平新乔课后习题详解第10讲策略性博弈与纳什均衡.docx
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平新乔课后习题详解第10讲策略性博弈与纳什均衡
平新乔《微观经济学十八讲》第10讲策略性博弈与纳什均衡
1•假设厂商A与厂商B的平均成本与边际成本都是常数，MCa=10，MCb=8，对厂
商产出的需求函数是
Qd二500-20p
（1）如果厂商进行Bertrand竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？
（2）每个厂商的利润分别为多少？
（3）这个均衡是帕累托有效吗？
解：
（1）如果厂商进行Bertrand竞争，纳什均衡下的市场价格是pB=10一；，pA=10,
其中；是一个极小的正数。
理由如下：
假设均衡时厂商A和B对产品的定价分别为pA和pB,那么必有pA刃0,pBK8，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。
其次，达到均衡时，pA和pB都不会严格大于10。
否
则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高
自己的利润。
所以均衡价格一定满足pA空10,pB・「0。
但是由于pA的下限也是10,所以均衡时Pa=10。
给定Pa=10,厂商B的最优选择是令Pb=10-；，这里：
是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B可以获得整个市场的消费者。
综上可知，均衡时的价格为Pa=10,
Pb=10-；。
（2）由于厂商A的价格严格高于厂商B的价格，所以厂商A的销售量为零，从而利润也是零。
下面来确定厂商B的销售量，此时厂商B是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：
maxpq—cq①
其中p=10_q=500-20107、把这两个式子代入①式中，得到：
max（10—芯―）500—20（10—名卩
解得；=0,由于；必须严格大于零，这就意味着；可以取一个任意小的正数，所以厂商
B的利润为：
||500-2010-;10-;。
（3）这个结果不是帕累托有效的。
因为厂商B的产品的价格高于它的边际成本，所以
如果厂商B和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10一；之间的价格，那么厂
商B的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A的剩余（因为A的利润
还是零）。
2.（单项选择）在下面的支付矩阵（表10-1）中，第一个数表示A的支付水平，第二个数表示B的支付水平，a、b、c、d是正的常数。
如果A选择“下”而B选择“右”，那么：
（1）b.1且d：
：
：
1
（2）c：
：
：
1且b：
:
:
1
（3）b：
：
：
1且c:
：
:
d
（4）b:
:
:
c且d：
：
：
1
（5）a：
：
：
1且b:
:
:
d
【答案】（3）
【分析】由于（下，右）是均衡策略，所以给定B选择“右”，“下”是A的最优选择，
这就意味着c:
:
:
d;同样的，给定A选择“下”，“右”也是B的最优选择，这就意味着b：
：
：
1。
3•史密斯与约翰玩数字匹配游戏。
每一个人选择1、2或者3。
如果数字相同，约翰支
付给斯密3美元。
如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。
（1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。
（2）如果每一个局中人以1的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有
3
一纳什均衡。
这个对策的值是什么？
解：
（1）根据题意，构造如下的支付矩阵（表10-2）（其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付）：
表10-2玩数字匹配游戏的支付矩阵
]
2
3
1
3.-3
-1J
-1J
2
3,-3
-1>L
3
-UI
-hl
3,-3
首先由史密斯来选择，假设史密斯选择1，并期望约翰选择1,从而使自己得到3的支
付。
但是，如果史密斯选择1，则约翰一定会选择2或者3,从而使自己得到1,而不是-3。
假设约翰选择2,他期望史密斯选择1或者3,以使得自己得到1,而实际上史密斯会选择2,使得约翰得到-3,等等。
不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。
因此，这个对策没有一个纯策略纳什均衡。
（2）假设均衡时，约翰选择1、2、3的概率分别为为、X2和1-为-x2，那么此时史密斯在选择1、2、3之间是没有区别的，即：
