a
24a2（23a）
2A.
当1
5
a13'
a1时，A1，所以|f'（x）|1a2A.
88a4
当a
1时，|f'（x）|3a16a42A，所以|f'（x）|2A.
请考生在22、23、24题中任选一题作答
考点】导函数讨论单调性、不等式证明
多做,则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修41：
几何证明选讲
AB于E，F两点。
如图，⊙O中?
AB的中点为P，弦PC，PD分别交
（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
解析】
平分线上，因此OGCD.
考点】几何证明选讲
（23）
（本小题满分10分）选修44：
坐标系与参数方程
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标
答案】见解析
解析】
2
（1）C1的普通方程为x3y21，C2的直角坐标方程为xy40.⋯⋯5分
3
（2）由题意，可设点P的直角坐标为（3cos,sin），因为C2是直线，所以|PQ|的最小值，
8分
31当且仅当2k6（kZ）时，d（）取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为（2,2）.
10分
考点】坐标系与参数方程
（24）（本小题满分10分），选修45：
不等式选讲
已知函数fx2xaa.
（1）当a=2时，求不等式fx6的解集；
xgx3，求a的取值范围。
（2）设函数gx2x1.当xR时，
答案】
（1）{x|1x3}；
（2）[2,）
解析】
（1）当a2时，f（x）|2x2|2.
解不等式|2x2|26，得1x3.
因此，f（x）6的解集为{x|1x3}.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（2）当xR时，f（x）g（x）|2xa|a|12x|
|2xa12x|a
|1a|a，
1
当x2时等号成立，
考点】不等式选讲
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