欣赏数学的真善美.docx
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欣赏数学的真善美
欣赏数学的真善美
欣赏数学的真善美
张奠宙柴俊
世上万物，以真善美为最高境界。
数学自然也有自己的真善美。
欣赏数学的真善美，就成为数学教育的一项重要任务。
“教育形态的数学”与“学术形态的数学”之间的一个重大区别，就在于是否具有“数学欣赏”的内涵。
但是，数学的真善美往往被淹没在形式演绎的海洋里，需要大力挖掘、用心体察才能发现、感受、体验和欣赏。
欣赏，是教育的一部分。
欣赏是需要指导、培育的。
语文教学，旨在认识和欣赏人生的真善美；数学教育则是为了欣赏数学文化和数学思维的真善美。
不过，语文教育和数学教育有一个明显的差别。
语文教育重在欣赏，比如语文课教学生欣赏古文，欣赏唐诗，却基本上不会作古诗，写古文。
但是，从小学到大学，数学教育的重点是“做题目”，几乎不谈“欣赏”二字。
数学教育缺少了“欣赏”环节，使得许多人无法喜欢数学，以至厌恶数学，远离数学。
那么，怎样欣赏数学的真善美呢?
大致有以下途径：
对比分析，体察古今中外的数学理性精神；
提出问题，揭示冰冷形式后面的数学本质；
梳理思想，领略抽象数学模型的智慧结晶；
构作意境，沟通数学思考背后的人文情景。
以下我们用10个案例加以说明。
1欣赏数学的“真”，震撼于数学之理性精神
爱因斯坦说过：
“为什么数学比其他一切学科受到特殊的尊重?
理由之一是数学命题的绝对可靠性和无可争辩性。
至于其他各个学科的命题则在某种程度上都是可争辩的，经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。
”[1]
数学的“真”，是和数学所使用的逻辑演绎方法密切相关的。
严密性是数学的特点。
数学教学中重视逻辑推理，崇尚公理化的演绎方法是每一个数学教育工作者的共识。
问题在于，既要讲推理，更要讲道理。
[2]
如何使得学生能够体会到数学演绎的“真”?
许多人认为，数学学好了，题目会做了，思维自然就严密了。
数学的“真”，也就在其中了，用不到什么特别的“数学欣赏”。
其实不然。
形式
这是两种不同的思维形式。
要欣赏数学的“真”，就必须挑明这两者的区别。
数学地看“三角形内角和为180度”的命题，“量一量”是不算数的。
必须从平行公理出发用逻辑演绎方法加以证明。
这样的认识，不会自动产生。
只有教师把问题挑明了，学生感到数学推理的价值了，数学“欣赏”也就在其中了。
总之，我们要欣赏数学的“真”，必须浓墨重彩地解说、对比、分析，不能停留在形式的逻辑推演上。
不要像“猪八戒吃人参果，吞到肚里却不知道是什么滋味”。
数学运用符号，具有形式之美。
数学因为使用符号，显示其纯粹之真。
线性相关和线性无关是学生感到头疼的问题。
例3线性相关与线性无关的定义．
欣赏点：
“用数学符号形式化地定义是熟悉的特征，但是它背后的思想往往是很朴素的．
定义（线性相关向量组）：
如果向量组a1，a2，…，am。
中有一向量可以经其余的向量线性表出，这个向量组就叫做线性相关．用符号写出来是：
a1，a2，…，am。
称为线性相关，是指有m个不全为零的数k1，k2，…，km，使
K1a1+k2a2+．．．+kmam＝0。
如果一位教师直接把定义抄在黑板上，又逐字逐句地解释了一遍，那么学生仍然不知道为什么要有这样的定义。
复旦大学的张荫南教授指出，教师只要问：
“这n个向量中哪些是必不可少的，哪些是多余的?
”这就是线性相关背后的原始朴素思想。
还可以更形象地问：
“把n个向量比喻作一座房子的‘承重柱’，哪几根是不可少的，哪几根是由其他柱子派生出来并不承重的?
