6角的度量与画法.docx

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6角的度量与画法

角的度量与画法

一、本讲教学内容：

　　角的度量，直角概念，角的分类，角的度数计算，余角、补角的概念与性质，画一个角等于已知角，角的和、差的画法。

　　二、本讲技能要求　　

　　1、掌握度、分、秒的计算。

　　2、逐步掌握学过的几何图形的表示方法，懂得学过的几何语句，能由这些语句准确，整洁地画出图形。

认识学过的图形，会用语句描述这些简单的几何图形。

　　三、例题精讲：

　　例1.将3.720用度、分、秒表示。

　　解：

3.720=30+（0.72×60′）=30+43.2′=30+43′+（0.2′×60″）=3043′12″

　　例2.用度表示52013′48″。

　　解：

52013′48″=520+（13

）′=520+13.8′=520+（

）0=52.230

　　例3．判断下列计算的对错，对的画“√”，错的说明错在那里，并改正。

（1）31056′÷3=10052′.

（2）37028′+44049′=82017′

　　（3）22.50×3=66.150　

　　（4）22.360-18022′=4.140.

　　解：

（1）错，因为用10=100′计算的。

　　应改为：

31056′÷3=（300+114′+120″）÷3=10038′40″.

（2）（√）。

　　（3）错，本题是十进制小数，要按一般乘法规则进位，应改为22.50×3=67.50。

　　（4）错，因为被减数与减数单位不同，不能相减。

　　应改为：

22.360-18022′=220+0.36×60′-18022′

　　=22021′+0.6×60″-18022′

　　=22021′36″-18022′

　　=21081′36″-18022′

　　=3059′36″

　　例4.已知∠α=32.680，∠β=28041′55″，求∠α与∠β的差（结果用度、分、秒表示）

　　分析：

因为结果要求用度、分、秒表示，所以，先将∠α表示为度分秒的形式：

　　32.68°=32°+0.68°=32°+0.68×60′=32°+40.8′

　　=32°+40′+0.8×60″=32°+40′+48″=32°40′48″，

　　然后求∠α-∠β的差。

　　解：

∠α-∠β=32°40′48″-28°41′55″

　　=32°39′108″-28°41′55″　

（1）

　　=31°99′108″-28°41′55″　

（2）

　　=3°58′53″　　　　　　　　　（3）

　　注意：

两角度相加减时，“度”与“度”、“分”与“分”、“秒”与“秒”分别相加减，如第（3）步；当被减数中的“秒”不够减时（如第

（1）步），可从40′中借来1′，化作60″，32°40′48″就变为32°39′108″；当被减数中的“分”不够减时（如第

（2）步），可从32°借1°，化作60′，这时，32°39′108″就变为31°99′108″。

　　例5.求14°35′42″与21°48′56″的和（结果精确到分）

　　解：

14°35′42″+21°48′56″

　　=35°83′98″　　

（1）

　　=35°84′38″　　

（2）

　　=36°24′38″　　（3）

　　≈36°25′　　　（4）

　　注意：

①本题可直接求得两角之和为35°83′98″，但是98″要变成1′38″（如第

（2）步），84′要变成1°24′（如第（3）步）。

　　②精确到分时，将不足30″的舍去，30″及超过30″的进为1′；精确到度时，则将不足30′的舍去，30′及超过30′的进为1°。

　　③由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化，要逐级进行，千万不要“越级”。

　　例6.把1个周角7等分，求每份角的度数。

（精确到分）

　　分析：

1个周角为360°，那么把它7等分，每份角的度数可由360°÷7计算得出。

　　解：

360°÷7=51°+3°÷7

　　=51°+180′÷7

　　≈51°+26′

　　=51°26′

　　注意：

对分的十进制小数来说，仍按四舍五入方法进行近似计算。

如25.7′≈26′，

　　8.4′≈8′。

　　例7.一个角比它的余角的

多120，求这个角的补角。

　　解：

设这个角的度数为x°，则它的余角为（90-x）0，补角为（180-x）0，

　　由题意可得，x-

（90-x）=12,

　　解方程得x=43.2，

　　∴180-x=180-43.2=136.80.