3X1-X2-1-X1-X2=—X1'3冷-1-X1-X2=—X1-X23_x-i-X2i
从而解得
1
人=x2=1-为-x2
3
类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3。
4.假定世界上氟的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000
克。
世界对氟的需求是
Q=1000T000p
其中p是每克的价格。
（1）如果所有拥有者合谋控制氟的价格，他们设置的价格是多少？
他们能够卖出的量
是多少？
（2）为什么
（1）中计算的价格是不稳定的？
（3）通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时，氟的价格是多少？
解：
（1）所有拥有者合谋控制氟的价格，此时总的利润函数为：
-1—QQ
V1000丿
利润最大化的一阶条件为：
兰亠丄Q=0
dQ500
解得总供应量为Q=500（克）。
此时p=1・q=0.5,每个厂商的供应量为
1000
500/20=25（克）。
（2）对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为25克，那么他的利润最大化问
题为：
525T
maxq
q1000
根据一阶条件解得：
q=262.5
可见在其他厂商的供应量为25克的条件下，厂商1增加供应量会提高自己的利润。
类
似的结论对市场上的其他厂商也成立，所以合谋是不稳定的。
（3）题目要求完全竞争市场的均衡结果。
令p二MC，得到氟的价格为零。
市场上的总
供给量为1000克，每个成员的出售量为50克。
5•在下表所示的策略型博弈（表10-3）中，找出占优均衡。
表10-3博弈的支付矩阵
2
L
Af
R
L
4,3
£2
8,4
3,6
D
3,0
9,6
2-S
答：
对于行为人2而言，R优于M，所以行为人2将会剔除掉M策略，只在R、L这两个策略中进行选择；对于行为人1来说，知道了行为人2会在L、R策略中选择，则U占优于M和D策略。
当行为人2知道行为人1选择了U策略时，他则最终会选择L策略。
所以，最终的占优均衡为（U,L）。
6•模型化下述划拳博弈：
两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：
杆子、老虎，鸡和虫子。
输赢规则是：
杆子降考虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。
两个人同时出令。
如果一个打败另一个，赢者的效用为1,输者的效用为-1;否则，效用均为0。
写出这个博弈的收益矩阵。
这个博弈有纯策略纳什均衡吗？
计算出混合策略纳什均衡。
答：
（1）该题的支付矩阵（表10-4）为：
表10-4划拳博弈的支付矩阵
i'；j-戎K2
杆子
老虎
鸡
虫子
游戏者】
杆子
0,0
b-l
u.u
-1丄
老虎
-1丄
0,0
0,0
鸡
0,0
-1J
oso
1,-1
虫子
1
0.0
-14
0,0
（2）这是一个零和博弈，没有纯策略纳什均衡。
这是因为：
对两个参与者，给定对方策略时，本方的占优策略对应的支付以下划线标注，均衡存在
当且仅当在同一栏中出现两个下划线。
由此可知，该博弈没有纯策略纳什均衡。
（3）记游戏者1分别选择各个策略的概率为Pi,p2,p3,p/?
，游戏者2分别选择各个策
当游戏者2分别以概率bqq,®［选择四个策略时，游戏者1的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：
1业亠I14=-1q1q3=-1q21q4=1qi亠［1q3
又因为q1*q2+q3*q4二1，可以得到：
q=q2=q3=q4=—。
4
同理，当对于游戏者1分别以概率fp1,P2,P3,P4［选择四个策略时，游戏者2的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：
1XP2+（二尸P4=（—1FP1+仆P3=（—1〃P2+仔卩4=1汇P1+（—1『P3
又因为P1■P2■P3'P4"，可以得到：
P1二P2二P3二P4=1。
4
因此混合策略纳什均衡为：
（q，ff2），其中
疔_『1111）疔一『1111〕
-■1，，，，2*
44444444
7.巧克力市场上有两个厂商，各自都可以选择去市场的咼端（咼质量），还是去低端
（低质量）。
相应的利润由如下收益矩阵（表10-5）给出：
（2）如果各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何?
（3）合作的结果是什么？
（4）哪个厂商从合作的结果中得好处最多？
哪个厂商要说服另一个厂商需要给另一个厂商多少好处？
解：
（1）纳什均衡的结果是（高，低）和（低，高），相应的收益分别为（100，800）
和（900，600）。
（2）如果1选择低，则有min[20,900?
