微观经济学第四章 习题答案.docx
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微观经济学第四章习题答案
第四章生产论
1.下面（表4—1）是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：
表4—1
可变要素的数量
可变要素的总产量
可变要素的平均产量
可变要素的边际产量
1
2
2
10
3
24
4
12
5
60
6
6
7
70
8
0
9
63
（1）在表中填空。
（2）该生产函数是否表现出边际报酬递减？
如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？
解答：
（1）利用短期生产的总产量（TP）、平均产量（AP）和边际产量（MP）之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表4—2所示：
表4—2
可变要素的数量
可变要素的总产量
可变要素的平均产量
可变要素的边际产量
1
2
2
2
2
12
6
10
3
24
8
12
4
48
12
24
5
60
12
12
6
66
11
6
7
70
10
4
8
70
8\f（3
4）
0
9
63
7
－7
（2）所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。
本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表4—2可见，当可变要素的投入量从第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。
2.用图说明短期生产函数Q＝f（L，eq\o（K,\s\up6（－）））的TPL曲线、APL曲线和MPL曲线的特征及其相互之间的关系。
解答：
短期生产函数的TPL曲线、APL曲线和MPL曲线的综合图如图4—1所示。
图4—1
由图4—1可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MPL曲线呈现出先上升达到最高点A以后又下降的趋势。
从边际报酬递减规律决定的MPL曲线出发，可以方便地推导出TPL曲线和APL曲线，并掌握它们各自的特征及相互之间的关系。
关于TPL曲线。
由于MPL＝eq\f（dTPL,dL），所以，当MPL＞0时，TPL曲线是上升的；当MPL＜0时，TPL曲线是下降的；而当MPL＝0时，TPL曲线达最高点。
换言之，在L＝L3时，MPL曲线达到零值的B点与TPL曲线达到最大值的B′点是相互对应的。
此外，在L＜L3即MPL＞0的范围内，当MP′L＞0时，TPL曲线的斜率递增，即TPL曲线以递增的速率上升；当MP′L＜0时，TPL曲线的斜率递减，即TPL曲线以递减的速率上升；而当MP′＝0时，TPL曲线存在一个拐点，换言之，在L＝L1时，MPL曲线斜率为零的A点与TPL曲线的拐点A′是相互对应的。
关于APL曲线。
由于APL＝eq\f（TPL,L），所以，在L＝L2时，TPL曲线有一条由原点出发的切线，其切点为C。
该切线是由原点出发与TPL曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是APL的最大值点。
再考虑到APL曲线和MPL曲线一定会相交在APL曲线的最高点。
因此，在图4—1中，在L＝L2时，APL曲线与MPL曲线相交于APL曲线的最高点C′，而且与C′点相对应的是TPL曲线上的切点C。
3.已知生产函数Q＝f（L，K）＝2KL－0.5L2－0.5K2，假定厂商目前处于短期生产，且K＝10。
（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。
（2）分别计算当劳动的总产量TPL、劳动的平均产量APL和劳动的边际产量MPL各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。
（3）什么时候APL＝MPL？
它的值又是多少？
解答：
（1）由生产函数Q＝2KL－0.5L2－0.5K2，且K＝10，可得短期生产函数为
Q＝20L－0.5L2－0.5×102＝20L－0.5L2－50
于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数
劳动的总产量函数：
TPL＝20L－0.5L2－50
劳动的平均产量函数：
APL＝TPL/L＝20－0.5L－50/L
劳动的边际产量函数：
MPL＝dTPL/dL＝20－L
（2）关于总产量的最大值：
令dTPL/dL＝0，即dTPL/dL＝20－L＝0
解得 L＝20