　　答：

这个角的补角为136.80。

　　例8.一个角是另一个角的3倍，且小角的余角与大角的补角之差为200，求这两个角的度数。

　　解：

设大角的度数为x,则它的补角为（180-x）0，设小角为y0,则它的余角为（90-y）0，

　　由题意可得　

　　解方程组得　

　　答：

小角为550，大角为1650。

　　说明：

因为互余两角与互补两角之间的关系是数量关系，所以解这类计算题时，常用代数中的列方程解应用题的方法来做是很好的方法。

　　例9.一个角的补角比它的余角的2倍多8°，求这个角。

　　分析：

先把这个角的补角，余角用这个角的代数式表示出来，再考查补角、余角之间的关系，列方程求解。

　　解：

设这个角为α，那么这个角的补角为180°-α，余角为90°-α，

　　根据题意，列方程

　　180°-α=2（90°-α）+8°

　　180°-α=180°-2α+8°

　　α=8°

　　答：

这个角的度数为8°。

　　例10.下午2点15分到5点30分，时钟的时针转过了多少度？

　　分析：

时钟被分成12个大格时，相当于把圆周12等分，每一等分等于30°，分针转360°时，时针转一大格即30°，从2点15分到5点30分，时针走了（3.5-0.25）格，即30°×（3.5-0.25）=97.5°。

　　解：

30°×（3.5-0.25）=97.5°

　　答：

时针转了97.5°。

测试

选择题

1．下面的语句中，正确的是（）

　　A、线段AB和线段BA是不同的线段；

　　B、∠AOB和∠BOA是不同的角；

　　C、"延长线段AB到C"与"延长线段BA到C"意义不同；

　　D、射线AB与射线BA是同一条射线。

2．线段AB上有点C，点C使AC:

CB=2:

3，点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点，若MN=4，则AB的长是（）

　　A、6　　B、8　　C、10　　D、12

3．已知线段AB，反向延长AB到C，使AC=

BC，D为AC中点，若CD=2，则AB等于（）

　　A、4　　B、6　　C、8　　D、10

4．钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数是（）

　　A、120°　　B、105°　　C、100°　　D、95°

5．如图，∠AOC=90°，ON是锐角∠COD的角平分线，OM是∠AOD的角平分线，那么，∠MON=（）　

　　A、

∠COD+45°　　B、90°　　C、

∠AOD　　D、45°

答案与解析

　　答案：

1.C　　2.B　　3.C　　4.B　　5.D

　　解析：

　　2．AB=AC+CB=2MC+2CN=2（MC+CN）=2MN=8，故选B。

　　3．AB=BC-AC=3AC-AC=2AC=4CD，故选C。

　　4．时针一小时旋转30°，分针一小时旋转360°，两点半时，时针应指在表盘2与3之间，旋转了15°，分针应指在表盘6的位置，所以这时时针与分针之间形成的角为90°＋15°＝105°。

故选B。

　　5．∠MON=∠MOD-∠NOD=

∠AOD-

∠COD=

（180°-∠BOD）-

（90°-∠BOD）

　　=90°-

∠BOD-45°+

∠BOD=45°

中考解析

角的度量

　　考点扫描:

　　1．理解周角、平角、直角、锐角、钝角的概念，并会进行有关的计算；

　　2．掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分；

　　3．理解补角、余角的概念，掌握它们的性质。

　　名师精讲:

　　1．直角、锐角、钝角的概念

　　平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫钝角。

这是对小于平角的角的分类，要在理解的基础上加以记忆；同时对周角、平角、直角的度数及它们相互之间的关系也要加以理解和记忆，牢固掌握。

　　2．角的度量单位以及换算

　　角的度量单位是度、分、秒。

表示方法是在数字的右上角用“°”、“′”、“″”等符号表示，单位换算与时钟的度、分、秒之间的换算一致，为六十进制。

　　1°=60′,1′=60″。

　　3．补角、余角的概念及其性质

　　如果两个角的和是一个平角，则这两个角叫做互为补角，简称“互补”；如果两角的和是一个直角，则这两个角叫做互为余角，简称“互余”。

由定义可知，两角互余，则它们的和是90°，两角互补，则它们的和为180°，反之亦然。

　　4．补角，余角的性质

（1）同角或等角的补角相等；

（2）同角或等角的余角相等。

　　值得注意的是，互余或互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关；余角、补角是一个角相对于另一个角而言，不是指某个单独的角，互为余角的定义及其性质在以后的推理证明中用得较多，也要在理解的基础上加以记忆。