-_20;如果1选择高，则有min[100,50“.；=50。
因此如果1想要最大化它的最小支付，其最优决策为：
max[min\_20,900?
min[100,50》=max1-20,50]=50
所以1会选择高。
类似的分析表明2也会选择高，因此两个人都采用最大最小策略的均衡结果为（高，高），相应的支付为（50，50）。
（3）如果双方进行合作，那么他们的目标就是总利润最大化，这样最终的结果就是（低，高），相应的支付为（900，600）。
（4）厂商1从合作的结果中获得的好处多。
为了使得厂商2不选择另外一个纳什均衡（高，低），厂商1应当给厂商2一笔800—600=200的支付。
&考虑在c，f，g，三个主要汽车生产商之间的博弈。
每一个厂商可以生产要么大型车，要么小型车，但不可同时生产两种型号的车。
即，对于每一个厂商i,i=c,f，g，
他的行动集合为Al=[SM,LG>用：
・i代表i所选择的行动，「A1,二1「c,J代表厂商
i的利润。
假设，每个厂商的利润函数定义如下：
*三？
，如果aj=LG，j=c,f，g；
，如果:
j=SM，j=c,f，g；
a，如果&=LG，且aj=SM，jHi；
:
-，如果=SM，且「=LG，j-i；
1,如果=:
-j=LG，且：
-k=SM，j=k=i；
3，如果=：
■j=SM，且：
・k=LG,j=k=i；
（1）当:
>0时，是否存在纳什均衡？
请证明。
（2）当：
••■-0时，是否存在纳什均衡？
请证明。
证明：
该博弈的支付矩阵如表10-6和10-7所示。
表10-6G汽车厂生产SM型汽车
一
C洱车厂
SM
LG
F汽乍厂
0,恥
表10-7G汽车厂生产LG型的汽车
£汽车厂
SM
LG
FS：
厂
□屛0
LG
卩圧,0
7，Y，T
（1）该博弈存在纳什均衡。
首先考虑三家选择的行动相同，那么任一个厂家都将得到数量为的利润。
因为爲=?
叮#，所以任何厂商只要选择和其他两个工厂生产不同型号的产品，就可以获得更高的利润，所以三家工厂生产相同的产品不是纳什均衡。
如果三个工厂生
产不同的产品，比如说：
.c,]=[SM,LG,SM，因为：
£>『■>',所以C厂已经获得了它
可能获得的最高利润，因此它不会背叛；给定其他厂商的选择，F厂生产LG型号的汽车只
能获得数量为1的利润，高于它生产SM型号的汽车获得的数量为的利润，所以F厂也不
会背叛；给定其他厂商的选择，G厂在生产两种型号的汽车之间是没有差异的，因为无论那
种情况下，他都只能获得数量为1的利润，所以G厂同样不会背叛。
综上可知：
二:
」，：
丿]：
[SM,LG,SM是一个纳什均衡。
类似的分析表明，只要三个工厂
生产不同的产品，就是纳什均衡。
（2）只要三个工厂生产的汽车型号不完全相同，这样的结果就是纳什均衡。
分析类似于第
（1）问。
9.考虑下列策略型博弈（表10-8）:
表10-8博弈的支付矩阵
B
L
M
R
A
U
h-2
0,0
0,0
D
0,0
请问，该博弈里有几个均衡？
为什么？
答：
（1）该博弈的纯策略均衡为（D,R）。
（2）下面分析混合策略均衡。
设参与人A分别选择策略U、M和D的概率为Cp,p2,P3?
；设参与人B分别选择策略L、M和R的概率为:
q,q2,q3?
;下面分三种情况讨论：
1达到混合均衡时，如果参与人A分别选择策略U、M和D的概率都严格大于零，那
么他选择策略U、M和D的期望收益就要相等，即：
q-2q2--2q-q^q3
从而解得q=73，矛盾，所以对参与人B而言，不存在使得q,q?
