7年级上课本变式题.docx
《7年级上课本变式题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《7年级上课本变式题.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
7年级上课本变式题
七年级上册·课本亮题拾贝
课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性．在教学的过程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力，发展创新思维，提高数学素养．
1．1正数和负数
题目某地一天中午12时的气温是7℃，通过5小时气温下降了4℃，通过7小时气温又下降了4℃，第二天零时气温是多少?
（人教课本P57题）
解∵7+（－4）+（－4）=－1，
∴第二天零时气温是零下1℃．
点评在0℃以上的温度用正数表示，0℃以下的温度用负数表示；高于海平面的地方用正数表示它的高度，低于海平面的地方用负数表示它的高度．通常具有“增加、上升、零上、海平面以上……”用正数表示，具有“减少、下降、零下、海平面以下……”用负数表示．
演变
变式1某地一天中午12时的气温是7℃，通过5小时气温下降了4℃，通过7小时气温下降了℃，第二天零时气温是零下1℃．（答案：
4）
变式2某地一天中午12时的气温是a℃，过3小时气温上升了m℃，又过10小时气温下降了n℃（4），第二天零时气温是℃．（答案：
a+m－n℃）
变式3若下降5m记作－5m，那么上升8m记作，不升不降记作．
（答案：
+8m，0m）
变式4周一证券交易市场开盘时，某只股票的开盘价为18.18元，收盘时下跌了2.11元，周二上升了a元，周三下降了b元，求周一，周二，周三的收盘价．
（答案：
周一：
16.07元，周二：
16.07+a元，周三：
16.07+a－b元）．
1．2有理数（绝对值、相反数）
题目判断下列说法是否正确：
①符号相反的数互为相反数；②符号相反且绝对值相等的数互为相反数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远．（人教课本P122）
解①不对；只有符号不同的两个数，其中一个叫另一个的相反数．
③不对，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．因此②④是正确的．
点评此题主要检查学生对绝对值、相反数的概念是否理解．
演变
变式1判断下列说法是否正确：
①如果数a的绝对值等于a，那么a可能是正数吗？
可能是零吗？
可能是负数吗？
②如果数a的绝对值大于a，那么a可能是正数吗？
可能是零吗？
可能是负数吗？
③一个数的绝对值可能小于它本身吗？
（答案：
①可能，正数和0；可能；不可能②不可能；不可能；是③不可能）
变式2如果字母a表示一个有理数，那么其相反数是什么？
如果a的相反数比a大，那么a是什么数？
（答案：
－a，负数）
变式3如果a2=b2，那么a与b有什么关系？
（答案：
a+b=0，a=b）
变式4一个数的平方与它的绝对值相比较，能够确定它们之间的大小关系吗？
（答案：
①当a＞1时，a2＞∣a∣；②当0＜a＜1时，a2＜∣a∣；③当－1＜a＜0时，a2＜∣a∣；④当a=1、0、－1时，a2=∣a∣；⑤当a＜－1时，a2＞∣a∣）
变式5当x=－4，－3，－2，－1，1，2，3，4时，分别求出
的值，你发现什么？
（答案：
当x=－4，4时，
的值相等；当x=－3，3时，
的值相等……）
1．2有理数
题目如果∣x∣=2，那么一定是2吗？
如果∣x∣=0，那么x等于几？
如果x=－x，那么x等于几？
（人教课本P1510）
解∵在数轴上数2和－2到原点的距离都是2，∴x=2和－2．
∵在数轴上只有数0到原点的距离都是0，∴x=0．
∵x与－x互为相反数并且相等，∴x=0．
点评①绝对值的几何意义：
在数轴上，表示有理数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值记作：
︱a︱注意：
距离不会出现负数，因而绝对值最小值是0，即︱a︱≥0．
②绝对值的代数定义：
演变
变式1
（1）填空：
①︱3︱=，②︱1.5︱=，③︱－3︱=；④︱－1.5︱=；⑤︱0︱=．解决这些问题后，你能得到什么结论？
（答案：
3，1.5，3，1.5，0，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）
（2）若︱x︱=5，则x=．（答案：
5和－5）
（3）请说出︱x︱=5和︱x－2︱=5的几何意义．
解在数轴上表示数x的点到原点的距离为5个单位长度；在数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5个单位长度．
变式2数轴上表示+7的点是A，表示－4的点是B，则A、B两点间的距离是（）．C
A．3 B．－3C．11 D．－11
变式3已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B对应的数有哪些？
分析点A和点B在数轴上可能的位置，比如，点A和原点的距离为2说明点A表示的数的绝对值是2，则这个数为2或－2，然后再分情况讨论，答案是－3、－1、1、3．
变式4①已知︱a︱=2，︱b︱=5时，若a＜b，则a×b=．