”那就更加清楚了。
数学欣赏的语言不在多，画龙点睛地提出问题，把原始的底牌翻开来，数学之“真”，就很容易理解了。
当然，最后还要过渡到符号表示的形式。
以下，我们用瞬时速度来理解导数之真。
例4“飞矢不动”与“瞬时速度”。
欣赏点：
“辩证精密思维的典范，微积分思维的人文意境”。
微分学的精髓在于认识函数的局部。
如何透过微积分教材的形式化陈述，真正领略微积分的思考本质，是微积分教学的一项重要任务。
把直觉的瞬时速度，化为可以言传的瞬时速度，需要克服“飞矢不动”的芝诺悖论。
古希腊哲学家芝诺问他的学生：
“一支射出的箭是动的还是不动的?
”
“那还用说，当然是动的。
”
“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的?
”
“不动的，老师。
”
“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢?
”
“也是不动的，老师”。
“所以，射出去的箭是不动的。
”
中国战国时代“名辩”思潮中的思想巨子惠施（约公元前370～公元前310年）提出“飞鸟之景，未尝动也”，这句话的意思是说天空中飞着的鸟实际上是不动的，和芝诺的观点如出一辙。
孤立地仅就一个时刻而言，物体确实没有动。
但是物体运动有其前因后果。
于是就很自然地先求该时刻附近的平均速度，然后令时间间隔趋向于0，以平均速度取极限作为瞬时速度。
可以意会的直觉，终于能够言传。
微积分教学把原始的思考显示出来，就会让学习者知道导数并非是天上掉下来的“林妹妹”。
一点的附近，平均速度，极限，这一连串的思考，揭开了瞬时速度的神秘面纱。
以上的论断告诉我们，考察函数不能孤立地一点一点考察，而要联系其周围环境。
这个就是微积分的核心思想之一：
考察“局部”。
微积分的“真”，通过局部的精密分析显示出来，使人觉得“妙不可言”。
常言道，“聚沙成塔，集腋成裘”，那是简单的堆砌。
其实，科学地看待事物，其单元并非一个个孤立的点，而是一个有内涵的局部。
人体由细胞构成，物体由分子构成，社会由乡镇构成，所以费孝通的“江村调查”，解剖一个乡村以观察整体，竟成为中国社会学的经典之作。
同样，社会由更小的局部——家庭构成，所以，我们的户口以家庭为单位。
古语说“近朱者赤，近墨者黑”。
看人，要问他（她）的身世、家庭、社会关系，孤立地考察一个人是不行的。
函数也是一样，孤立地只看一点的数值不行，还要和周围点上的函数值联系起来看。
微积分就是突破了初等数学“就事论事”、孤立地考察一点、不及周围的静态思考，转而用动态地考察“局部”的思考方法，终于创造了科学的黄金时代。
局部是一个模糊的名词。
没有说多大，就像一个人的成长，大的局部可以是社会变动、乡土文化、学校影响，小的可以是某老师、某熟人，再小些仅限父母家庭，各人的环境是不同的。
最后我们把环境中的各种影响汇集起来研究某人的特征。
同样，微积分方法就是考察函数在一点的周围，然后用极限方法确定函数在该点的性态。
微积分阐述的“局部”思维，是精密的思维过程，体现了数学的“真”。
2欣赏数学的“善”，震撼于数学模型之深刻
数学知识推动社会科技与文明的发展，以其独特的方式为人类文明的发展服务，这是数学“善”的表现。
钱学森在对人类知识分类时，认为“数学”应与“哲学”并列。
如果说哲学是社会科学和自然科学在“规律”上的概括，那么数学就是社会科学与自然科学在“数量”上的概括。
数学应用的广泛性，是数学“善”的集中表现。
数学应用，主要通过建立数学模型来体现。
例5代数模型：
三根导线的例子．
欣赏点：
“在看不见数学的地方，构建数学模型，感受数学思维之深刻。
什么是代数?
