6角的度量与画法.docx
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6角的度量与画法
角的度量与画法
一、本讲教学内容:
角的度量,直角概念,角的分类,角的度数计算,余角、补角的概念与性质,画一个角等于已知角,角的和、差的画法。
二、本讲技能要求
1、掌握度、分、秒的计算。
2、逐步掌握学过的几何图形的表示方法,懂得学过的几何语句,能由这些语句准确,整洁地画出图形。
认识学过的图形,会用语句描述这些简单的几何图形。
三、例题精讲:
例1.将3.720用度、分、秒表示。
解:
3.720=30+(0.72×60′)=30+43.2′=30+43′+(0.2′×60″)=3043′12″
例2.用度表示52013′48″。
解:
52013′48″=520+(13
)′=520+13.8′=520+(
)0=52.230
例3.判断下列计算的对错,对的画“√”,错的说明错在那里,并改正。
(1)31056′÷3=10052′.
(2)37028′+44049′=82017′
(3)22.50×3=66.150
(4)22.360-18022′=4.140.
解:
(1)错,因为用10=100′计算的。
应改为:
31056′÷3=(300+114′+120″)÷3=10038′40″.
(2)(√)。
(3)错,本题是十进制小数,要按一般乘法规则进位,应改为22.50×3=67.50。
(4)错,因为被减数与减数单位不同,不能相减。
应改为:
22.360-18022′=220+0.36×60′-18022′
=22021′+0.6×60″-18022′
=22021′36″-18022′
=21081′36″-18022′
=3059′36″
例4.已知∠α=32.680,∠β=28041′55″,求∠α与∠β的差(结果用度、分、秒表示)
分析:
因为结果要求用度、分、秒表示,所以,先将∠α表示为度分秒的形式:
32.68°=32°+0.68°=32°+0.68×60′=32°+40.8′
=32°+40′+0.8×60″=32°+40′+48″=32°40′48″,
然后求∠α-∠β的差。
解:
∠α-∠β=32°40′48″-28°41′55″
=32°39′108″-28°41′55″
(1)
=31°99′108″-28°41′55″
(2)
=3°58′53″ (3)
注意:
两角度相加减时,“度”与“度”、“分”与“分”、“秒”与“秒”分别相加减,如第(3)步;当被减数中的“秒”不够减时(如第
(1)步),可从40′中借来1′,化作60″,32°40′48″就变为32°39′108″;当被减数中的“分”不够减时(如第
(2)步),可从32°借1°,化作60′,这时,32°39′108″就变为31°99′108″。
例5.求14°35′42″与21°48′56″的和(结果精确到分)
解:
14°35′42″+21°48′56″
=35°83′98″
(1)
=35°84′38″
(2)
=36°24′38″ (3)
≈36°25′ (4)
注意:
①本题可直接求得两角之和为35°83′98″,但是98″要变成1′38″(如第
(2)步),84′要变成1°24′(如第(3)步)。
②精确到分时,将不足30″的舍去,30″及超过30″的进为1′;精确到度时,则将不足30′的舍去,30′及超过30′的进为1°。
③由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化,要逐级进行,千万不要“越级”。
例6.把1个周角7等分,求每份角的度数。
(精确到分)
分析:
1个周角为360°,那么把它7等分,每份角的度数可由360°÷7计算得出。
解:
360°÷7=51°+3°÷7
=51°+180′÷7
≈51°+26′
=51°26′
注意:
对分的十进制小数来说,仍按四舍五入方法进行近似计算。
如25.7′≈26′,
8.4′≈8′。
例7.一个角比它的余角的
多120,求这个角的补角。
解:
设这个角的度数为x°,则它的余角为(90-x)0,补角为(180-x)0,
由题意可得,x-
(90-x)=12,
解方程得x=43.2,
∴180-x=180-43.2=136.80.
答:
这个角的补角为136.80。
例8.一个角是另一个角的3倍,且小角的余角与大角的补角之差为200,求这两个角的度数。
解:
设大角的度数为x,则它的补角为(180-x)0,设小角为y0,则它的余角为(90-y)0,
由题意可得
解方程组得
答:
小角为550,大角为1650。
说明:
因为互余两角与互补两角之间的关系是数量关系,所以解这类计算题时,常用代数中的列方程解应用题的方法来做是很好的方法。
例9.一个角的补角比它的余角的2倍多8°,求这个角。
分析:
先把这个角的补角,余角用这个角的代数式表示出来,再考查补角、余角之间的关系,列方程求解。
解:
设这个角为α,那么这个角的补角为180°-α,余角为90°-α,
根据题意,列方程
180°-α=2(90°-α)+8°
180°-α=180°-2α+8°
α=8°
答:
这个角的度数为8°。
例10.下午2点15分到5点30分,时钟的时针转过了多少度?