（答案：
10和－10）
②若｜x－5｜+｜y+2｜=0，则x－y=．
解由“若干个非负数的和等于0，则每个非负数必为0”得x－5=0，且y+2=0，
所以x=5，y=－2，
于是x－y=5－（－2）=7．
变式5若｜a｜=4，｜b｜=2，求a－b．
解∵｜a｜=4，∴a=4或－4，
又｜b｜=2，∴b=2或－2．
因此，当a=4，b=2时，a－b=4－2=2；
当a=4，b=－2时，a－b=4－（－2）=6；
当a=－4，b=2时，a－b=－4－2=－6；
当a=－4，b=－2时，a－b=－4－（－2）=－2．
1．3有理数的加减法
题目你能将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4这9个数分别填入下图的幻方的9个空格中，使得处于同一横行、同一数列、同一对角线上的3个数相加都得0吗？
你是将0填入中央的格中吗？
与同学交流一下，看看你们填这个幻方的方法相同吗？
（人教课本P20－21实验与研究——填幻方）
－1
4
－3
－2
0
2
3
－4
1
答案不唯一，如：
演变
变式1下面是一个正方体纸盒的展开图，请把－10，7，
10，－2，－7，2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方
体后，相对面上的两个数互为相反数．
变式2将－8，－6，－4，－2，0，2，4，6，8这9个
数填入空格中，使得每行的3个数，每列的3个数，斜对角的
3个数相加均为0．
－2
8
－6
－4
0
4
6
－8
2
答案不唯一，如：
变式3如果将下图中的每个数都加上同一个数，那么图中每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个角相加的和仍然相等，这样就形成了一个新的图，根据下图中给出的数，对照原图，你能完成下面的图吗？
1
2
－3
－4
0
4
3
－2
－1
3
4
－1
－2
－3
－4
答案不唯一，如：
3
4
－1
－2
2
6
0
1
－2
－1
－6
－7
－3
1
0
－5
－4
变式4在下图的9个方格内填入5个2和4个－2，使每行、
每列、斜对角的三个数的乘积都是8．
－2
2
－2
2
2
2
－2
2
－2
答案不唯一，如：
1．5有理数的乘方
题目计算：
（－5）3．（人教课本P421（4））
解原式=（－5）×（－5）×（－5）=－125．
点评注意底数和指数．
演变
变式1填空：
（1）53=，
（2）－53=，（3）52=，
（4）－52=，（5）（－5）2=．
（答案：
125，－125，25，－25，25）
变式2从变式1中你得出了什么结论？
如果a为有理数，那么（－a）3、－a3和a3；（－a）2、a2和－a2有什么关系？
（答案：
（－a）3=－a3，（－a）3、－a3与a3互为相反数；（－a）2=a2，（－a）2、a2与－a2互为相反数）
变式3计算0.53、53、503……，观察结果，底数的小数点左右移动一位时，立方数的有什么规律?
（答案：
底数的小数点左右移动一位时立方数的左右移动三位）
变式4当0＜a＜1时，比较a2与a3的大小；如果当－1＜a＜0时呢？
（答案：
a2＞a3）
变式5比较53×52与55的大小；（－3）2×（－3）4与（－3）6的大小，你得出了什么结论？
并用字母表示出来．（答案：
am×an=am+n）
有理数的乘方
题目计算：
（－1）10×2+（－2）3÷4．（人教课本P441）
解原式=1×2+（－8）÷4=2+（－2）=0．
点评先算乘方，再算乘除，后算加减，注意底数和指数．
演变
变式1－110×2+（－2）3×4．（答案：
－4）
变式2因为－110×2+（－2）3×4=（－110×1+（－2）3×2）×2，所以若用a表示任意一个数，那么－110×1a+（－2）3×2a等于什么？
（答案：
－17a）
变式3已知（－1）10a+（－2）3÷4=0，则a=．（答案：
2）
变式4请用运算符号×、÷、+组合（－1）10、2、（－2）3、4使其结果等于30．（答案不唯一，如2÷（－1）10+（－2）3×4等）
2．1整式
题目用式子表示十位上的数是a、个位上的数是b的两位数子，再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，计算所得数与原数的和．这个数能够被11整除吗？
（人教课本P7710）
分析a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字，那么这个两位数可以表示为10a+b．交换这个两位数的十位数字和个位数字，就得到一个新的两位数是10b+a．
解（10a+b）+（10b+a）
=10a+b+10b+a
=（10a+a）+（b+10b）
=11a+11b=11（a+b）．
∵（a+b）是整式，
∴11（a+b）是11的倍数．
点评对于任意一个两位数，可以用字母表示数的形式表示出来，设a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字，那么这个两位数可以表示为10a+b．交换这个两位数的十位数字和个位数字，就得到一个新的两位数是10b+a．
演变
变式1任意取一个两位数，交换个位数字和十位数字的位置得到一个新的两位数，这两个两位数的差是否能够9整除？