且 d2TPL/dL2＝－1＜0
所以，当劳动投入量L＝20时，劳动的总产量TPL达到极大值。
关于平均产量的最大值：
令dAPL/dL＝0，即dAPL/dL＝－0.5＋50L－2＝0
解得 L＝10（已舍去负值）
且 d2APL/dL2＝－100L－3＜0
所以，当劳动投入量L＝10时，劳动的平均产量APL达到极大值。
关于边际产量的最大值：
由劳动的边际产量函数MPL＝20－L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。
考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量L＝0时，劳动的边际产量MPL达到极大值。
（3）当劳动的平均产量APL达到最大值时，一定有APL＝MPL。
由
（2）已知，当L＝10时，劳动的平均产量APL达到最大值，即相应的最大值为
APL的最大值＝20－0.5×10－50/10＝10
将L＝10代入劳动的边际产量函数MPL＝20－L，得MPL＝20－10＝10。
很显然，当APL＝MPL＝10时，APL一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L＝10。
4.区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。
解答：
边际报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的总产量的变化量，即边际产量的变化，而其他生产要素均为固定生产要素，固定要素的投入数量是保持不变的。
边际报酬变化具有包括边际报酬递增、不变和递减的情况。
很显然，边际报酬分析可视为短期生产的分析视角。
规模报酬分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引起的产量变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、小于全部生产要素投入量变化比例时，则分别为规模报酬递增、不变、递减。
很显然，规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。
5.已知生产函数为Q＝min{2L，3K}。
求：
（1）当产量Q＝36时，L与K值分别是多少？
（2）如果生产要素的价格分别为PL＝2，PK＝5，则生产480单位产量时的最小成本是多少？
解答：
（1）生产函数Q＝min{2L，3K}表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有Q＝2L＝3K。
因为已知产量Q＝36，所以，相应地有L＝18，K＝12。
（2）由Q＝2L＝3K，且Q＝480，可得
L＝240，K＝160
又因为PL＝2，PK＝5，所以有
C＝PL·L＋PK·K
＝2×240＋5×160＝1280
即生产480单位产量的最小成本为1280。
6.假设某厂商的短期生产函数为Q＝35L＋8L2－L3。
求：
（1）该企业的平均产量函数和边际产量函数。
（2）如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间？
为什么？
解答：
（1）平均产量函数：
AP（L）＝eq\f（Q（L）,L）＝35＋8L－L2
边际产量函数：
MP（L）＝eq\f（dQ（L）,dL）＝35＋16L－3L2
（2）首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。
在生产要素L投入量的合理区间的左端，有AP＝MP，于是，有35＋8L－L2＝35＋16L－3L2。
解得L＝0和L＝4。
L＝0不合理，舍去，故取L＝4。
在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP＝0，于是，有35＋16L－3L2＝0。
解得L＝－eq\f（5,3）和L＝7。
L＝－eq\f（5,3）不合理，舍去，故取L＝7。
由此可得，生产要素L投入量的合理区间为[4,7]。
因此，企业对生产要素L的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。
7.假设生产函数Q＝3L0.8K0.2。
试问：
（1）该生产函数是否为齐次生产函数？
（2）如果根据欧拉分配定理，生产要素L和K都按其边际产量领取实物报酬，那么，分配后产品还会有剩余吗？
解答：
（1）因为
f（λL，λK）＝3（λL）0.8（λK）0.2＝λ0.8＋0.23L0.8K0.2
＝λ·3L0.8K0.2＝λ·f（L，K）
所以，该生产函数为齐次生产函数，且为规模报酬不变的一次齐次生产函数。