中小学教材上异口同声重复着的一个习惯说法是：
“代数就是用文字代表数”。
这一概括其实是不准确的。
例如，小学里讲自然数的交换律，就写了AB＝BA，这里，用文字A、B代表任意的自然数，可是这和代数无关。
代数建模的核心思想是“文字参与运算”。
也就是说，代数的实质是用文字代表未知数，而且由文字代表的“未知数”和已知数可以进行运算，即进行“式”的运算。
20世纪90年代的一天，陈振宣先生对我说了一个“三根导线”的故事。
他的一个学生毕业后在和平饭店做电工。
工作中发现在地下室控制10层以上房间空调的温度不准。
经过分析，原来是空调使用三相电，而连接地下室和空调器的三根导线的长度不同，因而电阻也不同。
剩下的问题是，如何测量这三根电线的电阻呢?
显然，用电工万用表无法测量这样长的电线的电阻，于是这位电工想到了数学。
他想：
一根一根测很难，但是把三根导线在高楼上两两相连接，然后在地下室测量“两根电线”的电阻是很容易的。
如图1，设三根导线电阻是x、y、z。
于是，他列出以下的三元一次联立方程
X+y＝a，y+z=b，z+x=c，解之，即得三根导线的电阻。
这样的方程谁都会解。
但是，能够想到在这里用方程，才是真正的创造啊!
我为这位电工的数学意识所折服。
袁枚曾说：
“学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄。
”有知识，没有能力，就像只有箭，没有弓，射不出去。
但是有了箭和弓，还要有见识，找到目标，才能打中。
上面的例子说明，解这样的联立方程，知识和能力都不成问题，难的是要具有应用联立方程的意识和眼光，在看不见数学的地方，创造性地运用数学。
这使我们联想起第二次大战以后，1948年时在美国出现的三项伟大数学成就（图2）。
这三项数学成就，不是通常我们所解决的那些数学问题。
普通人无法想象：
打电报传送的信息，可以是数学研究的对象吗?
用大脑控制手去拾地下的铅笔，可以构成“数学控制论”吗?
研究数字电子计算机会改变时代吗?
他们三个人在1948年不约而同地做出了创造性的贡献。
在别人看不见的地方，发现了数学问题，解决了数学问题，这是最大的数学创新。
也是数学解决问题之深刻的集中表现。
在看起来“没有数学问题”的地方发现数学问题，那往往是“大”的数学创造，和平饭店的那位电工同志解决数学问题的可贵，也正在此。
对基础教育来说，如何培养学生欣赏这样深刻而重大的“数学”之善，值得深思。
例6坐标的价值。
欣赏点：
用坐标确定位置，那是地理学的目标。
坐标系的数学价值远超出“确定位置”。
近年来，平面直角坐标系的引进，成为中学数学公开课的热门课题。
大量的教学案例，都是让学生用一对有序的数来确定位置。
许多教案让学生站成几排，用坐标来表示位置，上上下下好不热闹。
事实上，这都不是平面坐标系的本质。
用纵横交错的方法确定位置，用经纬度表示一个地点的位置，乃是常识，准确地说是地理学的任务。
数学使用坐标系，则远超于此，其实质是要用坐标表示数学对象。
请看上海长宁区的教师是怎样做的。
先把教室的课桌椅并拢，以某同学为原点，两条绑有箭头的塑料绳按相互垂直的方向摆放形成坐标轴。
于是每个同学都有坐标（尽管坐标都是整数），但已经完成了“用一对数确定位置”的地理学的任务。
然后，教师请：
“两个坐标都是负数的同学站起来（第三象限）”；
“两个坐标都相同的同学站起来（直线y=x）”；
“第一个坐标为0的同学站起来（y轴）”；
这样“玩坐标”，用坐标表示“数学对象”，才是坐标系的数学价值所在。
不欣赏坐标系的“数学本质”，肤浅地停留在“东大街、北大街”的交汇处那样的浅薄常识，就谈不上什么数学欣赏了。