这是本节的重点。

　　中考典例:

　　1．（河北省）如果∠A=35°18′,那么∠A的余角等于___________。

　　考点：

互余定义

　　评析：

由互余定义：

两个角之和是90°这两个角是互为余角。

即可求出∠A的余角为52°42′（或54.7°）

　　2．（安徽省）如图，要把角钢

（1）弯成120°的钢架

（2），则在角钢

（1）上截去的缺口是__________度。

　　考点：

互补定义

　　评析：

互补是指两个角之和等于180°，设截去的缺口为∠1，剩下的两角为∠2，∠3。

则有

∠1+∠2+∠3=180°，弯成的钢架所成角是120°，即∠2+∠3=120°，因此∠1=60°。

　　真题专练:

　　1．（北京崇文区）一个角的8倍等于这个角的补角，则这个角等于　　度。

　　2．（北京宣武区）如果一个角的余角是35度，那么这个角的补角是　度。

　　3．（镇江市）若∠α的余角是47°，则∠α＝________度。

　　4．（河南省）一个角的补角比这个角的余角大　　　度。

　　5．（陕西省）如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（　）

　　A、30°　　B、60°　　C、90°　　D、120°

　　6．（南充市）已知∠A是它的补角的4倍，那么∠A的度数是（　）

　　A、144°　　B、36°　　C、45°　　D、72°

　　7．（杭州市）在时刻8:

30，时钟上的时针和分针之间的夹角为（　）

　　A、85°　　B、75°　　C、70°　　D、60°

　　8．（北京西城区）一个角的余角比它的补角的

还少20°，求这个角。

　　9．（杭州市）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°求这个角的度数。

　　答案：

　　1、20（提示：

可设这个角是x°根据题意得方程：

8x=180–x，解得x=20）；

　　2、125（提示：

由余角是35°，可知这个角是55°，所以补角是125°。

另外也可根据一个角的补角比它的余角大90°来求）；

　　3、43；

　　4、90；

　　5、B（提示：

150°–90°=30°）；

　　6、A（提示：

可设∠A等于x°，根据题意得方程：

x=4（180–x），解得x=144，所以选A）；

　　7、B（提示：

当8:

30时，时钟上的分针指向刻度6，时钟上的时针指向刻度8.9之间的正中间）。

　　8、75°（解题过程如下：

设这个角为x°根据题意得方程：

90–x+20=

（180–x），解得x=75。

答这个角是75°）。

　　9、50°（解题过程如下：

设这个角为x°，则这个角的补角是（180–x）°，余角是（90–x）°，由题意，得（180–x）–3（90–x）=10,解得x=50。

答：

这个角的度数是50°。

角的画法

　　考点扫描:

　　1．掌握用量角器或三角板画一个角等于已知角；

　　2．掌握用量角器或三角板画角的和、差、倍、分的方法。

　　名师精讲:

　　本节主要掌握两种基本技能：

（1）画一个角等于已知角。

其步骤是：

①量出已知角的度数；②画一条射线作为角的始边；③用量角器按已知角的度数画出所求的角的终边。

二是画角的和、差、倍、分。

方法有两种：

①用量角器量出各已知角的度数，进而计算出所有要画的角的度数，再用量角器画出；②利用“拼”或“割”的方法作出两角之和或差。

　　另外，对于一些特殊的角如15°，30°，45°，60°，75°，90°，135°……可以用三角板画。

画表示方向的角时，要以南、北方向线为角的起始位置，向东或向西旋转（南偏东、南偏西、北偏东、北偏西）已知角度。

西南、西北、东南、东北方向即是偏45°角的方向。

专题辅导

平面几何入门要过好五关

（二）

　　平面几何入门要过好“五关”——语言关，画图关，命题关、论据关，推理关。

　　三、命题关：

　　首先要排除对命题语句的障碍，判断命题的真假，认清题目的条件和结论。

实际上类似于语文中对句子分析时找主语,谓语一样。

　　例：

“等角的余角相等”