口3同时大于
零的混合均衡；对参与人A也有类似的结论成立。
2尽管如此，以上的分析并不能说明不存在混合均衡。
因为达到均衡时，有可能存在参
与人选择某一行动的概率为零的可能。
对A而言，在U、M、D三个行动中选择某一行动
的概率等于零的情况共有三种可能。
对B也是一样，这样均衡时共有九种可能的情况，下面
分别讨论：
a.A选择行动D的概率为零，B选择行动R的概率为零，即p3二q3=0，从而得到如表10-9所示的支付矩阵：
表10-9博弈的支付矩阵
[i
L
A
U
1,-3
-2,1
M
-2J
达到均衡时，A选择M和U应当得到相同的期望支付，即q_2q2--25•q2,整理得到
qi以2；又因为q3=0，所以q72。
从而解得q=q2=0.5;同理可得P1=P2=0.5。
所
以◎=0.5口2=0.5,%=0”'和:
p=0.5,p=0.5,p=0』就是一个混合均衡。
b.A选择行动D的概率为零,在这种情况下，不存在混合均衡。
c.A选择行动D的概率为零,在这种情况下，不存在混合均衡。
d.A选择行动M的概率为零,在这种情况下，不存在混合均衡。
e.A选择行动M的概率为零,在这种情况下，不存在混合均衡。
f.A选择行动M的概率为零,在这种情况下，不存在混合均衡。
g.A选择行动U的概率为零,在这种情况下，不存在混合均衡。
h.A选择行动U的概率为零,在这种情况下，不存在混合均衡。
i.A选择行动U的概率为零,在这种情况下，不存在混合均衡。
B选择行动M的概率为零，采用类似于①的做法可知,B选择行动L的概率为零，采用类似于①的做法可知,B选择行动R的概率为零，采用类似于①的做法可知,B选择行动M的概率为零，采用类似于①的做法可知,B选择行动L的概率为零，采用类似于①的做法可知,B选择行动R的概率为零，采用类似于①的做法可知,B选择行动M的概率为零，采用类似于①的做法可知,B选择行动L的概率为零，采用类似于①的做法可知,
综合上述分析可知，唯一的混合均衡就是：
；d」O5,0.5,0?
，二b」05,0.5,0?
。
3均衡时，如果A选择某两个行动的概率都等于零，即A只能选择一个行动。
这就要求
在B的行动中，至少有一对行动可以给自己带来相同的支付，但是由支付矩阵可知，这一条
件并不满足，这样均衡时，B也只能选择一个行动，这就退化成了纯策略均衡。
所以A选择
某两个行动的概率都等于零的混合均衡是不存在的；同理B选择某两个行动的概率都等于零
的混合均衡也是不存在的。
综合上述分析可知，该博弈只有唯一的混和均衡，即：
©=0.5,q2=0.5,q3=0/和g=0.5,p2=0.5,p3=0』
10.考虑如表10-10和10-11所示的策略型博弈
表10-10参与人3选择A时的支付矩阵
2
L
R
1
o,ojo
-気-5,0
D
-5,-5,0
ltL-5
表10-11参与人3选择B时的支付矩阵
-
2
L
R
1
U
-2,0
-5,-5,0
1
D
-5.-5,0
-1P-1,5
每一格左边的数字是游戏者1的得益，中间的数字为游戏者2的得益，右边的数字为
游戏者3的得益。
游戏者3的策略是选A矩阵或选B矩阵。
（1）上述博弈中有几个纯策略纳什均衡？
为什么？
（2）如果三个游戏者中可以有两个人结盟共同对付另一个人，会出现什么结果？
解：
（1）上述博弈中有两个纯策略纳什均衡。
它们分别为（U,L，A）和（D，R，B）。
对任意的参与人，给定其他两个参与者的行动，他的占优行动用下划线表示出来，由此可以得到这两个纯策略纳什均衡。
（2）若三人中有两人结盟，则不外乎下面三种情况：
1参与人1和2结盟，支付矩阵如表10-12所示，该博弈的均衡是（DR，B）。
表10-12参与人1和2结盟后博弈的支付矩阵
齧与人孑
A
B
hl
0,10
亠4』
结酬方
-10,0
-iDta
DL
-10,0
-10,0
DR
-吊
2参与人1和3结盟，支付矩阵如表10-13所示，该博弈的均衡是（UA，L）和（DB，
R）。
表10-13参与人1和3结盟后博弈的支付矩阵
参与人2
L
R
UA
10,0
—51—5
DA
-4,1
-5,-5
DB
-5,-5
4,-1
3参与人2和3结盟，支付矩阵如表10-14所示，该博弈的均衡是（LA，U）和（RB，
D）。
表10-14参与人2和3结盟后博弈的支付矩阵
釦"人1
V
D
LA
R4
-5p-5
丨，-4
LB
-2,-2\
—5,-5
-5,
-1严
若参与人1和2结盟，博弈的结果只能是（D,R,B）。
由于结果（U,L,A）对应的支付对每个人而言都优于（D,R,B）对应的支付，所以不结盟至少可以使每个人
