于是θ=Argz=argz+2kπ（k=0,±1,±2,…）
注意当z=0时，辐角无意义。
例1．X的二次方程x2+z1x+z2x+m=0中，z1,z2,m均是复数，且z12-4z2=16+20i设这个方程的两个根a,b满足|a-b|=2
，求|m|的最大值和最小值。
解析：
由韦达定理有
a+b=-z1
ab=z2+m
因（a-b）2=（a+b）2-4ab=z12-4z2-4m,所以|（a-b）2|=|4m-（z12-4z2）|=28，
|m-（4+5i）|=7.
即复数m在以A（4，5）为圆心，以7为半径的圆周上，因|OA|=
=
<7,故原点O在上述圆内，连结OA，延长交上述圆于B，延长AO交上述圆于C点，则|OB|=
|OA|+|AB|=
+7为|m|的最大值，|OC|=|CO|-|AO|=7-
为|m|的最小值。
例2．已知复数|z-2-2i|=
满足，求z的模与辐角主值的范围。
分析：
由于|z-2-2i|=|z-（2+2i）|有明显的几何意义，表示复数z对应点到复数2+2i对应点之间的距离，因此满足|z-（2+2i）|=
的复数对应点在以（2，2）为圆心，半径为
的圆上，而|z|表示复数z对应的点z到原点O的距离，显然，当点z，圆心C，点O三点共线时，|z|取得最值，|z|min=
|z|max=3
所以|z|的取值范围为[
3
]
同理，当点z在圆上运动变化时，当且仅当直线y=kx与该圆相切时，在切点的辐角主值，利用直线与圆相切，计算，得k=2±
即tga=2±
所以arctg（2-
）≤argz≤arctg（2+
）
即argz的取值范围是[arctg（2-
）,arctg（2+
）
例3．若复数满足|z+i|+|z-i|=2,则|z+i+1|的最小值是（）
A1B2C3D4
对此题分析可知由于|z+i|和|z-i|分别表示复数z在复平面上的对应点到i和-i的距离，且有|z+i|+|z+i|=2,所以表示复数z的点集合是虚轴上点i到-i之间的线段（含端点）。
另外，|z+i+1|=|z-（-i-1）|为复数z在复平面上的对应点（-1，-i）的距离，由图可以看到，当z=-i时，|z+i+1|的最小值是1，所以选A。
此题的常规解法是根据已知条件，寻求变量x和y的关系，转化为一元函数，按照要求二次函数的最值的解法。
这个解法虽然有可遵循的操作程序，但对解题过程中出现的问题难以预料，对可能发生的疏漏不易察觉，且解题过程长。
而用数形结合的方法，则过通过图形直接揭示出问题的本质面貌，只要思考正确，形象清晰，往往很快就能看出问题的结果。
2.1多维空间画法几何
多维空间画法几何是三维空间画法几何的扩张与发展。
十九世纪四十年代，一些数学家与工程技术学家开始对此进行研究。
而多于三个尺度的空间的第一个概念却早在杰出的数学家LagrangeJ（1763-1813）的著作中出现。
他研究了这样的空间：
该空间的质点位置特点是有四个坐标—空间直角坐标x,y,z和时间坐标t，后来又有一些著述论述了关于n维空间的几何性质。
但在这些著述中仅有抽象的论述而无几何形体存在n维空间的图示表示。
伟大的数学家Hilbert（1862-1943）亦曾指出：
“长期以来，几何学中仅仅研究度量关系。
如把一平面图形从一点投影到另一面上去，距离和角度即有所变更，甚至平行线可能变为非平行线，然而，图形的某些性质必仍未改变，否则我们就不会认为投影图是原图的真正表象了。
而这一类问题，只有对透视画法的原理进行了科学的研究之后，才能提出来。
”
事实上，多维空间画法几何方法的实际意义在于能够给出三个变量以上的函数关系的直观几何图形，从而可以解决数学以及科学技能领域中所涉及的多参数问题，能形象地认识数学的变化多端与数学思维的丰富多彩。
显然，多维空间画法几何的中心任务是如何是高维空间几何对象表现在低维空间，从而能具有一定的实用性，以解决数学领域及科学领域中所需解决的问题。
这一艰难任务，前人做了大量的工作，但都属于抽象的或局部的。
在二十世纪后半叶，情况才有新的变化。
目前在这方面工作做的较好的有美国的ErnestoC,LingdrenS,Steve,StabyM与前苏联弗里波夫等，从他们近年来的著作中可以看到，他们全面地阐述了多维空间的线性形象与某些非线性形象的图示问题，为直观地形象地研究多参数数学与科技问题提供了新的条件。
2.2四维空间画法几何
根据投影原理，给出四维空间直角坐标系O-xyzt。
