《第14章 整式的乘法与因式分解》 单元练习卷解析版.docx

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《第14章整式的乘法与因式分解》单元练习卷解析版

第14章整式的乘法与因式分解

一．选择题（共12小题）

1．下列运算正确的是（　　）

A．a3•a3＝a9B．a3+a3＝a6C．a3•a3＝a6D．a2•a3＝a6

2．计算下列代数式，结果为x5的是（　　）

A．x2+x3B．x•x5C．x6﹣xD．2x5﹣x5

3．比较355，444，533的大小，正确的是（　　）

A．444＞355＞533B．533＞444＞355

C．355＞444＞533D．355＞533＞444

4．已知ab2＝﹣1，则﹣ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值等于（　　）

A．﹣1B．0C．1D．无法确定

5．已知：

（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，则p，q的值分别为（　　）

A．5，3B．5，﹣3C．﹣5，3D．﹣5，﹣3

6．已知x+y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为（　　）

A．22B．16C．10D．4

7．已知a+b＝m，ab＝n，则（a﹣b）2等于（　　）

A．m2﹣nB．m2+nC．m2+4nD．m2﹣4n

8．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab

9．如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一个矩形，则这个矩形的面积为（　　）

A．9a2﹣4b2B．3a+2bC．6a2+2b2D．9a2﹣6ab

10．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（　　）

A．4B．4或﹣2C．±4D．﹣2

11．下列因式分解中，错误的是（　　）

A．1﹣9x2＝（1+3x）（1﹣3x）

B．a2﹣a+

＝

C．﹣mx+my＝﹣m（x+y）

D．ax﹣ay﹣bx+by＝（x﹣y）（a﹣b）

12．若多项式5x2+17x﹣12可因式分解成（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a+c之值为何？

（　　）

A．1B．7C．11D．13

二．填空题（共6小题）

13．若am＝5，an＝6，则am+n＝　　．

14．计算（2m2n﹣3）﹣3（﹣mn﹣2）﹣2把结果化为只含有正整数指数幂的形式为　　．

15．若9x2﹣mx+16是完全平方式，则m＝　　．

16．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝20，ab＝18，则阴影部分的面积为　　．

17．计算：

（﹣

m+n）（﹣

m﹣n）＝　　．

18．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为　　．

三．解答题（共5小题）

19．

（1）计算：

3﹣[6﹣（2﹣3）2]

（2）因式分解：

4m2﹣16n2．

20．已知x2+y2＝19，x﹣y＝5，求下列各式的值．

（1）xy；

（2）x+y．

21．已知2m＝a，8n＝b，m，n，是正整数，求23m+6n．

22．仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：

已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：

设另一个因式为（x+n），得

x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）

则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n

∴

．

解得：

n＝﹣7，m＝﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21

问题：

仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

23．乘法公式的探究及应用：

（1）如图，可以求出阴影部分的面积是　　（写成两数平方差的形式）；

（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　　，长是　　，面积是　　（写成多项式乘法的形式）；

（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：

　　（用式子表达）；

（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：

（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．下列运算正确的是（　　）

A．a3•a3＝a9B．a3+a3＝a6C．a3•a3＝a6D．a2•a3＝a6

【分析】根据同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加可判断出A，C，D的正误，再根据合并同类项的法则：

把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变可判断出B的正误．

【解答】解：

A、a3•a3＝a6，故此选项错误；

B、a3+a3＝2a3，故此选项错误；

C、a3•a3＝a3+3＝a6，故此选项正确；

D、a2•a3＝a2+3＝a5，故此选项错误．

故选：

C．

2．计算下列代数式，结果为x5的是（　　）

A．x2+x3B．x•x5C．x6﹣xD．2x5﹣x5

【分析】根据合并同类项的法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．

【解答】解：

A、x2与x3不是同类项，故不能合并同类项，故选项A不合题意；

B、x•x5＝x6，故选项B不合题意；

C、x6与x不是同类项，故不能合并同类项，故选项C不合题意；

D、2x5﹣x5＝x5，故选项D符合题意．

故选：

D．

3．比较355，444，533的大小，正确的是（　　）

A．444＞355＞533B．533＞444＞355

C．355＞444＞533D．355＞533＞444

【分析】利用幂的乘方运算法则将三数变形，比较即可．

【解答】解：

∵355＝（35）11，444＝（44）11，533＝（53）11，且53＜35＜44，

∴444＞355＞533，

故选：

A．

4．已知ab2＝﹣1，则﹣ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值等于（　　）

A．﹣1B．0C．1D．无法确定

【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，变形后将已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：