再研究这两个两位数的和的特点．
解设a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字，则
（10a+b）－（10b+a）=10a+b－10b－a=（10a－a）+（b－10b）
=9a－9b=9（a－b）．
∵（a－b）是整式，
∴9（a－b）是9的倍数．
变式2一个两位数与这个两位数的10倍的和是11的倍数．
解设a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字，则
（10a+b）+10（10a+b）
=10a+b+100a+10b=110a+11b
=11（10a+b）．
∵10a+b是整式，
∴11（10a+b）一定是11的倍数．
变式3一个两位数的10倍与原两位数的差是9的倍数．
解设a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字，则
10（10a+b）－（10a+b）
=100a+10b－10a－b
=90a+9b=9（10a+b），
∵10a+b是整式，
∴9（10a+b）一定是9的倍数．
变式4一个三位数与这个三位数的的个位与百位数字对调的差是99的倍数．
解设a、b、c分别表示两位数百位、十位和个位上的数字，则
（100a+10b+c）－（100c+10b+a）
=100a+10b+c－100c－10b－a
=99a－99c=99（a－c）．
∵（a－c）是整式，
∴99（a－c）一定是99的倍数．
变式5一个两位数，十位数字比个位数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和是这个两位数的
，求这个两位数？
解设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+2，所以这个两位数是10x+（x+2），
根据题意，得x+（x+2）=
[10x+（x+2）]，
解得x=4，x+2=6，
∴10x+（x+2）=46．
2．2整式的加减
题目计算：
（8xy－x2+y2）－（x2－y2+8xy）．（人教课本P713
（2）题）
解原式=8xy－x2+y2－x2+y2－8xy=－2x2+2y2．
演变
变式1已知A=8xy－x2+y2，B=x2－y2+8xy，求①A+B；②B－A；③2A－3B．
（答案：
16xy，2x2－2y2，4y2－5x2－8xy）
变式2已知3a2xb10与3a6b5y是同类项，求（8xy－x2+y2）+（x2－y2+8xy）的值．
解由题意，得2x=6，5y=10，所以x=3，y=2．
因此，原式=（8xy－x2+y2）+（x2－y2+8xy）=16xy=16×2×3=96．
变式3当x=－2，y=5时，求多项式（8xy+x2+y2）－（x2－y2+8xy）的值时，甲同学不小心把x=－2代成了x=2，乙同学认为x=－2这个条件是多余的，并且甲和乙的计算结果一样．请指出甲、乙同学的做法是否正确？
说明理由．
解原式=（8xy+x2+y2）－（x2－y2+8xy）=2y2，
因为化简后不含x的项，所以与x无关．
所以乙同学的做法是正确．
2．2整式的加减
题目把（a+b）看成一项，对4（a+b）+2（a+b）－（a+b）进行合并同类项．（人教课本P7712
（1））
解原式=（4+2－1）（a+b）=5（a+b）=5a+5b．
点评常规解法是先去括号，再合并同类项，但此题可将（a+b）视为一个整体，即可简化运算．
演变
变式1合并－4（a－2b）+7（a－2b）－12（a－2b）．（答案：
－9a+18b）
变式2已知－a+2b=5，那么5（a－2b）2－3a+6b－60=．（答案：
80）
变式3已知当x=2时，整式ax5+bx3+cx+3值为100，那么当x=－2时，整式ax5+bx3+cx+3的值是多少？
（答案：
－94）
变式4已知3a+8b=3，求（3a+8b）2－
的值．（答案：
）
2．2整式的加减
题目下图是某月的月历（人教课本P74活动三）
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
①带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？
②不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？
你能证明这个结论吗？
③这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
解①带阴影的方框中的9个数之和是方框正中心的数的9倍．
②设方框正中心的数为x，其余为（x－8），（x－7），（x－6），（x－1），（x+1），（x+6），（x+7），（x+8）．
（x－8）+（x－7）+（x－6）+（x－1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）=9x．
③成立．
点评设方框正中心的数为x，则其余的数就可以表示出来：
（x－8），（x－7），（x－6），（x－1），（x+1），（x+6），（x+7），（x+8）．
演变
变式1①若一横行相邻的三个数的和为48，则这三个数是多少？
②若一竖列相邻的三个数的和为42，则这三个数是多少？
解①设第一个数为x，则其余的数为（x+1），（x+2）．