此系统由四个互相垂直坐标轴Ox、Oy、Oz、Ot，六个互相垂直的坐标平面xy,xz,yz,yt,xt,zt与四个互相垂直的坐标超平面xyz、xyt、xzt、yzt组成。
现将四维空间的某一点A引入O-xyz系统，将坐标超平面xyz当作超投影面，并将O-xyz及点A一起垂直投影到这个超投影面上。
轴Ox、Oy、Oz的象是其本身，而轴Ot被投射成一个点O，因投射方向S1垂直于超平面xyz，所以它与Ot轴平行。
点A在超平面xyz上的投影A1是垂直于xyz的直线S1A与该超平面相交的交点。
在超平面xyz上作点A的第二次投影A2时，选择的投影方向S2应使点A到超平面xyz的距离在此超平面上的投影不发生变形，并使轴Ot上的点投射成轴Oy上的点。
在此方向下，轴Ot与轴Oy被投射成一条直线，而连接投影A2、A1的直线与轴Ot平行。
则四维空间的一点A，在上述空间的位置，由正交平行投影在超平面xyz上所得的两个投影A1、A2唯一确定。
因此，四维空间的任一点在正投影图中可由其水平投影，水平矢量投影与正面投影给定。
2.3在复变函数中的应用
复变函数是函数论的一个重要分支。
在未创立多维空间画法几何时，图示复变函数的唯一可能性是利用映射的方法，即将自变量xy的平面点集映射成因变量uv的点集。
这样，复变函数的表示变为平面点集的映射表示。
其所实现的复变函数的映射，在这类函数的理论及其应用中占有较重要的位置。
在多值函数的情况下，这样的映射将形成多叶的黎曼曲面。
然而，其所实现的这样或那样的复变函数的映射，只能表示出个别平面内的每一变量的变化性质，但不能显示出它们之间的直接联系。
即映射法不能直观地整体地表示出复变函数的变化性质。
因而，不能达到了解这种函数的全面的几何性质。
我们以多维空间画法几何方法为基础，采用具有模曲面法特性的图解表示复变函数的方法，依据这种方法由电子计算机迅速模拟出来的函数的网状诺谟图，却可以直观的表示出复变函数的变量的几何性质、且借助图解手段，可确定函数的实部与虚部以及模与辐角。
设有积分∫
（1）
以z=sinβ代入，则
（1）式化为
∫
（2）
值k为积分的模，上限β为积分的辐角。
对于
（2），用符号F（β，k）表示，并用k表示积分
∫
（3）
当积分
（2）的辐角主值是复数β=β1+iβ2时，其上限为一复变函数。
用符号Δ（β，k）表示根式
因此，积分
（2）的被积函数可表示为W=
。
被积函数W为双值的复变函数，在函数中划分出实部U与虚部iV。
通过计算、整理，得
根据多维空间画法几何方法由电子计算机作出的图4的正轴侧投影图中，当式（4）的根式取正号时则表示被积函数的所有第一分支的曲面；且也显示出函数的第二分支曲面的某些部分。
这里采用模k=0.8在-π≤β1≤π内作出，由于周期性，所作之画面将重新演映。
在图4之δ上，表示函数
的黎曼曲面。
通过分支点P1、P2、P3、P4的剖面平行于虚轴。
在图4中清晰地显示出：
所考察的函数在各分支点处转化为无穷大。
函数
的特征有下列奇点：
当β1=
及iβ2>iach（
）时，函数的实部有虚值。
事实上，当β1=
时，函数的实部为
U=±
（6）
而虚部为iV=0.当β2>arch（
）时，k2ch2β2>1,（6）式中根式为负值，故其平方根为虚值。
因而，若在轴Oβ1上取一点A1，使其沿该轴的坐标等于
，且使此点在复平面β1β2上沿与轴Oβ2平行的直线A1P1移动，则点的这种移动将与函数的第一分支的实部U沿曲线A12P12的变化相对应。
此时，函数的虚部为零，在点P1处，函数的实部变为无穷大，复平面的截面在该点之后开始（如图4之δ）。
在由点P1起沿着与轴O平行的直线截切的截面上，A1点的移动只对应于沿曲线P2A2变化的函数的第一分支的虚值。
在点的上述移动中，函数
的第二分支的实部与虚部值相应的沿曲线A12P12和P12A2变化，它们与曲线A12P12及P2A2对复变平面β1β2成对称。
因为，过分支点P1沿着与虚轴平行的直线移动的特性是函数的实部转为虚部，这种特性也是其余各点P2、P3、P4的特性。
这样，采用多维空间画法几何方法表示复变函数能清晰地观察出这些函数积分的几何性质。
因而，使直观地表示每一函数关系的几何性质与直接地依据所作出的几何图形以判明它的一系列内在性质成为可能；这就是应用多维空间画法几何方法研究函数的新颖的而又非常重要的方法。
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