例7微分方程y‘＝ay表达的数学模型。
e的价值。
欣赏点：
人口增长、碳14的衰减，连续复利，它们有一个共同的数学模型。
常数e和他们密切相关，一副和谐的数学情境。
许多学生对于以e为底的对数，叫做自然对数很不理解，不知道e“自然”在什么地方．后来，知道指数函数e^x的导数依然是e^x，这才有点“自然”起来。
待到学习微分方程dy/dx=ky时，知道人口增长，C^14的衰减，以及连续复利的增长，都源于一个事实，底数越大增加（减少）速度也越大．人口越多，人口增加速度越快。
特别是连续复利：
从以年为单位的简单利息公式Aα（1+α）^t。
到复利公式A（1+α）^tn（一年分为n期的复利）．
然后令n→∞，就进一步看出常数e的“自然”特性了。
数学的“善”在这里体现为“和谐”“合理”“自然”，而不是天上掉下来的“林妹妹”。
3欣赏数学的美，震撼于数学思维内在之和谐
研究数学“美”的文字已经很多，大都是说数学是美的，并举例说明数学有对称美、简洁美、统一美、奇异美等等。
但是，如何欣赏数学美，却没有很好地研究过。
有些被数学家认为美的东西，并不是人人都能欣赏的，欣赏这些美需要数学的剖析，数学思想的揭示，数学意境的营造。
法国名画家苏弗而皮说过：
“艺术分两类。
一类是小写的艺术，能够悦人耳目；另一类是大写的艺术，能够动人心魂。
”数学也有这样的两类“美”，外观的数学美和动人心魂的数学美。
[4]
先看一个小写的“数学美”，使人赏心悦目。
例8“无界变量”的意境之美。
欣赏点：
用“满园春色关不住，一枝红杏出墙来”加以描摹，人文意境和数学意境相互交融，浑然一体。
贵州六盘水师专的杨光强先生在课堂上讲授“无穷大”和“无界变量”时，总要引用宋朝叶绍翁的名句：
“满园春色关不住，一枝红杏出墙来。
”（《游园不值》）
讲到此处，学生每每会意而笑。
事实上，所谓无界变量{xn}，是指你设置无论怎样大的正数M，变量总要超出你的范围，即有一个变量的绝对值会超过M用数学语言写来就是：
对任意的正数M，总存在一个下标N，使得∣xN∣>M。
把M比喻成无论怎样大的园子，变量xn相当于红杏，结果是总有一枝红杏xN会越出园子的范围。
诗的比喻如此恰切，用生动的意境去描述枯燥的数学语言，没有任何牵强!
以下是一个具体而又深刻的数学美欣赏．对称与对联，竟然在意境上能够沟通，这是具体形象的美学分析。
然后，我们会看到“数学不变量”是和谐深刻的数学美学的“大写”精品。
例9对称与对联．
欣赏点：
“数学美和文学美是相通的，变化中的不变量是数学美的共同根源”。
只说变化、化归是不够的，在变化中寻求不变性质和不变量，是人类文明发展的正道。
数学中有对称，诗词中讲对仗。
乍看上去两者似乎风马牛不相及，其实它们在理念上具有鲜明的共性：
在变化中保持着不变性质。
数学中说两个图形是轴对称的，是指将一个图形沿着某一条直线（称为对称轴）折叠过去，能够和另一个图形重合。
这就是说，一个图形“变换”到了对称轴的另外一边，但是图形的形状没有变，如图3。
这种“变中不变”的思想，在对仗中也反映出来了。
例如，让我们看唐朝王维的两句诗：
“明月松间照，清泉石上流。
”
诗的上句“变换”到下句，内容从描写月亮到描写泉水，确实有变化。
但是，这一变化中有许多是不变的：
“明”一“清”（都是形容词）；
“月”一“泉”（都是自然景物，名词）；
“松”一“石”（也是自然景物，名词）；
“间”一“上”（都是介词）；
“照”一“流”（都是动词）。
对仗之美在于它的不变性。
假如上联的词语变到下联，含义、词性、格律全都变了，就成了白开水，还有什么味道?