∵ab2＝﹣1，

∴原式＝﹣（ab2）3+（ab2）2+ab2＝1+1﹣1＝1，

故选：

C．

5．已知：

（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，则p，q的值分别为（　　）

A．5，3B．5，﹣3C．﹣5，3D．﹣5，﹣3

【分析】由（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣5x﹣3结合（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，即可得出p、q的值．

【解答】解：

（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣6x+x﹣3＝2x2﹣5x﹣3，

∵（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，

∴p＝﹣5，q＝﹣3，

故选：

D．

6．已知x+y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为（　　）

A．22B．16C．10D．4

【分析】根据完全平方公式得出x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，代入求出即可．

【解答】解：

∵x+y＝4，xy＝3，

∴x2+y2

＝（x+y）2﹣2xy

＝42﹣2×3

＝10．

故选：

C．

7．已知a+b＝m，ab＝n，则（a﹣b）2等于（　　）

A．m2﹣nB．m2+nC．m2+4nD．m2﹣4n

【分析】先根据完全平方公式变形（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，然后把a+b＝m，ab＝n代入计算即可．

【解答】解：

（a﹣b）2

＝（a+b）2﹣4ab

＝m2﹣4n．

故选：

D．

8．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab

【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去中间小正方形的面积，即可写出等式．

【解答】解：

阴影部分的面积是：

（a+b）2﹣（a﹣b）2；

4个长方形的面积是：

4ab，

∴验证的等式是：

（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．

故选：

D．

9．如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一个矩形，则这个矩形的面积为（　　）

A．9a2﹣4b2B．3a+2bC．6a2+2b2D．9a2﹣6ab

【分析】依据阴影部分的三块拼成一个矩形，求得阴影部分的面积即可得到这个矩形的面积．

【解答】解：

∵阴影部分面积＝9a2﹣4b2，

∴将阴影部分的三块拼成一个矩形，则这个矩形的面积为9a2﹣4b2，

故选：

A．

10．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（　　）

A．4B．4或﹣2C．±4D．﹣2

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．

【解答】解：

∵x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，

∴2（m﹣1）＝±6，

解得：

m＝4或m＝﹣2，

故选：

B．

11．下列因式分解中，错误的是（　　）

A．1﹣9x2＝（1+3x）（1﹣3x）

B．a2﹣a+

＝

C．﹣mx+my＝﹣m（x+y）

D．ax﹣ay﹣bx+by＝（x﹣y）（a﹣b）

【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．

【解答】解：

﹣mx+my＝﹣m（x﹣y）所以C错了．

A、B、D正确．

故选：

C．

12．若多项式5x2+17x﹣12可因式分解成（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a+c之值为何？