分析:
时钟被分成12个大格时,相当于把圆周12等分,每一等分等于30°,分针转360°时,时针转一大格即30°,从2点15分到5点30分,时针走了(3.5-0.25)格,即30°×(3.5-0.25)=97.5°。
解:
30°×(3.5-0.25)=97.5°
答:
时针转了97.5°。
测试
选择题
1.下面的语句中,正确的是()
A、线段AB和线段BA是不同的线段;
B、∠AOB和∠BOA是不同的角;
C、"延长线段AB到C"与"延长线段BA到C"意义不同;
D、射线AB与射线BA是同一条射线。
2.线段AB上有点C,点C使AC:
CB=2:
3,点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点,若MN=4,则AB的长是()
A、6 B、8 C、10 D、12
3.已知线段AB,反向延长AB到C,使AC=
BC,D为AC中点,若CD=2,则AB等于()
A、4 B、6 C、8 D、10
4.钟表上的时间指示为两点半,这时时针和分针之间所形的成的(小于平角)角的度数是()
A、120° B、105° C、100° D、95°
5.如图,∠AOC=90°,ON是锐角∠COD的角平分线,OM是∠AOD的角平分线,那么,∠MON=()
A、
∠COD+45° B、90° C、
∠AOD D、45°
答案与解析
答案:
1.C 2.B 3.C 4.B 5.D
解析:
2.AB=AC+CB=2MC+2CN=2(MC+CN)=2MN=8,故选B。
3.AB=BC-AC=3AC-AC=2AC=4CD,故选C。
4.时针一小时旋转30°,分针一小时旋转360°,两点半时,时针应指在表盘2与3之间,旋转了15°,分针应指在表盘6的位置,所以这时时针与分针之间形成的角为90°+15°=105°。
故选B。
5.∠MON=∠MOD-∠NOD=
∠AOD-
∠COD=
(180°-∠BOD)-
(90°-∠BOD)
=90°-
∠BOD-45°+
∠BOD=45°
中考解析
角的度量
考点扫描:
1.理解周角、平角、直角、锐角、钝角的概念,并会进行有关的计算;
2.掌握度、分、秒的换算,会计算角度的和、差、倍、分;
3.理解补角、余角的概念,掌握它们的性质。
名师精讲:
1.直角、锐角、钝角的概念
平角的一半叫做直角;小于直角的角叫做锐角;大于直角而小于平角的角叫钝角。
这是对小于平角的角的分类,要在理解的基础上加以记忆;同时对周角、平角、直角的度数及它们相互之间的关系也要加以理解和记忆,牢固掌握。
2.角的度量单位以及换算
角的度量单位是度、分、秒。
表示方法是在数字的右上角用“°”、“′”、“″”等符号表示,单位换算与时钟的度、分、秒之间的换算一致,为六十进制。
1°=60′,1′=60″。
3.补角、余角的概念及其性质
如果两个角的和是一个平角,则这两个角叫做互为补角,简称“互补”;如果两角的和是一个直角,则这两个角叫做互为余角,简称“互余”。
由定义可知,两角互余,则它们的和是90°,两角互补,则它们的和为180°,反之亦然。
4.补角,余角的性质
(1)同角或等角的补角相等;
(2)同角或等角的余角相等。
值得注意的是,互余或互补是指两个角的数量关系,与它们的位置无关;余角、补角是一个角相对于另一个角而言,不是指某个单独的角,互为余角的定义及其性质在以后的推理证明中用得较多,也要在理解的基础上加以记忆。
这是本节的重点。
中考典例:
1.(河北省)如果∠A=35°18′,那么∠A的余角等于___________。
考点:
互余定义
评析:
由互余定义:
两个角之和是90°这两个角是互为余角。
即可求出∠A的余角为52°42′(或54.7°)
2.(安徽省)如图,要把角钢
(1)弯成120°的钢架
(2),则在角钢
(1)上截去的缺口是__________度。
考点:
互补定义
评析:
互补是指两个角之和等于180°,设截去的缺口为∠1,剩下的两角为∠2,∠3。
则有
∠1+∠2+∠3=180°,弯成的钢架所成角是120°,即∠2+∠3=120°,因此∠1=60°。
真题专练:
1.(北京崇文区)一个角的8倍等于这个角的补角,则这个角等于 度。
2.(北京宣武区)如果一个角的余角是35度,那么这个角的补角是 度。
3.(镇江市)若∠α的余角是47°,则∠α=________度。
4.(河南省)一个角的补角比这个角的余角大 度。
5.(陕西省)如果一个角的补角是150°,那么这个角的余角的度数是( )
A、30° B、60° C、90° D、120°
6.(南充市)已知∠A是它的补角的4倍,那么∠A的度数是( )
A、144° B、36° C、45° D、72°
7.(杭州市)在时刻8:
30,时钟上的时针和分针之间的夹角为( )
A、85° B、75° C、70° D、60°
8.(北京西城区)一个角的余角比它的补角的
还少20°,求这个角。
9.(杭州市)已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°求这个角的度数。
答案:
1、20(提示:
可设这个角是x°根据题意得方程:
8x=180–x,解得x=20);
