测控901西部耕地水资源优化配置问题.docx

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测控901西部耕地水资源优化配置问题

西部耕地水资源优化配置问题

摘要

本文运用线性规划解决水利经济效益的资源优化配置问题。

问题1中需要确定是否修建水库以及计算最大收益。

我们运用线性规划，建立约束条件，分别计算了修建水库和不修建水库的最大收益，比较后确定不修建水库可以得到更大的经济收益，并计算出将82000亩第Ⅱ类耕地改造为第Ⅰ类耕地，开垦35000亩荒地改造为第Ⅰ类耕地，此时该地区收益最大为7696000元，并为国家投资节省了3860000元。

问题2中对修理主河道与否为出发点挖掘了相应的约束条件，并考虑了资本回收因子对最大净收益的影响，建立了相应的模型，计算得出修主河道时的经济总收益始终比不修时大的结论。

收益3656250元，将58300亩第一类土地改为第二类土地，将1700亩第一类土地改为第三类土地，将11700亩土地改为第四类土地，用掉国家资金697万元。

问题3的模型建立沿用问题一、二中的一般方法，目标函数为每年收益与等额分付偿还金额之差，综合多个流域耗电量，农作物产量，政府可筹集资产，土地资源和供水量等因素的限制建立线性规划模型。

一．问题重述

在我国西北部某些干旱地区，水资源量不足是发展农牧业生产的主要限制因素之一。

紧密配合国家西部大开发和新农村建设的方针政策，合理利用水资源，加强农田水利工程建设，加速西部农牧业发展，这是当地政府的一个重要任务。

在水利工程建设中，如何合理规划，发挥最大的水利经济效益，是值得研究的一个问题。

现有问题如下：

问题1：

某地区现有耕地可分为两种类型，第Ⅰ类耕地各种水利设施配套，土地平整，排灌便利；第Ⅱ类耕地则未具备以上条件。

其中第Ⅰ类耕地有2.5万亩，第Ⅱ类耕地有8.2万亩，此外尚有宜垦荒地3.5万亩。

该地区主要作物是小麦，完全靠地表水进行灌溉。

由于地表水的供应量随季节波动，在小麦扬花需水时恰逢枯水季节，往往由于缺水使一部分麦田无法灌溉，影响产量。

而且由于第Ⅱ类耕地条件差，土地不平整，所以灌溉定额高，浪费水量比较大，并且产量还不及第Ⅰ类耕地高。

进一步合理利用水资源的措施有二：

其一是进行农田建设，把一部分第Ⅱ类耕地改造成为第Ⅰ类耕地，以节约用水，提高单产；其二是修建一座水库，闲水期蓄水，到小麦扬花需水的枯水期放水，从而调节全年不用季节的水量。

目前该地区在整个小麦生长期的地表水资源可利用量为96.5百万方，其中小麦扬花需水季节可供水量为7.5百万方。

水库建成后在小麦扬花需水季节可多供水量为6.5百万方。

修建水库需要投资5.5百万元，将第Ⅱ类耕地改造为第Ⅰ类耕地每亩需要投资20元，将荒地开垦为第Ⅱ类耕地每亩需要投资85元，将荒地直接开垦为第Ⅰ类耕地每亩需要投资100元。

