(3)
10.已知抛物线C:
y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,直线PF与抛物线C交于M,N两点,若PF=3MF,则MN=()
A.16
B.8
C.
163
D.
833)
11.已知向量a,b满足a+b=3,a-b=2,则a+b的取值范围是(A.[2,3]B.[3,4]C.[2,13]
D.[3,13]
O是底面ABCD的中点,点P是正方形2
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,点
A1B1C1D1内的任意一点,则满足线段PO的长度不小于5的概率是(A.)D.1-
p4
B.1-
p4
C.
p8
共90分)
p8
第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:
本大题共4小题,每题5分,满分20分.
x
13.函数f(x)=()-log2(x+4)在区间[-2,2]上的最大值为
13
.
14.已知双曲线曲线的焦距等于
x2y2-=1(a>0,b>0)的离心率为3,焦点到渐近线的距离为2,则此双a2b2
.
15.如图,DABC中,ÐB=则AC=.
p
3,D为边AB上的一点,CD=26,AD=3,BC=4,
16.已知函数f(x)=为.
2x11122018+3sin(x-)+,则f()+f()+×××+f()的值2x-122201920192019
三、解答题:
本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=3an-2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令bn=log3an+1,求数列í
2
ì1üý的前n项和Tn.îbnbn+1þ
18.某地随着经济的发展,居民收入逐年增长.该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款(年底余额)得到下表:
年份x储蓄存款y(千亿元)
20135
20146
20157
20168
201710
为便于计算,工作人员将上表的数据进行了处理(令t=x-2012,z=y-5),得到下表:
时间t储蓄存款z
1
2
1
3
2
4
5
4
0
3
(Ⅰ)求z关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)中的方程,求出y关于x的回归方程;
(Ⅲ)用所求回归方程预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达多少?
附:
线性回归方程y=bx+a,其中b=
åxy-nx×y
i=1nii
n
åx
i=1
2
i
-nx
2,a=y-bx.
19.已知空间几何体ABCDE中,DBCD与DCDE均为边长为2的等边三角形,DABC为腰长为3的等腰三角形,平面CDE^平面BCD,平面ABC^平面BCD.
(Ⅰ)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出详细证明;
(Ⅱ)求三棱锥E-ABC的体积.
20.已知椭圆C:
x2y2+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0),离心率是a2b2
1,直线l过点P(0,-c)交椭圆于A,B两点,当直线l过点F2时,DF1AB的周长为8.2
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)当直线l绕点P运动时,试求l=
PAPB
的取值范围.
21.已知f(x)=(x-1)ex-a(x2+1),xÎ[1,+¥).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若f(x)³-2a+lnx,求实数a的取值范围.
请考生在
22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为2rsin(q+
p
ìx=2cosj)-3=0,曲线C的参数方程是í(j为参数).6îy=2sinj
(Ⅰ)求直线l和曲线C的普通方程;
(Ⅱ)直线l与x轴交于点P,与曲线C交于A,B两点,求PA+PB.
23.选修4-5:
不等式选讲已知函数f(x)=x-a+x+2.(Ⅰ)当a=1时,解不等式f(x)³4;
(Ⅱ)若不等式f(x)£x+3的解集包含[0,1],求实数a的取值范围.
龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学(文科)参考答案
一、选择题
1-
5:
DBADB6-
10:
CACAC
11、12:
DB
二、填空题
13.8
14.3
15.
39
16.3027
三、解答题
17.命题立意:
本题主要考查数列{an}的通项公式和前n项和公式,裂项相消法求和.考查学生公式的熟练运用能力和计算能力.解:
(Ⅰ)因为Sn=3an-2①,所以Sn+1=3an+1-2②,②-①得:
an+1=3an+1-3an,即
an+13=,an2
32
n-1n-1又a1=1,所以an=1´()=().
32
(Ⅱ)bn=log3an+1=n,2
令cn=
1111=-,则cn=,n(n+1)nn+1bnbn+1
1212131n1n)=.n+1n+1
所以Tn=c1+c2+×××+cn=(1-)+(-)+×××+(-
18.命题立意:
本题主要考查一元线性回归分析,考查学生数据处理的能力.解:
(Ⅰ)t=3,z=
5511,åtizi=45,åti2=55,5i=1i=145-5´3´
2.261167=,a=z-bt=-3´=-,55-5´9555567∴z=t-.5567(Ⅱ)将t=x-2012,z=y-5,代入z=t-,5567得y-5=(x-2012)-,55612054即y=
1.2x-
2410.8(或y=x-).55b=
(Ⅲ)∵y=
1.2x-
2410.8,∴
1.2´2020-
2410.8=
13.2.所以预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达
13.2千亿元.
19.命题立意,本题主要考查面面垂直的性质定理,面面平行的判定定理及空间几何体的体积公式,考查学生空间想象能力,逻辑推理能力和化归转化思想.解:
(Ⅰ)如图所示,取DC中点N,取BD中点M,连结MN,则MN即为所求.证明:
取BC中点H,连结AH,∵DABC为腰长为3的等腰三角形,H为BC中点,∴AH^BC,又平面ABC^平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,AHÌ平面ABC,∴AH^平面BCD,同理可证EN^平面BCD,∴EN//AH,∵ENË平面ABC,AHÌ平面ABC,∴EN//平面ABC.又M,N分别为BD,DC中点,∴MN//BC,∵MNË平面ABC,BCÌ平面ABC,∴MN//平面ABC.又MN
EN=N,MNÌ平面EMN,ENÌ平面EMN,∴平面EMN//平面ABC,又EFÌ平面EMN,∴EF//平面ABC.