　　题设（条件）：

等角的余角。

　　结论：

相等。

（这是一个真命题）

　　要会用图形，符号语言来表示出题设结论。

　　题设：

∵∠1+∠2=900，∠3+∠4=900（已知）

　　∠1=∠3

　　结论：

∴∠2=∠4（等角的余角相等）

　　四、论据关：

　　几何入门阶段的计算与证明要写出论据。

这是过好这关的有效办法，填写依据时，不要似是而非。

　　例：

如图，A、B、C、D四点共线，∠1=∠2，那么∠3与∠4是什么关系。

　　解：

∵A、B、C、D四点共线，论据：

已知

　　∴∠1+∠3=1800　　　论据：

平角定义

　　∠2+∠4=1800　　　　　论据：

平角定义

　　又∵∠1=∠2　　　　　论据：

已知

　　∴∠3=∠4　　　　　　论据：

等角的补角相等

　　五、推理关：

　　学习平面几何的主要任务之一是培养逻辑推理能力。

为过好推理关要注意分析命题的条件、结论，特别注意图形的特点和隐含条件，一环扣一环。

要探索解题思路，总结解题规律。

要重视因果关系一步推理的训练。

　　简单的推理技能有两个方面的要求：

　　一是必须做到“言必有据”，每一次推理都有三部分组成，即推理的条件（因），推出的结论（果），以及由条件到结论（由因导果）的依据（推理的理由）。

推理必须使三者的因果关系合理、正确。

　　二是要分得清推理的层次.解决一个问题,说明一个结论成立，常常要经过若干次推理。

要能分得清每一次推理的“因”，“果”，和“理由”三个部分，要分得清前后两次推理的关系，从而使整个推理过程不仅有根有据，而且层次分明。

　　培养逻辑推理能力是学习平面几何的重要的一点，要过好推理关，应注意分析命题的条件和结论，观察图形特点，挖掘隐含条件，采用分析综合法，探索解题思路，摸索解题规律。

　　例：

如图，BD、CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠1=∠2，那么∠ABC和∠ACB相等吗？

请说明理由。

　　证明：

（1）∵BD平分∠ABC（已知）,∴∠ABC=2∠1　（角平分线定义）

（2）∵CE平分∠ACB　（已知）,∴∠ACB=2∠2　（角平分线定义）

　　（3）∵∠1=∠2（已知）∴∠ABC=∠ACB（等量的同倍量相等）。

　　在这个证明过程中，包括了三个一次推理的组合，完成了从已知条件向结论的过程。

第（3）部分是

（1）与

（2）共同的结果，而

（1），

（2）两个推理是并列的，因而在证明中先写

（1）或

（2）没有什么关系，但（3）必须在

（1）

（2）的后面。

　　一个命题的证明从哪里下手，分几步进行推理，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合，完成题设到结论的过渡，这需要认真对图形题设与结论之间的关系进行分析，把一条推理的长链接好。

　　例：

一步推理训练：

线段中点定义：

（1）∵O为AB中点（已知）,∴AO=OB（线段中点定义）

（2）∵O为AB中点（已知）,∴AO=

AB,BO=

AB（线段中点定义）

　　（3）∵O为AB中点（已知）,∴AB=2AO,AB=2BO（线段中点定义）

　　（4）∵AO=OB（已知）,∴O为AB中点（线段中点定义）

　　（5）∵AO=

AB（BO=

AB）（已知）,∴O为AB中点（线段中点定义）

　　（6）∵AB=2AO（AB=2BO）（已知）,∴O为AB中点。