初中勾股定理习题.docx

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初中勾股定理习题

一、已知：

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．

（1）求证：

AB=BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：

BE=AE+CD．

二、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

3、已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，别离与AB、AC交于点G、F．

（1）求证：

GE=GF；

（2）若BD=1，求DF的长．

4、如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．

（1）求证：

△ACE≌△BCD；

（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．

五、公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45度．请你求出这块草地的面积．

六、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；

（1）求证：

B′E=BF；

（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

7、咱们给出如下概念：

若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称那个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为那个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个都可）；

（2）如图1，已知格点（小正方形的极点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为极点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；

（3）如图2，将△ABC绕极点B按顺时针方向旋转60°，取得△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：

DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

7、△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，依照勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．、

八、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．

（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，依上述方式所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，求出a2，a3，a4的值．

（2）依照以上规律写出第n个正方形的边长an的表达式．

8、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线

AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

九、如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长为多少？

．

10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DE⊥DF，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G．

（1）求证：

AG=BF；

（2）若AE=9，BF=18，求线段EF的长．

1一、、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，极点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，求图中阴影部份的面积．

1二、如图，一长方体，底面长3cm，宽4cm，高12cm，求上下两底面的对角线MN的长．

13、阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图

（1），等边△ABC内有一点P，若点P到极点A，B，C的距离别离为3，4，5，则∠APB=___________

，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题咱们能够将△ABP绕极点A旋转到△ACP′处，现在△ACP′≌_________

如此，就能够够利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．

（2）请你利用第

（1）题的解答思想方式，解答下面问题：

已知如图

（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：

EF2=BE2+FC2．

15、如图，在△ABC中，AB=AC=5，P为BC上任意一点，求证：

AP2+PB•PC=25．

1六、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，MN⊥AB于N．

求证：

AC2+BN2=AN2．

1八、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，CD是射线，∠BCF=60°，点D在AB上，AF、BE别离垂直于CD（或延长线）于F、E，求EF的长．

1九、如图，四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平分∠BAD，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC的长．

20、已知：

如图

（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E别离为线段BC上两动点，若∠DAE=45°．探讨线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：

把△AEC绕点A顺时针旋转90°，取得△ABE′，连接E′D，使问题取得解决．请你参考小明的思路探讨并解决下列问题：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图

（2），其它条件不变，

（1）中探讨的结论是不是发生改变？

请说明你的猜想并给予证明；

（3）已知：

如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能组成一个等腰三角形，并求出现在等腰三角形顶角的度数．

2一、已知四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平分∠BAD．

（1）作CE⊥AB，CF⊥AD，E、F别离为垂足．求证：

△BCE≌△DCF．

（2）若是AB=21，AD=9．BC=DC=10，求对角线AC的长．

22、已知：

如图，将长方形纸片沿着CE所在直线对折，B点落在点B′处，CD与EB′交于点F，若是AB=10cm，AD=6cm，AE=2cm，求EF的长．

23、如图平面直角坐标系xoy中，A（1，0）、B（0，1），∠ABO的平分线交x轴于一点D．

（1）求D点的坐标；

（2）如图所示，A、B两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，知足∠MON=45°，下列结论

（1）BM+AN=MN，

（2）BM2+AN2=MN2，其中有且只有一个结论成立，请你判定哪个结论成立，并证明成立的结论．

2五、已知：

D是Rt△ABC斜边BC上的中点，E、F别离在AB、AC上，且ED⊥DF，延长FD到Q，使FD=DQ，连接BQ．

（1）试说明AB⊥BQ的理由；

（2）探讨BE2、CF2与EF2有何等量关系．

2六、探讨下列几何题：

（1）如图

（1）所示，在△ABC中，CP⊥AB于点P，求证：

AC2-BC2=AP2-BP2；

（2）如图

（2）所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点P，猜一猜AB，BC，CD，DA之间有何数量关系，并用式子表示出来（不用证明）；

（3）如图（3）所示，在矩形ABCD中，P是其内部任意一点，试猜想AP，BP，CP，DP之间的数量关系，并给出证明．

（

30、、如图，在直角三角形ABC中∠C=90°．AC=4，BC=3，在直角三角形ABC外部拼接一个适合的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，见图示．请在四个备用图中别离画出与示例图不同的拼接方式，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．

3一、已知：

如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，DC=11，D点到AB的距离为2，求BD的长．

3二、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，别离以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积别离为S1、S2、S3，请你探讨S1、S2、S3之间的关系并说明理由．

33、已知：

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF别离交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．

（1）若是CA=CB，求证：

AE2+BF2=EF2；

（2）如图2，若是CA＜CB，

（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

35、若是，已知：

D为△ABC边AB上一点，且AC=

，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．

3六、已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，别离与AB、AC交于点G、F．

（1）求证：

GE=GF；

（2）若BD=1，求DF的长．

3八、如图a，∠EBF=90°，请按下列要求准确画图：

1：

在射线BE、BF上别离取点A、C，使BC＜AB＜2BC，连接AC得直角△ABC；

2：

在AB边上取一点M，使AM=BC，在射线CB边上取一点N，使CN=BM，直线AN、CM相交于点P．

（1）请用量角器气宇∠APM的度数为________；（精准到1°）

（2）请用说理的方式求出∠APM的度数；

（3）若将①中的条件“BC＜AB＜2BC”改成“AB＞2BC”，其他条件不变，你能自己在图b中画出图形，求出∠APM的度数吗？

3九、如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC＜AB＜2BC．在AB边上取一点M，使AM=BC，过点A作AE⊥AB且AE=BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．

（1）证明：

∠AFM=45°；

（2）若将题中的条件“BC＜AB＜2BC”改成“AB＞2BC”，其他条件不变，请你在图2的位置上画出图形，

（1）中的结论是不是仍然成立？

若是成立，请说明理由；若是不成立，请猜想∠AFM的度数，并说明理由．

40\若△ABC的三边长为a，b，c，依照下列条件判定△ABC的形状．

（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c

（2）a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0．