（2）因为
MPL＝eq\f（dQ,dL）＝2.4L－0.2K0.2
MPK＝eq\f（dQ,dK）＝0.6L0.8K－0.8
所以，根据欧拉分配定理，被分配掉的实物总量为
MPL·L＋MPK·K＝2.4L－0.2K0.2·L＋0.6L0.8K－0.8·K
＝2.4L0.8K0.2＋0.6L0.8K0.2＝3L0.8K0.2
可见，对于一次齐次的该生产函数来说，若按欧拉分配定理分配实物报酬，则所生产的产品刚好分完，不会有剩余。
8.假设生产函数Q＝min{5L,2K}。
（1）作出Q＝50时的等产量曲线。
（2）推导该生产函数的边际技术替代率函数。
（3）分析该生产函数的规模报酬情况。
解答：
（1）生产函数Q＝min{5L,2K}是固定投入比例生产函数，其等产量曲线如图4—2所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为K/L＝5/2。
图4—2
当产量Q＝50时，有5L＝2K＝50，即L＝10，K＝25。
相应的Q＝50的等产量曲线如图4—2所示。
（2）由于该生产函数为固定投入比例，即L与K之间没有替代关系，所以，边际技术替代率MRTSLK＝0。
（3）因为Q＝f（L，K）＝min{5L,2K}
f（λL，λK）＝min{5λL,2λK}＝λmin{5L,2K}
所以该生产函数为一次齐次生产函数，呈现出规模报酬不变的特征。
9.已知柯布道格拉斯生产函数为Q＝ALαKβ。
请讨论该生产函数的规模报酬情况。
解答：
因为Q＝f（L，K）＝ALαKβ
f（λL，λK）＝A（λL）α（λK）β＝λα＋βALαKβ
所以当α＋β>1时，该生产函数为规模报酬递增；当α＋β＝1时，该生产函数为规模报酬不变；当α＋β<1时，该生产函数为规模报酬递减。
10.已知生产函数为
（a）Q＝5Leq\f（1,3）Keq\f（2,3）；
（b）Q＝eq\f（KL,K＋L）；
（c）Q＝KL2；
（d）Q＝min{3L，K}。
求：
（1）厂商长期生产的扩展线方程。
（2）当PL＝1，PK＝1，Q＝1000时，厂商实现最小成本的要素投入组合。
解答：
（1）（a）关于生产函数Q＝5Leq\f（1,3）Keq\f（2,3）。
MPL＝eq\f（5,3）L－eq\f（2,3）Keq\f（2,3）
MPK＝eq\f（10,3）Leq\f（1,3）K－eq\f（1,3）
由最优要素组合的均衡条件eq\f（MPL,MPK）＝eq\f（PL,PK），可得
eq\f（5,3）L－eq\f（2,3）Keq\f（2,3）,eq\f（10,3）Leq\f（1,3）K－eq\f（1,3））＝eq\f（PL,PK）
整理得
eq\f（K,2L）＝eq\f（PL,PK）
即厂商长期生产的扩展线方程为
K＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2PL,PK）））L
（b）关于生产函数Q＝eq\f（KL,K＋L）。
MPL＝eq\f（K（K＋L）－KL,（K＋L）2）＝eq\f（K2,（K＋L）2）
MPK＝eq\f（L（K＋L）－KL,（K＋L）2）＝eq\f（L2,（K＋L）2）
由最优要素组合的均衡条件eq\f（MPL,MPK）＝eq\f（PL,PK），可得
eq\f（K2/（K＋L）2,L2/（K＋L）2）＝eq\f（PL,PK）
整理得
eq\f（K2,L2）＝eq\f（PL,PK）
即厂商长期生产的扩展线方程为
K＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（PL,PK）））eq\f（1,2）·L
（c）关于生产函数Q＝KL2。
MPL＝2KL
MPK＝L2
由最优要素组合的均衡条件eq\f（MPL,MPK）＝eq\f（PL,PK），可得
eq\f（2KL,L2）＝eq\f（PL,PK）
即厂商长期生产的扩展线方程为
K＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（PL,2PK）））L
（d）关于生产函数Q＝min（3L，K）。
由于该函数是固定投入比例的生产函数，即厂商的生产总有3L＝K，所以，直接可以得到厂商长期生产的扩展线方程为K＝3L。
（2）（a）关于生产函数Q＝5Leq\f（1,3）Keq\f（2,3）。
当PL＝1，PK＝1，Q＝1000时，由其扩展线方程K＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2PL,PK）））L得
K＝2L
代入生产函数Q＝5Leq\f（1,3）Keq\f（2,3）得
5Leq\f（1,3）（2L）eq\f（2,3）＝1000