规划期内，计划总投资额为9百万元。

该地区对小麦的需求量及国家征购指标共计2万吨，超额向国家交售商品粮每吨可加价100元。

各种条件下水的灌溉额及净收益情况如下表1：

表1：

规划年各种条件下的灌溉定额及净收益

类别

全生长期浇水量

（百方/亩）

扬花时浇水量

（百方/亩）

单产

（吨/亩）

净产值

（百元/亩）

扬花时浇水的第Ⅰ类耕

7.5

1.4

0.25

0.52

扬花时不浇水的第Ⅰ类耕

6.1

0.0

0.2

0.43

扬花时浇水的第Ⅱ类耕

9.0

1.65

0.23

0.47

扬花时不浇水的第Ⅱ类耕

7.35

0.0

0.185

0.39

为了充分利用水资源，发挥最大的经济效益，规划期内应该将多少亩第Ⅱ类耕地改造为第Ⅰ类耕，应该开垦多少亩荒地，水库有没有必要修建。

问题2：

另一地区现有4种类型土地，其基本情况如表2所示。

表2：

某地区现有土地基本情况

土地类型

农田工程条件

现有面积

（万亩）

单产

（万吨/万亩）

生产耗电

（百万度/万亩）

净产值

（百万元/万亩）

Ⅰ

无抗旱，无排涝

6．0

0．075

0．0

1．5

Ⅱ

无抗旱，有排涝

2．5

0．1

0．15

2．0

Ⅲ

有抗旱，无排涝

1．0

0．09

0．2

1．8

Ⅳ

有抗旱，有排涝

0．5

0．125

0．25

2．5

地方政府新农村建设项目中计划兴建抗旱排涝设施。

兴建抗旱设施每万亩需投资100万元，若再建排涝设施则必须先治理该流域的主河道，主河道治理投资需300万元。

主河道治理后可再使4.5万亩土地能够搞排涝工程，每万亩需投资50万元。

地方政府在规划期内可筹集资金1000万元，国家对该地区每年可供农业用电2.5百万度，当地对粮食需求量及国家征购任务总计为0.8万吨，超额生产粮食向国家交售每吨可加价100元。

地方政府应该如何确立农田基本建设规划，使该地区到规划期内净产值最大（资本回收因子取0.1）。

问题3：

上述关于地区农田基本建设问题的描述，对实际情况而言是过分简化了的。

实际情况下，一个地区可能有几个流域，有若干条主河道需要治理，并且其土地类型也可能有若干类别，农田水利条件又可分为若干等级，所种植的作物也不会只有一种，植物不同生长期对水的需求量也各不相同。

考虑到这些因素，进一步扩展建模的思路及模型。

二．问题假设

1.规划期内每年可利用水量始终恒定。

2.不考虑自然灾害对作物单产的影响。

3.排除经济震荡因素对净产值的影响。

4.年利率L由计算得出，并有实际意义。

5.问题二考虑工程寿命n。

6.根据河道流域把该地区划分为n个子区域，，每个区域内有一个河道。

7.根据土地类型把土地分为l类，包括高地，平原，洼地。

8.根据地的可耕作和水利情况分为五类，即荒地，无抗旱无排涝耕地，有抗旱无排涝耕地，无抗旱有排涝耕地，有抗旱有排涝耕地。

9.农作物分为k类,各种农作物的不同时期对于水的需求量不同。

我们只考虑在农作物最需要水的那个时期能满足它的需水要求。

10.根据地的可耕作和水利情况改造时，从第j种改造到第j+2种地所需要的费用和先从第j种改造到第j+1种再从j+1种第改造到第j+2种所需要的费用相同。

所以我们在改造土地时只考虑向高一个等级的地改造，不考虑向高2个以上的等级的地改造。

11.资本回收因子为常数0.1。

三．问题分析

对于第一题，我们直接以耕地的收益为目标函数，在投资额、可利用水量、国家征购指标等方面受到限制。

通过改造第Ⅱ类土地，开发荒地及合理分配扬花期浇水的各类土地的亩数以达到最佳收益。

水库的修建与否，可用一个0-1变量进行控制，0表示不修建水库，1表示修建水库，分两种情况进行计算和比较，得到最优选择。

对于第二题，与第一题同样的方法，以耕地收益为目标函数，在投资额、可利用水量、耗电量、国家征购指标等方面受到限制，以此建立线性规划模型。

是否对河道进行治理，同样可用一个0-1变量进行控制，0表示不对河道进行治理，1表示治理河道，通过比较两种情况的各自最优解，来确定是否治理河道。

对于问题三，沿袭前两题的方法，耕地收益为目标函数，此问题较前两问更接近于实际，考虑多个流域的耗电量、农作物种类、农田工程条件、政府可筹集资产、土地资源和供水量的限制，建立较为全面通用的模型，至于是否修建工程可以用0—1变量来表示。

