高考文数题型秘籍41空间点直线平面之间的位置关系解析版.docx

高考文数题型秘籍41空间点直线平面之间的位置关系解析版.docx

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高考文数题型秘籍41空间点直线平面之间的位置关系解析版

专题四十一空间点、直线、平面之间的位置关系

【高频考点解读】

1.理解空间直线、平面位置关系的定义．　

2.了解可以作为推理依据的公理和定理．　

3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．

【热点题型】

题型一平面的基本性质及应用

例1、如图，已知：

E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：

EF，HG，DC三线共点．

【提分秘籍】

1．证明线共点问题，常用的方法是：

先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．

2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：

①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余线（或点）均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．

【举一反三】

（2013年高考安徽卷）在下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

【热点题型】

题型二空间两直线的位置关系

例2、已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么（　　）

A．a∥b且c∥d

B．a、b、c、d中任意两条可能都不平行

C．a∥b或c∥d

D．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行

【提分秘籍】

空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形（梯形）中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．

【举一反三】

已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（　　）

A．AB∥CD

B．AB与CD异面

C．AB与CD相交

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

【热点题型】

题型三异面直线所成的角

例3、在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是（　　）

A．45°　　　　B．60°C．90°D．120°

【提分秘籍】

求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：

（1）一作：

据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

（2）二证：

即证明作出的角是异面直线所成的角；

（3）三求：

解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

【举一反三】

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是（　　）

A．0＜θ＜

B．0＜θ≤

C．0≤θ≤

D．0＜θ≤

答案：

D

【热点题型】

题型四化归思想在探索与异面直线夹角为定值的直线条数问题中的应用

例4、异面直线a，b夹角为50°，过空间一点P的直线l与a，b夹角都是30°的直线有多少条？

【提分秘籍】

一般地，异面直线a，b夹角为θ，过空间一点P的直线l与a，b夹角都为α的直线条数问题，可考察以下四个方面然后求总数：

（1）当α>

时有2条；

（2）当α＝

时有1条；（3）当α>

时有2条；（4）当α＝

时有1条．

与异面直线夹角为定值的直线条数问题可借助于等角定理，利用化归思想，通过平行移动化为与两条相交直线夹角为定值的直线条数问题，同时要注意一个结论：

从角顶点引一条射线与角两边夹角相等，则这条射线在角所在平面上的射影为角的平分线．

【举一反三】

已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P，与a、b所成的角均为α的直线有且只有两条，则α的取值范围是________．

【高考风向标】