（　　）

A．1B．7C．11D．13

【分析】首先利用十字交乘法将5x2+17x﹣12因式分解，继而求得a，c的值．

【解答】解：

利用十字交乘法将5x2+17x﹣12因式分解，

可得：

5x2+17x﹣12＝（x+4）（5x﹣3）．

∴a＝4，c＝﹣3，

∴a+c＝4﹣3＝1．

故选：

A．

二．填空题（共6小题）

13．若am＝5，an＝6，则am+n＝　30　．

【分析】所求式子利用同底数幂的乘法法则变形后，将已知的等式代入计算即可求出值．

【解答】解：

∵am＝5，an＝6，

∴am+n＝am•an＝5×6＝30．

故答案为：

30

14．计算（2m2n﹣3）﹣3（﹣mn﹣2）﹣2把结果化为只含有正整数指数幂的形式为　

　．

【分析】先算积的乘方、再根据单项式乘单项式的法则计算，再把结果化为只含有正整数指数幂的形式即可求解．

【解答】解：

（2m2n﹣3）﹣3（﹣mn﹣2）﹣2

＝（2﹣3m﹣6n9）（m﹣2n4）

＝2﹣3m﹣8n13

＝

．

故答案为：

．

15．若9x2﹣mx+16是完全平方式，则m＝　±24　．

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．

【解答】解：

∵9x2﹣mx+16是完全平方式，

∴m＝±24．

故答案为：

±24

16．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝20，ab＝18，则阴影部分的面积为　173　．

【分析】先由图形得出阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去两个三角形的面积，然后在化简计算过程中配成含有（a+b）2和ab的式子，就能把a+b＝20，ab＝18代入计算了．

【解答】解：

∵a+b＝20，ab＝18，

∴S阴影＝

＝

＝

＝

＝173

故答案为：

173．

17．计算：

（﹣

m+n）（﹣

m﹣n）＝　

m2﹣n2　．

【分析】根据平方差公式，可得答案．

【解答】解：

原式＝（﹣

m）2﹣n2

＝（

m）2﹣n2，

＝

m2﹣n2

故答案为：

m2﹣n2．

18．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　．

【分析】根据图形的面积相等，可得答案．

【解答】解：

图1的面积a2﹣b2，图2的面积（a+b）（a﹣b）

由图形得面积相等，得

a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

故答案为：

a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．

三．解答题（共5小题）

19．

（1）计算：

3﹣[6﹣（2﹣3）2]

（2）因式分解：

4m2﹣16n2．

【分析】

（1）直接利用有理数混合运算法则化简求出答案；

（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】解：

（1）3﹣[6﹣（2﹣3）2]＝3﹣（6﹣1）＝﹣2；

（2）4m2﹣16n2＝（2m﹣4n）（2m+4n）＝4（m﹣2n）（m+2n）．

20．已知x2+y2＝19，x﹣y＝5，求下列各式的值．

（1）xy；

（2）x+y．

【分析】

（1）根据完全平方公式，即可解答．

（2）根据完全平方公式，即可解答．

【解答】解：

（1）x﹣y＝5，

（x﹣y）2＝52

x2﹣2xy+y2＝25

2xy＝（x2+y2）﹣25

2xy＝19﹣25

2xy＝﹣6

xy＝﹣3．

（2）（x+y）2＝x2+2xy+y2＝19+2×（﹣3）＝13，

x+y＝±

．

21．已知2m＝a，8n＝b，m，n，是正整数，求23m+6n．

【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．

【解答】解：

∵2m＝a，8n＝b，

∴2m＝a，8n＝23n＝b，

∴23m+6n＝（2m）3×（23n）2＝a3b2．

22．仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：

已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：

设另一个因式为（x+n），得

x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）

则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n

∴

．

解得：

n＝﹣7，m＝﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21

问题：

仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．

【解答】解：

设另一个因式为（x+a），得（1分）

2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）（2分）

则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）

∴

（6分）

解得：

a＝4，k＝20（8分）

故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）

23．乘法公式的探究及应用：

（1）如图，可以求出阴影部分的面积是　a2﹣b2　（写成两数平方差的形式）；

（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　a﹣b　，长是　a+b　，面积是　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式乘法的形式）；

（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：

　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　（用式子表达）；

（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：

（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）

【分析】

（1）由图形的面积关系即可得出结论；

（2）由图形即可得到长方形的长，宽以及面积；

（3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式；

（4）依据平方差公式以及完全平方公式，即可得到计算结果．

【解答】解：

（1）由图可得，阴影部分的面积＝a2﹣b2；

故答案为：

a2﹣b2；

（2）由图可得，矩形的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；

故答案为：

a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；

（3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；

故答案为：

（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；

（4）（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）

＝（2m）2﹣（n﹣p）2

＝4m2﹣（n2﹣2np+p2）

＝4m2﹣n2+2np﹣p2．