(Ⅱ)连结DH,取CH中点G,连结NG,则NG//DH,由(Ⅰ)可知EN//平面ABC,所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等.又DBCD是边长为2的等边三角形,∴DH^BC,又平面ABC^平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,DHÌ平面BCD,∴DH^平面ABC,∴NG^平面ABC,∴DH=3,又N为CD中点,∴NG=又AC=AB=3,BC=2,∴SDABC=∴VE-ABC=VN-ABC=
3,2
1×BC×AC=22.2
16.×SDABC×NG=33
20.命题立意:
本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线和椭圆的位置关系,考查学生逻辑思维能力和分类讨论思想及运算求解能力.
=4a=8,解:
(Ⅰ)∵DF1AB的周长为AF1+BF1+AB=AF1+AF2+BF1+BF2
∴a=2,又e=
c1=,∴c=1,∴b=a2-c2=3,a2
∴椭圆C的标准方程为
x2y2+=
1.43
(Ⅱ)设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),当直线AB与y轴重合时,A点与上顶点重合时,l=
PAPB
=2+3,当直线AB与y轴重合时,A点与下顶点重合时,l=
PAPB
=2-3,当直线AB斜率为0时,l=
PAPB
=1,当直线AB斜率存在且不为0时,不妨设直线AB方程为y=kx-1,联立3x2+4y2=12,得(3+4k2)x2-8kx-8=0,则有x1+x2=
8k,①3+4k28kx1×x2=-②3+4k2
设l=
PAPB
=-
x1,则x2=-lx1,代入①②得x2
8k③3+4k28-lx12=-④3+4k2x1-lx1=
82lxl3+4k2=3+4k=1×(1+3)>1,∴2==24k228k2x1(1-l2)(1-l)2(8k)223+4k
21
即
l1>,解得2-3 综上,lÎ[2-3,2+3].
21.命题立意:
本题主要考查函数的单调性、导数的应用、不等式恒成立等知识,考查学生的数形结合的能力、化归转化能力、运算求解能力以及分类讨论思想.解:
(Ⅰ)f'
(x)=xe-2ax=x(e-2a),xx
e时,xÎ[1,+¥),f'
(x)³0.∴f(x)在[1,+¥)上单调递增;
2e当a>时,由f'
(x)=0,得x=ln(2a).2
当a£当xÎ(1,ln(2a))时,f'
(x)<0;当xÎ(ln(2a),+¥)时,f'
(x)>0.所以f(x)在(1,ln(2a))单调递减;在(ln(2a),+¥)单调递增.
(Ⅱ)令g(x)=(x-1)ex-a(x2-1)-lnx,问题转化为g(x)³0在xÎ[1,+¥)上恒成立,1g'
(x)=xex-2ax-,注意到g
(1)=0.xe-1当a>时,g'
(1)=e-2a-1<0,2
g'
(ln(2a+1))=ln(2a+1)-
1,ln(2a+1)
因为2a+1>e,所以ln(2a+1)>1,g'
(ln(2a+1))>0,所以存在x0Î(1,ln(2a+1)),使g'
(x0)=0,当xÎ(1,x0)时,g'
(x)<0,g(x)递减,所以g(x)
(1)=0,不满足题意.
e-111xx时,g'
(x)³xe-(e-1)x-=x[e-(e-1)]-,2xx1当x>1时,x[ex-(e-1)]>1,0<<1,x
当a£所以g'
(x)>0,g(x)在[1,+¥)上单调递增;所以g(x)³g
(1)=0,满足题意.综上所述:
a£
e-1.2
22.选修4-4:
坐标系与参数方程解:
(Ⅰ)2rsin(q+
p
6)-3=0,化为3rsinq+rcosq-3=0,即l的普通方程为x+3y-3=0,ìx=2cosj22消去j,得C的普通方程为x+y=4.íîy=2sinj
(Ⅱ)在x+3y-3=0中令y=0得P(3,0),∵k=-
5p3,∴倾斜角a=,635pìì3x=3+tcosx=3-tïïïï62∴l的参数方程可设为í即í(t为参数),ïy=0+tsin5pïy=1tïï6îî2
代入x2+y2=4得t-33t+5=0,D=7>0,∴方程有两解,2
t1+t2=33,t1t2=5>0,∴t1,t2同号,PA+PB=t1+t2=t1+t2=33.
23.选修4-5:
不等式选讲解:
(Ⅰ)a=1时,f(x)³4Ûí
ìx<-2ì-2£x£1ìx>1或í或í,î-2x-1³4î3³4î2x+1³4
53x£-或xÎf或x³,2253解集为(-¥,-][,+¥).22
(Ⅱ)由已知f(x)£x+3在[0,1]上恒成立,∵x+2>0,x+3>0,∴x-a£1在[0,1]上恒成立,∵y=x-a的图象在(-¥,a)上递减,在(a,+¥)上递增,∴í
ìï0-a£1ì-1£a£1Þí,0£a£21-a£1îïî
∴a的取值范围是[0,1].