四．符号说明

s

全年经济总收益

q

全年经济总的净产值

w

改造以后耕地的总产量

d

改造完成后国家还剩余的资金

u

是否修水库

fi

改造后第i类扬花时浇水的耕地亩数

gi

改造后第i类耕地扬花时不浇水的耕地亩数

tij

将第i类耕地改造为第j类耕地的亩数（i>j）

i

下标

j

下标

N

主河道条数

n

规划期年数

v

改造后经济总产量

e

资本回收因子

xi

改造后第i类土地亩数

cij

将第i类耕地改造为第j类耕地的亩数（i

k

农作物序数

m

农作物总数数

l

土地类型

atijk

第k种农作物的单产，其中t代表子区域，i代表土地类型，j代表地的水利和可耕作情况

btijk

第k种农作物的耗电量，其中t代表子区域，i代表土地类型，j代表地的水利和可耕作情况

ctijk

第k种农作物的净产量，其中t代表子区域，i代表土地类型，j代表地的水利和可耕作情况

dtijk

第k种农作物在全生长期内的需水量，其中t代表子区域，i代表土地类型，j代表地的水利和可耕作情况

htijk

第k种农作物的在最需要水的时期的需水量，其中t代表子区域，i代表土地类型，j代表地的水利和可耕作情况

mtijk

第k种农作物的单产，其中t代表子区域，i代表土地类型，j代表地的水利和可耕作情况

yt

0-1变量。

表示第t个子区域内是否该治理河道。

0表示不该治理，1表示该治理

wti1

第t个子区域第i种类型的土地从荒地改造成无抗旱无排涝耕地的面积

wti2

第t个子区域第i种类型的土地从无抗旱无排涝耕地改造成有抗旱无排涝耕地的面积

wti3

第t个子区域第i种类型的土地从无抗旱无排涝耕地改造成无抗旱有排涝耕地的面积

wti4

第t个子区域第i种类型的土地从无抗旱有排涝耕地改造成有抗旱有排涝耕地的面积

wti5

第t个子区域第i种类型的土地从有抗旱无排涝耕地改造成有抗旱有排涝耕地的面积

sti1

第t个子区域第i种类型的土地从荒地改造成无抗旱无排涝耕地的费用

sti2

第t个子区域:

第i种类型的土地从无抗旱无排涝改造成有抗旱无排涝耕地的费用

sti3

第t个子区域第i种类型的土地从无抗旱无排涝改造成无抗旱有排涝耕地的费用

sti4

第t个子区域第i种类型的土地从无抗旱有排涝改造成有抗旱有排涝耕地的费用

sti5

第t个子区域第i种类型的土地从有抗旱无排涝改造成有抗旱有排涝耕地的费用

pk

第k种农作物当地的需求量及国家征购任务

qk

第k种农作物超额生产向国家交售每吨可加的价格

Ltij

未规划前的第t个子区域第i种地形第j种水利工程情况的耕地的面积

b0

该地区的年可供农业用电

v

该地方政府在规划期内可筹集资金的上限

dt

第t个子区域内供水的上限

ukt

第t个子区域第k种农作物在最需要水的时期的供水量

G

粮食需求和国家征购粮食总和

A

多余粮食单价

五．模型建立与求解

【问题一】分析规划中需要改造的各个因素和相互关系，建立了水利经济效益的资源优化配置的模型[1-2]。

确定规划后的经济效益为该地区最大净收益即目标函数s=（w-20000）*100+q，当s取最大值求得国家剩余的资金d=9*106-20t21-85t32-100t31-5.5*106u。

在该目标条件下，通过对问题的分析发现各种类型的田地改造及是否修水库时，需要满足以下七项约束条件st：

7.5*f1+6.1*g1+9*f2+7.35*g2≤9.65*105总水量限制

1.4*f1+1.65*f2-6.5*104*u≤7.5*104扬花时节的水量限制

20*t21+85*t32+100*t31+5.5*106*u≤9.0*106总投资限制

t31+t32≤3.5*104能开垦的总荒地面积限制

t32-t21+8.2*104≥0第二类耕地总面积的限制

f1+g1=t21+t31+2.5*104第一类耕地总面积限制

f2+g2=t32-t21+8.2*104第二类耕地总面积限制

f1*0.25+g1*0.2+f2*0.23+g2*0.185=w耕地总产量

f1*52+g1*43+f2*47+g2*39=q总的净产值

注：

以上第1类耕地表示第I类耕地，第2类耕地表示第II类耕地，第3类耕地表示宜垦荒地。

u为1时代表建水库，为0则不建水库。

水的单位：

百方；耕地单位：

亩；钱的单位：

元。

由于u只有1和0两种取值，我们便分成两种情况，利用lingo软件编程，求出最优解。

（1）当u=1（修水库）求模型结果：

表3修建水库的最优解

变量

f1

g1

f2

g2

t31

t32

t21

最优解

100000

6542.51

0

23821.86

23364.37

0

58178.14

Max:

s=7481935,此时，d=0，国家资金全部用完；

（2）当u=0（不休建水库）求模型结果：

表4不修建水库的最优解

变量

f1

g1

f2

g2

t31

t32

t21

最优解

53571.43

88428.57

0

0

35000

0

82000

Max:

s=7696000,此时，d=3860000。

国家资金还有剩余。

终上所述，不修建水库经济效益更大且国家资金还有386万元剩余，所以从经济效益角度来讲，选择不修建水库更好。

故规划期内将3.5万亩荒地开垦成第一类耕地，将8.2万亩第二类耕地改造为第一类耕地，不修建水库。

【问题二】

（1）在问题2中,分析了需要改造的各个因素和相互关系,建立了耕地改造的优化模型.改造后的总产值q为q=150x1+200x2+180x3+250x4;改造以后耕地的总产量w=0.075x1+0.1x2+0.09x3+0.125x4（修主河道后x1=6-c14-c13-c12,x2=2.5-c24+c12,x3=1-c34+c13,x4=0.5+c14+c24+c34）当改造完成后,目标函数确定为该地区每年最大净收益s=（w-8000）*100+q

（2）等额偿还资金：

根据经济学知识，现值ε在回收期限为n年，年利率为L情况下，其资金回收因素有如下公式：

e=L*n（1+L）n/（（1+L）n-1），类似的，对于对应的抗旱设施及主河道治理，以上公式也成立[3]。

（3）通过计算耗电量，得出理论上最大耗电量等于能够提供的电量限制，即列约束方程时可以不讨论耗电量限制。

考虑到改造水资源得到了充分利用，在符合假设的前提下，得到该问题的目标函数为：

Max：

s=（w-8000）*100+q，在该目标条件下，通过对问题的分析我们发现各种类型的田地改造及是否修建主河道可以分为以下两种情况：

（1）只采取抗旱措施而不考虑修建河道及排涝工程；

（2）抗旱、排涝、修建主河道都加以考虑。

（1）当抗旱、排涝、修建主河道都加以考虑时，所需约束条件如下：

Max：

s=（w-8000）*100+q

n*e*[100*（c13+c24+c14）+50*（c12+c34+c14）+3*106]<107总资金限制（需要还的资金*因子*年数=总资金）

0.075*x1+0.1*x2+0.09*x3+0.125*x4>8000产量最小值限制

c12+c34+c14<45000能搞洪涝的土地亩数限制

60000-c14-c13-c12>0第一类土地总面积限制

25000+c12-c24>0第二类土地总面积限制

10000+c13-c34>0第三类土地总面积限制

注：

耕地单位：

亩；钱的单位：

元

在lindo中输入程序求解，当033时，max（s）无解，所以n只能为大于9小于34的整数，即9

表5考虑抗旱、排涝、修河道时最优解下的最大值

n

Max（s）

L

n*r

10

327250

0

3272500

11

304477

1.62E-02

3349250

12

285500

2.92E-02

3426000

13

269442

3.98E-02

3502750

14

255678

4.84E-02

3579500

15

243750

5.56E-02

3656250

16

227050

6.15E-02

3632800

17

208630

6.66E-02

3546725

18

192258

7.08E-02

3460649

19

177609

7.44E-02

3374575

20

164425

7.75E-02

3288500

21

152496

8.02E-02

3202424

22

141652

8.25E-02

3116351

23

131751

8.45E-02

3030275

24

122675

8.65E-02

2944200

25

114325

8.78E-02

2858125

26

106617

8.91E-02

2772050

27

99480

9.03E-02

2685975

28

92853

9.14E-02

2599900

29

85647

9.23E-02

2483765

30

77585

9.31E-02

2327500

31

70043

9.38E-02

2171335

32

62972

9.44E-02

2015120

33

56330

9.50E-02

1858905

为了便于观察和取值，我们画出工程寿命期内所得所有经济效益与规划期的年数的折线图，由图一可知n=15时，n*r=3656250最大。

将58300亩第一类土地改为第二类土地，将1700亩第一类土地改为第三类土地，将11700亩土地改为第四类土地，用掉国家资金697万元。

图一考虑抗旱、排涝、修建河道的n年经济收益图

（2）当只采取抗旱措施而不考虑修建河道及排涝工程时：

目标函数Max：

s=（w-8000）*100+q

约束：

n*e*100*（c13+c24）<107总资金限制（需要还的资金*因子*年数=总资金）

0.075*x1+0.1*x2+0.09*x3+0.125*x4>8000产量最小值限制

60000-c13>0第一类土地面积限制

25000-c24>0第二类土地面积限制

注：

耕地单位：

亩；钱的单位：

元