世间万物都在变化之中，但只单说事物在“变”，不能说明什么问题．科学的任务是要找出“变化中不变的规律”。
一个民族必须与时俱进，不断创新，但是民族的传统精华不能变。
京剧需要改革，可是京剧的灵魂不能变。
古典诗词的内容千变万化，但是基本的格律不变。
自然科学中，物理学有能量守恒、动量守恒；化学反应中有方程式的平衡，分子量的总值不能变。
总之，唯有找出变化中的不变性，才有科学的、美学的价值。
数学上的对称本来只是几何学研究的对象，后来数学家又把它拓广到代数中。
例如，二次式x^2+y^2，当把x变换为y，y变换为x后，原来的式子就成了y^2+x^2，结果仍旧等于x^2+y^2，没有变化。
由于这个代数式经过x与y变换后形式上与先前完全一样，所以把它称为对称的二次式。
进一步说，对称可以用“群”来表示，各色各样的对称群成为描述大自然的数学工具。
物质结构是用对称语言写成的。
诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对我后来的工作有决定性影响的一个领域叫做对称原理。
1957年李政道和杨振宁获诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现，就和对称密切相关。
此外，为杨振宁赢得更高声誉的“杨振宁一米尔斯规范场”，更是研究“规范对称”的直接结果。
在《对称和物理学》一文中最后，他写道：
“在理解物理世界的过程中，21世纪会目睹对称概念的新方面吗?
我的回答是，十分可能。
”[5]
对称是一个十分宽广的概念，它出现在数学教材中，也存在于日常生活中，能在文学意境中感受它，也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它，更存在于大自然的深刻结构中。
数学和人类文明同步发展，“对称”只是纷繁数学文化中的标志之一。
以上各例中，都是变中有不变性存在。
再推而广之，我们会看到“不变量和不变性质”的思想之美。
比如：
民族要“与时俱进”，但是传统不变；
物体运动，但是能量守恒（不变）；
解方程：
移项、变形但是保持“根”不变；
三角式作恒等变换，但是其值不变．如sin²x+cos²x=l；
七桥问题：
桥、岛、路的形状大小可以变，但是连接的方式不变；
在各门数学学科中，常常看到几何不变量，代数不变量，拓扑不变量。
变与不变，是辩证的统一。
一个值得指出的现象是，常常在文章中和书籍中，看到数学思想方法的论述中，大量介绍化归方法。
化归，是一种将未知转化为已知的方法，在数学上使用很多。
遗憾的是，化归是和不变性质联系在一起的。
方程变形，最后化为已知可解的情形，但是“变形”的“化归”，必须保持原方程的根不变。
不等式证明，也通过不断地放大和缩小化为已知情形，但是不等号的方向不能变。
一切化归必须以某个“不变”为前提。
流传很广的“关系一映射一反演（RMI）”原理，是一种特殊的化归。
但是，这里的映射，必须保持一种不变性。
例如，这个映射是“同构”和“同态”等等，然后才能解决问题。
不变性质和不变量，是一篇大学问。
一个令人震撼的大写的“数学美学精品”。
数学之美，低端欣赏在于“美观”层次．常见谈数学美的文字，说来说去就是黄金分割，蜂房结构，仅仅诉诸直观。
其实，数学美的“高端”欣赏在于和人文意境的沟通。
前面例子中，谈微积分的局部，无界变量的文学描写，对称与对联，都有直观的背景，更多属于意境的沟通与升华。
最后，我们叙述一个纯粹意境性的数学美学欣赏的例子。
例10拉格朗日微分中值定理的“存在性定理”的意境。
欣赏点：
“只知道它存在，却不知道它在哪里”，在数学中是常见的，但是也能用文学意境来想象。
近年来，“奥数”的某些思考方法渐渐为人所熟悉。
其中使用的“抽屉原理”（也称鸽笼原理）就是，把M个苹果放在N个抽屉里（M>N），那么必定存在1个抽屉，其中的苹果多于1个。
至于究竟是哪一个抽屉，我们并不知道。
在高等数学里，连续函数的介值性定理、拉格朗日中值定理都是典型的存在性定理。
拉格朗日中值定理叙述为：
设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内的点都有导数，那么
f（b）一f（a）＝f‘（ξ）（b一a）。
这是典型的纯粹存在性定理，即微分中值定理中的ξ只是肯定存在于a、b之间，但不确切知道在哪一点。
这种意境，也能够找到相应的文学意境。
请看贾岛的诗句：
“松下问童子，言师采药去；云深不知处，只在此山中。
”
虽然我们不知道“老药师”在山中的什么地方，但他却肯定存在着。
数学欣赏是一门学问，就像“艺术欣赏”“文学欣赏”一样需要专门的研究。
我们期待未来。
摘自《中学数学教学参考》2010。
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