所以x+（x+1）+（x+2）=48，解得x=15．
因此，这3个数为15，16，17．
②设第一个数为x，则其余的数为（x+7），（x+14）．
由x+（x+7）+（x+14）=42，得x=7．
所以这3个数为7，14，21．
变式2①如果带阴影的方框里的数是4个，你能得出什么结论？
②对于带阴影的框中的4个数，又能得出什么结论？
x（a）
x+1（b）
x+7（c）
x+8（d）
（答案：
a+d=b+c）
变式3若用一个2*2的正方形框框住的4个数之和为48，求这4个数．
解设方框第一个数为x，则其余的数就可以表示出来：
（x+1），（x+7），（x+8）．
得x+（x+1）+（x+7）+（x+8）=48，x=8，所以这4个数为8，9，15，16．
变式4用3*3的正方形框框住9个数的和可能为198吗？
如果有可能，求出这9个数；如果不可能，说明理由．
解设方框正中心的数为x，其余为（x－8），（x－7），（x－6），（x－1），（x+1），（x+6），（x+7），（x+8）．
（x－8）+（x－7）+（x－6）+（x－1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）=198，
解得x=22．
所以这9个数为14，15，16，21，22，23，27，29，30．
变式5如图，是由一些奇数排成的数阵，框中的四个数有什么关系？
①若这样框出的四个数的和是200，求这四个数
②是否存在这样的四个数，使他们的和为2008，为什么？
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
解设第一个数为x，其余为（x+2），（x+8），（x+10），且对角两数的和相等．
①x+（x+2）+（x+8）+（x+10）=200，解得x=45．
所以这4个数为45，47，53，55．
②存在，x+（x+2）+（x+8）+（x+10）=2008，
解得x=497．
所以这4个数为497，499，505，507
变式6类式演变，把奇数换成偶数，请同学们自己探究①②③．
3．1从算式到方程
题目一个梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm2，求上底．（人教课本P823）
解设上底为xcm，则
×5=40，
解得x=7，此即为梯形的上底．
点评梯形的面积公式的4个字母中，知道其中3个便可求出第四个字母来．
演变
变式1在梯形的面积公式s=
h中，s=30，a=8，h=4，求b．（答案：
7）
变式2在梯形的面积公式s=
h中，s=60，a=8，b=12，求h．（答案：
6）
变式3在梯形的面积公式s=
h中，把s、b、h当成已知量，求未知量a．
（答案：
a=
－b）
解s=
h，2s=（a+b）h，
∴a+b=
，a=
－b．
变式4物体从高出自由落下时，经过的距离s与时间t有s=
gt2的关系，这里的g是一个常数，当t=2时，s=19.6，求t=3时s的值．
解由19.6=
×g×22，解得g=9.8，
∴s=
×9.8×32=44.1．
点评本题属于“给值求值”类型，宜先求出常数g的值．
3．2解一元一次方程
题目解方程：
6x－7=4x－5．（人教课本P772
（1））
解6x－4x=－5+7，
2x=2，
x=1．
点评把未知数移到等号的左边，常数项移到等号的右边，再合并同类项．移项后一定要变号．
演变
变式1x为何值时6x－7与4x－5互为相反数？
解（6x－7）+（4x－5）=0，
10x=12，
x=1.2．
变式2若方程6x－7=4x－5的解与关于x的方程3a+x=26－2a的解相同，求a的值．
解6x－7=4x－5，
6x－4x=－5+7，
2x=2，
x=1．
把x=1代入3a+x=26－2a得3a+1=26－2a得a=5．
变式3以方程6x－7=4x+5为模型编一道应用题．
如：
把一些书分给若干位学生阅读，如果每人分6本，则差7本；如果每人分4本，则多5本．求有多少位学生阅读书？
变式4令6=m，7=a，4=n，5=b，方程可变式为mx－a=nx－b，试求解之．
（答案：
①当m≠n时，
，②当m=n，a=b时，有无数个解；当a≠b时，方程无解）
3．2解一元一次方程
题目有一列数，按一定规律排成1，－3，9，－27，81，－243，…，其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？
（人教课本P91例3）
分析任意相邻三个数的比是1:
（－3）:
9，也就知道了相邻三个数所占的份数，如果设其中一份为x，那么这三个数课分别表示为x，－3x，9x．
解设其中一份为x，那么这三个数课分别表示为x，－3x，9x．
根据题意，得x－3x+9x=－1701，
解得x=－243，
这三个数分别为－243，729，－2187．
点评对于生活中的一些问题，我们可以根据已知条件，探索到几个未知量的关系，然后通过设出其中一份为X，再将其余的量用X表示出来，从而顺利地列出方程，使问题得以解决．
演变
变式1张亮有三种邮票共18枚，它们的数量比为1:
2:
3，则最多的一种邮票有多少枚？
分析18枚邮票可被分成1+2+3=6份，这样若设每一份为x枚，则可以列出一元一次．
解设每一份为x枚．
则根据题意，得x+2x+3x=18，解得x=3．
此时3x=9．
所以，最多的一种邮票有9枚．
变式2某车间
升级会员 