的境况和参与人1，2结盟时一样好，所以不结盟相对参与人1和2而言反而更优。
若参与人1和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。
若参与人2和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。
综合上述分析可知，在这个博弈中，任何两方都不会有结盟的动机。
11.在表10-15所示的策略型博弈里，什么是占优解？
什么是纯策略纳什（Nash）均
衡解？
表10-15博弈的支付矩阵
L
R
游戏者1
T
却
1J
4,2
1,2
D
1,3
0,2
3,0
解：
（1）这个博弈没有占优均衡。
理由如下：
在这个问题中，对于游戏者1而言，T占
优于D，因此可以将D排除掉。
此时博弈的支付矩阵如表10-16所示。
当游戏者1的可选
策略只有T和M时，对游戏者2而言，R占优于M，因此可以把M排除掉，此时博弈的支付矩阵如表10-17所示。
至此，用剔除法寻找占优均衡的方法无法继续进行，所以这个博弈
没有占优均衡。
表10-16排除掉D以后的支付矩阵
游悄E2
L
R
游戏者1
T
2,0
1,1
If
矢4
1恳
2,3
表10-17排除掉M以后的支付矩阵
酢戏者2
L
R
游戏幷1
T
4显
3,4
2,3
（2）纯策略纳什均衡为（M,L）,（T,R）。
由表10-17可知，当游戏者2选择L时,游戏者1的最优策略为M，当游戏者2选择R时，游戏者1的最优策略是T。
同样，当游戏者1选择T时，游戏者2的最优策略是R，当游戏者1选择M时，游戏者2的最优策略
为L。
因此，纯策略纳什均衡为（M,L）,（T,R）,此时游戏者得到的支付为（3,4）,（4，2）。
12.判断对错，并简要说明理由。
（1）占优均衡一定是纳什均衡。
（2）在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么两个人都会抵赖。
（3）—个将军有两个纯策略，要么把所有的部队从陆地运输，要么把所有的部队从海洋上运输。
那么把1/4的部队从陆地运输，把其余3/4的部队从海洋运输构成一个混合策略。
答：
（1）正确。
理由如下：
如果在博弈中，每个参与人都有自己的占优策略，这就意味着对任何一个参与人而言，无论其他参与人的策略如何，该参与人的占优策略对他而言都是最优的，特别地，当其他的参与人也选择自己的占优策略时，该参与人的占优策略对他还是
最优的，根据纳什均衡的定义，可知占优均衡一定是纳什均衡。
（2）错误。
理由如下：
在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那
么对每个囚犯而言，坦白将是他的最优选择。
如果两个囚犯都这样考虑，那么均衡的结果就
是两个人都坦白。
（3）
13.一个小镇中，有（可以为零）而共收集到集资被分配时，每人获得
错误。
因为混合策略是在纯策略集合上确定的一个概率分布，而在本题中，将军分割军队的决定事实上是扩大了纯策略的集合，即将军的决定仍然是一个纯策略。
N个人，每人有100元钱，如果每人都向一个集资箱中捐一笔钱F元，那么从一个基金中拿出相同数量的钱放入集资箱，最后当2F/N元，求解这一博弈的均衡。
解：
假设参与人i的捐款为F，，他的收益为T，又记F丄-F-F，，那么给定F丄二F，参与人i的收益为:
2—丄.^2^-2—^
宀評+F卞jf+贰
（1）当
1N2时,
（2）当
【N=2时,
益，从而f，
可0,；。
（3）当
【N=1时，
特别地,
二‘是Fi的线性函数，所以：
2
--1：
：
：
0,所以参与人i的最优选择是Fi=0。
N
2
N^=0，所以无论参与人的捐款数量为多少，都不会影响他的收
F=0,i=1,2,…，N;
l^>0，这时参与人的捐款数量会趋向于正无穷，即FiTS由于所有行动者的行为相同，所以当N2时，纳什均衡为
当N=2时，纳什均衡为Fi“0,匚，i=1,2;
但他们如此兴奋以至于
“夕阳”和“海湾”，并且
当N=1时，纳什均衡为Fi:
:
14.Frank和Nancy约定下一周的某一天在小镇的咖啡厅见面,
忘记了在哪一个咖啡厅约会，所幸的是小镇上只有两个咖啡厅,
他们知道彼此的偏好。
事实上，如果二人都去了“夕阳”，Frank的效用是3而Nancy的效
用是2,如果二人都去了“海湾”，Frank的效用是2而N
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