第四章一元一次方程应用题类型归纳及练习.docx

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第四章一元一次方程应用题类型归纳及练习

一元一次方程应用题归类（典型例题、练习）

一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）

（1）审题：

认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．

（2）设出未知数：

根据提问，巧设未知数．

（3列出方程：

设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系，列出方程．

（4）解方程：

解所列的方程，求出未知数的值．

（5）检验写答：

检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，

检验后写出答案．（注意单位统一及书写规范）

二、按苏科版2013年教材的课本例题进行分类：

第一类：

与数字、比例有关的问题：

例1.比例分配问题：

比例分配问题的一般思路为：

设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。

常用等量关系：

各部分之和=总量。

甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：

3；乙、丙之比为6：

5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？

例2.数字问题：

1.要搞清楚数的表示方法：

一个三位数，一般可设百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），则这个三位数表示为：

100a+10b+c．

2.数字问题中一些表示：

两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n－2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。

（1）有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。

（2）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2位数的大6，求这个两位数。

第二类：

与日历、调配有关的问题：

例3.日历问题：

探索日历问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题。

在日历上，三个相邻数（列）的和为54，求这三天分别是几号？

变式：

将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表用十字框框出5个数（如图）

1357911

131517192123

252729313335

373941434547

……

（1）若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和；

（2）十字框框住的5个数之和能等于2020吗？

若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由；

（3）十字框框住的5个数之和能等于365吗？

若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由；

例4.劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

（1）某厂一车间有64人，二车间有56人。

现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。

问需从第一车间调多少人到第二车间？

（2）甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。

（3）有两个工程队，甲队有285人，乙队有183人，若要求乙队人数是甲队人数的，应从乙队调多少人到甲队？

第三类：

配套问题：

这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。

（1）某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？

（2）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

（3）学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。

求房间的个数和学生的人数。

第四类：

行程问题——画图分析法。

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

（一）.行程问题中的三个基本量及其关系：

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

（二）.行程问题基本类型

（1）相遇问题：

快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：

快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

水流速度=（顺水速度－逆水速度）÷2

抓住两码头间距离不变、水流速和船速（静速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：

顺水路程=逆水路程．

常见的还有：

相背而行；行船问题；环形跑道问题。

（4）考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题：

将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。

（5）时钟问题：

⑴将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究

⑵通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。

常用数据：

①时针的速度是0.5°/分或每分钟12分之1格。

②分针的速度是6°/分或每分钟1格。

③秒针的速度是6°/秒或360°/分或1格/秒或60格/分。

所以，关于时钟问题，可从12开始转过的角度或转过的格数上找等量关系建立方程。

1.一般行程问题（相遇与追及问题）

1.行程问题中的三个基本量及其关系：

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

2.行程问题基本类型

（1）相遇问题：

快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：

快行距－慢行距＝原距

例4.1.1：

从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为。

例4.1.2：

某人从家里骑自行车到学校。

若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？

例4.1.3：

一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：

2，问两车每秒各行驶多少米？

例4.1.4：

与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。

行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。

如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。

⑴行人的速度为每秒多少米？

⑵这列火车的车长是多少米？

例4.1.5：

一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。

汽车速度是60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。

出发地到目的地的距离是60千米。

问：

步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）

例4.1.6：

某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。

例4.1.7：

一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。

隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？

火车的长度是多少？

若不能，请说明理由。

例4.1.8：

甲、乙两地相距x千米，一列火车原来从甲地到乙地要用15小时，开通高速铁路后，车速平均每小时比原来加快了60千米，因此从甲地到乙地只需要10小时即可到达，列方程得。

例4.1.9：

两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长150米，已知当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。

⑴两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？

⑵如果两车同向而行，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？

例4.1.10：

甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。

求两人的速度。

2.环行跑道与时钟问题：

例4.2.1：

在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？

例4.2.2：

甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？

若背向跑，几分钟后相遇？

老师提醒：

此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。

例4.2.3：

在3时和4时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：

⑴重合；⑵成平角；⑶成直角；

例4.2.4：

某钟表每小时比标准时间慢3分钟。

若在清晨6时30分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间为12时50分时，准确时间是多少？

3.行船与飞机飞行问题：

航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

水流速度=（顺水速度－逆水速度）÷2

例4.3.1：

一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。

例4.3.2：

一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。

例4.3.3：

小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度。

例4.3.4：

某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。

第五类：

工程问题

1．工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量＝工作效率×工作时间

2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

例5.1：

一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？

例5.2：

某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:

再用几小时可全部完成任务?

例5.3：

某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？

例5.4：

某工程，甲单独完成续20天，乙单独完成续12天，甲乙合干6天后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程?

例5.5：

已知甲、乙二人合作一项工程，甲25天独立完成，乙20天独立完成，甲、乙二人合5天后，甲另有事，乙再单独做几天才能完成？

例5.6：

将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

第六类：

商品利润问题【市场经济问题（利润赢亏问题）或储蓄利率问题】

（1）销售问题中常出现的量有：

进价（或成本）、售价、标价（或定价）、利润等。

（2）利润问题常用等量关系：

商品利润＝