于是，有L＝eq\f（200,\r（3,4）），K＝eq\f（400,\r（3,4））。
（b）关于生产函数Q＝eq\f（KL,K＋L）。
当PL＝1，PK＝1，Q＝1000时，由其扩展线方程K＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（PL,PK）））eq\f（1,2）L得
K＝L
代入生产函数Q＝eq\f（KL,K＋L），得
eq\f（L2,L＋L）＝1000
于是，有L＝2000，K＝2000。
（c）关于生产函数Q＝KL2。
当PL＝1，PK＝1，Q＝1000时，由其扩展线方程K＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（PL,2PK）））L得
K＝eq\f（1,2）L
代入生产函数Q＝KL2，得
eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（L,2）））·L2＝1000
于是，有L＝10eq\r（3,2），K＝5eq\r（3,2）。
（d）关于生产函数Q＝min{3L，K}。
当PL＝1，PK＝1，Q＝1000时，将其扩展线方程K＝3L，代入生产函数，得
K＝3L＝1000
于是，有K＝1000，L＝eq\f（1000,3）。
11.已知生产函数Q＝AL1/3K2/3。
判断：
（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？
（2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？
解答：
（1）因为Q＝f（L，K）＝ALeq\f（1,3）Keq\f（2,3），于是有
f（λL，λK）＝A（λL）eq\f（1,3）（λK）eq\f（2,3）＝Aλeq\f（1,3）＋eq\f（2,3）Leq\f（1,3）Keq\f（2,3）＝λALeq\f（1,3）Keq\f（2,3）＝λ·f（L，K）
所以，生产函数Q＝ALeq\f（1,3）Keq\f（2,3）属于规模报酬不变的生产函数。
（2）假定在短期生产中，资本投入量不变，以eq\o（K,\s\up6（－））表示；而劳动投入量可变，以L表示。
对于生产函数Q＝ALeq\f（1,3）eq\o（K,\s\up6（－））－eq\f（2,3），有
MPL＝eq\f（1,3）AL－eq\f（2,3）eq\o（K,\s\up6（－））－eq\f（2,3）
且 eq\f（dMPL,dL）＝－eq\f（2,9）AL－eq\f（5,3）eq\o（K,\s\up6（－））－eq\f（2,3）＜0
这表明：
在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量MPL是递减的。
类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以eq\o（L,\s\up6（－））表示；而资本投入量可变，以K表示。
对于生产函数Q＝Aeq\o（L,\s\up6（－））eq\f（1,3）Keq\f（2,3），有
MPK＝eq\f（2,3）Aeq\o（L,\s\up6（－））eq\f（1,3）K－eq\f（1,3）
且 eq\f（dMPK,dK）＝－eq\f（2,9）Aeq\o（L,\s\up6（－））eq\f（1,3）K－eq\f（4,3）＜0
这表明：
在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MPK是递减的。
以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。
12.令生产函数f（L，K）＝α0＋α1（LK）eq\f（1,2）＋α2K＋α3L，其中0≤αi≤1，i＝0,1,2,3。
（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。
（2）证明：
在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。
解答：
（1）根据规模报酬不变的定义
f（λL，λK）＝λ·f（L，K） （λ＞0）
于是有
f（λL，λK）＝α0＋α1[（λL）（λK）]eq\f（1,2）＋α2（λK）＋α3（λL）
＝α0＋λα1（LK）eq\f（1,2）＋λα2K＋λα3L
＝λ[α0＋α1（LK）eq\f（1,2）＋α2K＋α3L]＋（1－λ）α0
＝λ·f（L，K）＋（1－λ）α0
由上式可见，当α0＝0时，对于任何的λ＞0，有f（λL，λK）＝λ·f（L，K）成立，即当α0＝0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。