用lindo软件求解，当033时，max（s）无解，所以n只能为大于9小于34的整数，即9

表6只考虑抗旱最优解下的最大值

n（工程寿命）

Max（s）

n*r

10

146890

1468900

11

146890

1615790

12

146890

1762680

13

146890

1909570

14

141522

1981309

15

134365

2015475

16

128102

2049640

17

122576

2083806

18

117665

2117970

19

110897

2107045

20

104305

2086100

21

98340

2065155

22

92918

2044210

23

87968

2023265

24

83430

2002320

25

79255

1981375

26

75401

1960430

27

71832

1939485

28

68519

1918540

29

65434

1897595

30

62555

1876650

31

59861

1855705

32

57336

1834760

33

54964

1813815

上表中的n与n*r的变化趋势如图二表示：

图二只考虑抗旱的n年经济收益图

由图可知，n=18时工程寿命期内所得所有经济收益最大。

此时Max（r）=117665，n*r=2117970，使该地区带规划期内净产值最大为2117970，但与修主河道时相比，如图三：

图三是否修河道的经济收益对比图

由上图可知，修主河道时的经济总收益始终比不修时的大，故我们选用当抗旱、排涝、修建主河道都加以考虑时的模型结果。

对于问题三：

建立一个线性规划模型如下：

目标函数：

单产与收益的和记为s。

Maxs=（w-G）*A+q

约束条件：

1）耗电量约束：

2）资金约束：

。

（t区域i类型j农田条件之间的转换费用与t区域的修建工程费用之和）

3）产量约束:

，k=1，2…m，（t区域i类型j农田条件k种农作物的产量最小值限制）

4）土地资源约束：

（t区域i类型j农田条件之间转换的面积限制）

5）供水约束：

1】全生长期各子区域农作物的供水约束：

（t区域i类型j农田条件k种农作物的用水量都要满足供水约束dt）

2】每种农作物最需要水的时期的供水约束：

，

（t区域i类型j农田条件k种农作物在需水时节用水量要满足供水约束dt’）

以上即为问题三的数学模型描述。

六．模型分析

下面进行灵敏度分析：

第一题（不修水库）：

总水量是否增加，对净收益无影响；扬花时节的水量每增加一吨，则净收益增加4190元；国家资金还有368.5万元剩下；土地面积（包括荒地和两类耕地）每增加一亩，净收益增加63元。

f1系数扬花时浇水的第一类耕地的单产和净产值代数和允许波动范围是（0.69，+∞）;g1系数扬花时不浇水的第一类耕地的单产和净产值代数和允许波动范围是（0.575，0.77）；f2系数扬花时浇水的第二类耕地的单产和净产值代数和允许波动范围是（0,0.795）；g2系数扬花时不浇水的第二类耕地的单产和净产值的代数和允许波动范围是（0,0.63）。

总水量的允许范围是（941200，+∞）；扬花时的水量范围（0,98800）；政府投资额范围（5315000，+∞）；荒地的面积范围（0,38900）；第二类耕地的面积范围（0,82000）；第一类耕地的面积范围（0,28900）。

七．模型优缺点分析

问题一模型评价：

目标函数没有把建设工程的费用计算进去，考虑的不是很理想；没有考虑到工程的寿命年限。

问题二模型评价：

目标函数没有考虑工程费用；计算出来的年利率不是很理想。

问题三模型评价：

目标函数没有考虑工程费用。

参考文献

[1]张兴永朱开永《数学建模》煤炭工业出版社2006年2月第一版

[2]薛秀谦朱开永《运筹学》中国矿业大学出版社2002年

[3]张兴永《数学建模竞赛集训材料》中国矿业大学理学院2007

附录

问题一lindo代码：

不修水库：

max77f1+63g1+70f2+57.5g2

st

2）7.5f1+6.1g1+9f2+7.35g2<965000

3）1.4f1+1.65f2<75000

4）20t21+85t32+100t31<9000000

5）t31+t32<35000

6）t32-t21>-82000

7）f1+g1-t21-t31=25000

8）f2+g2-t32+t21=82000

end

修建水库:

max77f1+63g1+70f2+57.5g2

st

2）7.5f1+6.1g1+9f2+7.35g2<965000

3）1.4f1+1.65f2<140000

4）20t21+85t32+100t31<3500000

5）t31+t32<35000

6）t32-t21>-82000

7）f1+g1-t21-t31=25000

8）f2+g2-t32+t21=82000

end

问题二：

n=15，考虑治理河道，

max157.5x1+2