2、125(提示:
由余角是35°,可知这个角是55°,所以补角是125°。
另外也可根据一个角的补角比它的余角大90°来求);
3、43;
4、90;
5、B(提示:
150°–90°=30°);
6、A(提示:
可设∠A等于x°,根据题意得方程:
x=4(180–x),解得x=144,所以选A);
7、B(提示:
当8:
30时,时钟上的分针指向刻度6,时钟上的时针指向刻度8.9之间的正中间)。
8、75°(解题过程如下:
设这个角为x°根据题意得方程:
90–x+20=
(180–x),解得x=75。
答这个角是75°)。
9、50°(解题过程如下:
设这个角为x°,则这个角的补角是(180–x)°,余角是(90–x)°,由题意,得(180–x)–3(90–x)=10,解得x=50。
答:
这个角的度数是50°。
角的画法
考点扫描:
1.掌握用量角器或三角板画一个角等于已知角;
2.掌握用量角器或三角板画角的和、差、倍、分的方法。
名师精讲:
本节主要掌握两种基本技能:
(1)画一个角等于已知角。
其步骤是:
①量出已知角的度数;②画一条射线作为角的始边;③用量角器按已知角的度数画出所求的角的终边。
二是画角的和、差、倍、分。
方法有两种:
①用量角器量出各已知角的度数,进而计算出所有要画的角的度数,再用量角器画出;②利用“拼”或“割”的方法作出两角之和或差。
另外,对于一些特殊的角如15°,30°,45°,60°,75°,90°,135°……可以用三角板画。
画表示方向的角时,要以南、北方向线为角的起始位置,向东或向西旋转(南偏东、南偏西、北偏东、北偏西)已知角度。
西南、西北、东南、东北方向即是偏45°角的方向。
专题辅导
平面几何入门要过好五关
(二)
平面几何入门要过好“五关”——语言关,画图关,命题关、论据关,推理关。
三、命题关:
首先要排除对命题语句的障碍,判断命题的真假,认清题目的条件和结论。
实际上类似于语文中对句子分析时找主语,谓语一样。
例:
“等角的余角相等”
题设(条件):
等角的余角。
结论:
相等。
(这是一个真命题)
要会用图形,符号语言来表示出题设结论。
题设:
∵∠1+∠2=900,∠3+∠4=900(已知)
∠1=∠3
结论:
∴∠2=∠4(等角的余角相等)
四、论据关:
几何入门阶段的计算与证明要写出论据。
这是过好这关的有效办法,填写依据时,不要似是而非。
例:
如图,A、B、C、D四点共线,∠1=∠2,那么∠3与∠4是什么关系。
解:
∵A、B、C、D四点共线,论据:
已知
∴∠1+∠3=1800 论据:
平角定义
∠2+∠4=1800 论据:
平角定义
又∵∠1=∠2 论据:
已知
∴∠3=∠4 论据:
等角的补角相等
五、推理关:
学习平面几何的主要任务之一是培养逻辑推理能力。
为过好推理关要注意分析命题的条件、结论,特别注意图形的特点和隐含条件,一环扣一环。
要探索解题思路,总结解题规律。
要重视因果关系一步推理的训练。
简单的推理技能有两个方面的要求:
一是必须做到“言必有据”,每一次推理都有三部分组成,即推理的条件(因),推出的结论(果),以及由条件到结论(由因导果)的依据(推理的理由)。
推理必须使三者的因果关系合理、正确。
二是要分得清推理的层次.解决一个问题,说明一个结论成立,常常要经过若干次推理。
要能分得清每一次推理的“因”,“果”,和“理由”三个部分,要分得清前后两次推理的关系,从而使整个推理过程不仅有根有据,而且层次分明。
培养逻辑推理能力是学习平面几何的重要的一点,要过好推理关,应注意分析命题的条件和结论,观察图形特点,挖掘隐含条件,采用分析综合法,探索解题思路,摸索解题规律。
例:
如图,BD、CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∠1=∠2,那么∠ABC和∠ACB相等吗?
请说明理由。
证明:
(1)∵BD平分∠ABC(已知),∴∠ABC=2∠1 (角平分线定义)
(2)∵CE平分∠ACB (已知),∴∠ACB=2∠2 (角平分线定义)
(3)∵∠1=∠2(已知)∴∠ABC=∠ACB(等量的同倍量相等)。
在这个证明过程中,包括了三个一次推理的组合,完成了从已知条件向结论的过程。
第(3)部分是
(1)与
(2)共同的结果,而
(1),
(2)两个推理是并列的,因而在证明中先写
(1)或
(2)没有什么关系,但(3)必须在
(1)
(2)的后面。
一个命题的证明从哪里下手,分几步进行推理,怎样运用一次推理或几个一次推理的组合,完成题设到结论的过渡,这需要认真对图形题设与结论之间的关系进行分析,把一条推理的长链接好。
例:
一步推理训练:
线段中点定义:
(1)∵O为AB中点(已知),∴AO=OB(线段中点定义)
(2)∵O为AB中点(已知),∴AO=
AB,BO=
AB(线段中点定义)
(3)∵O为AB中点(已知),∴AB=2AO,AB=2BO(线段中点定义)
(4)∵AO=OB(已知),∴O为AB中点(线段中点定义)
(5)∵AO=
AB(BO=
AB)(已知),∴O为AB中点(线段中点定义)
(6)∵AB=2AO(AB=2BO)(已知),∴O为AB中点。