（2）在规模报酬不变，即α0＝0时，生产函数可以写成
f（L，K）＝α1（LK）eq\f（1,2）＋α2K＋α3L
相应地，劳动与资本的边际产量分别为
MPL（L，K）＝eq\f（∂f（L，K）,∂L）＝eq\f（1,2）α1L－eq\f（1,2）Keq\f（1,2）＋α3
MPK（L，K）＝eq\f（∂f（L，K）,∂K）＝eq\f（1,2）α1Leq\f（1,2）K－eq\f（1,2）＋α2
而且有
eq\f（∂MPL（L，K）,∂L）＝eq\f（∂2f（L，K）,∂L2）＝－eq\f（1,4）α1L－eq\f（3,2）Keq\f（1,2）
eq\f（∂MPK（L，K）,∂K）＝eq\f（∂2f（L，K）,∂K2）＝－eq\f（1,4）α1Leq\f（1,2）K－eq\f（3,2）
显然，劳动和资本的边际产量都是递减的。
13.已知某企业的生产函数为Q＝Leq\f（2,3）Keq\f（1,3），劳动的价格w＝2，资本的价格r＝1。
求：
（1）当成本C＝3000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡值。
（2）当产量Q＝800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。
解答：
（1）根据企业实现给定成本条件下产量最大化的均衡条件
eq\f（MPL,MPK）＝eq\f（w,r）
其中 MPL＝eq\f（dQ,dL）＝eq\f（2,3）L－eq\f（1,3）Keq\f（1,3）
MPK＝eq\f（dQ,dK）＝eq\f（1,3）Leq\f（2,3）K－eq\f（2,3）
w＝2 r＝1
于是有 eq\f（2,3）L－eq\f（1,3）Keq\f（1,3）,eq\f（1,3）Leq\f（2,3）K－eq\f（2,3））＝eq\f（2,1）
整理得 eq\f（K,L）＝eq\f（1,1）
即 K＝L
再将K＝L代入约束条件2L＋1·K＝3000，有
2L＋L＝3000
解得 L*＝1000
且有 K*＝1000
将L*＝K*＝1000代入生产函数，求得最大的产量
Q*＝（L*）eq\f（2,3）（K*）eq\f（1,3）＝1000eq\f（2,3）＋eq\f（1,3）＝1000
本题的计算结果表示：
在成本C＝3000时，厂商以L*＝1000，K*＝1000进行生产所达到的最大产量为Q*＝1000。
此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。
eq\o（max,\s\do4（L，K））Leq\f（2,3）Keq\f（1,3）
s.t. 2L＋1·K＝3000
L（L，K，λ）＝Leq\f（2,3）Keq\f（1,3）＋λ（3000－2L－K）
将拉格朗日函数分别对L、K和λ求偏导，得极值的一阶条件
eq\f（∂L,∂L）＝eq\f（2,3）L－eq\f（1,3）Keq\f（1,3）－2λ＝0
（1）
eq\f（∂L,∂K）＝eq\f（1,3）Leq\f（2,3）K－eq\f（2,3）－λ＝0
（2）
eq\f（∂L,∂λ）＝3000－2L－K＝0（3）
由式
（1）、式
（2）可得
eq\f（K,L）＝eq\f（1,1）
即 K＝L
将K＝L代入约束条件即式（3），可得
3000－2L－L＝0
解得 L*＝1000
且有 K*＝1000
再将L*＝K*＝1000代入目标函数即生产函数，得最大产量
Q*＝（L*）eq\f（2,3）（K*）eq\f（1,3）＝1000eq\f（2,3）＋eq\f（1,3）＝1000
在此略去关于极大值的二阶条件的讨论。
（2）根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件
eq\f（MPL,MPK）＝eq\f（w,r）
其中 MPL＝eq\f（dQ,dL）＝eq\f（2,3）L－eq\f（1,3）Keq\f（1,3）
MPK＝eq\f（dQ,dK）＝eq\f（1,3）Leq\f（2,3）K－eq\f（2,3）
w＝2 r＝1
于是有 eq\f（2,3）L－eq\f（1,3）Keq\f（1,3）,eq\f（1,3）Leq\f（2,3）K－eq\f（2,3））＝eq\f（2,1）
整理得 eq\f（K,L）＝eq\f（1,1）
即 K＝L
再将K＝L代入约束条件Leq\f（2,3）Keq\f（1,3）＝800，有
Leq\f（2,3）Leq\f（1,3）＝800
解得 L*＝800
且有 K*＝800
将L*＝K*＝800代入成本方程2L＋1·K＝C，求得最小成本
C*＝2×800＋1×800＝2
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