函数模型及其应用.docx
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函数模型及其应用
2-10函数模型及其应用
基础巩固
一、选择题
1．（文）设甲、乙两地的距离为a（a>0），小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为（ ）
[答案] D
[解析] 注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.
（理）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：
10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运多少年，其营运的平均利润最大（ ）
A．3B．4
C．5D．6
[答案] C
[解析] 由图可得营运总利润y＝－（x－6）2＋11，
则营运的年平均利润
＝－x－
＋12，
故x＝5时
最大．
2．（原创题）《走向高考》系数丛书2013年的销量比2011的销量增长44%，若每年的平均增长率相同（设为x），则以下结论正确的是（ ）
A．x>22%
B．x<22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年的销量确定
[答案] B
[解析] （1＋x）2＝1＋44%，解得x＝0.2<0.22.故选B.
3．国家规定某行业收入税如下：
年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按（p＋2）%征税，有一公司的实际缴税比例为（p＋0.25）%，则该公司的年收入是（ ）
A．560万元B．420万元
C．350万元D．320万元
[答案] D
[解析] 设该公司的年收入为a万元，
则280p%＋（a－280）（p＋2）%
＝a（p＋0.25）%
解之得a＝
＝320.
4．（2012·商丘一模）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：
万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：
辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）
A．45.606B．45.6
C．45.56D．45.51
[答案] B
[解析] 依题意可设甲销售x辆，则乙销售（15－x）辆，
∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2（15－x）
＝－0.15x2＋3.06x＋30（x≥0）．
∴当x＝10时，Smax＝45.6（万元）．
5．某市2010年新建住房100万m2，其中有25万m2经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其经济适用房每年增加10万m2.按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是（参考数据：
1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28）（ ）
A．2012年B．2013年
C．2014年D．2015年
[答案] C
[解析] 设第n年新建住房面积为an＝100（1＋5%）n，经济适用房面积为bn＝25＋10n，由2bn>an得：
2（25＋10n）>100（1＋5%）n利用已知条件解得n>3，所以在2014年时满足题意．
6．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t（单位：
min）与细胞数n（单位：
个）的部分数据如下：
t
0
20
60
140
n
1
2
8
128
根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于（ ）
A．200B．220
C．240D．260
[答案] A
[解析] 由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝2
，令n＝1000，得2
＝1000，又210＝1024，所以时刻t最接近200分．
二、填空题
7．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低
，则现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为________元．
[答案] 2400
[解析] 设经过3个5年，产品价格为y，则y＝8100×
3＝8100×
＝2400（元）．
8．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k（Q）＝40Q－
Q2，则总利润L（Q）的最大值是________万元．
[答案] 2500
[解析] 总利润L（Q）＝40Q－
Q2－10Q－2000
＝－
（Q－300）2＋2500.
故当Q＝300时，总利润最大，为2500万元．
三、解答题
9．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？
并求出最大值．
[解析] 设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10＋x）（100－10x）元，进货总额为8（100－10x）元，显然100－10x>0，即x<10，
则y＝（10＋x）（100－10x）－8（100－10x）
＝（2＋x）（100－10x）
＝－10（x－4）2＋360（0≤x<10）．
当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.
能力提升
一、选择题
1．对函数f（x）＝3x2＋ax＋b作代换x＝g（t），则总不改变f（x）值域的代换是（ ）
A．g（t）＝log
tB．g（t）＝（
）t
C．g（t）＝（t－1）2D．g（t）＝cost
[答案] A
[解析] 只有A中函数的值域与f（x）中x的取值范围一致，即R，所以只有A中函数代换后f（x）值域不变．
2．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：
min）为f（x）＝
（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是（ ）
A．75,25B．75,16
C．60,25D．60,16
[答案] D
[解析] 本题主要考查了分段函数的理解及函数解析式的求解．
依题意：
当x≤A时，f（x）单调递减；当x≥A时，f（x）恒为常数．因此，
＝30，
＝15，解得：
c＝60，A＝16，故选D.
二、填空题
3．如图，书的一页的面积为600cm2，设计要求书面上方空出2cm的边，下、左、右方都空出1cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．
[答案] 30cm,20cm
[解析] 设书的长为a，宽为b，则ab＝600，则中间文字部分的面积S＝（a－2－1）（b－2）＝606－（2a＋3b）≤606－2
＝486，当且仅当2a＝3b，即a＝30，b＝20时，Smax＝486.
4．里氏震级M的计算公式为：
M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
[答案] 6 10000
[解析] 本题考查应用数学解决实际问题的能力．
（1）M＝lg1000－lg0.001＝3＋3＝6.
（2）设9级、5级地震最大振幅分别为A9，A5，则9＝lgA9－lgA0,5＝lgA5－lgA0，两式相减得4＝lgA9－lgA5＝lg
，即
＝104，所以9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．
三、解答题
5.
据气象中心观察和预测：
发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图像如图所示，过线段OC上一点T（t,0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．
（1）当t＝4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？
如果不会，请说明理由．
[分析] 认真审题，准确理解题意，建立函数关系．
[解析]
（1）由图像可知，当t＝4时，v＝3×4＝12，
∴s＝
×4×12＝24（km）．
（2）当0≤t≤10时，s＝
·t·3t＝
t2，
当10×10×30＋30（t－10）＝30t－150；
当20×10×30＋10×30＋（t－20）×30－
×（t－20）×2（t－20）＝－t2＋70t－550.
综上可知s＝
（3）∵t∈[0,10]时，smax＝
×102＝150<650.
t∈（10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650.
∴当t∈（20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40，∵20所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城．
6．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：
km/h）是车流密度x（单位：
辆/km）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km时，车流速度为60km/h.研究表明：
当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：
辆/h）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/h）
[解析]
（1）由题意：
当0≤x≤20时，v（x）＝60，
当20≤x≤200时，设v（x）＝ax＋b，再由已知得
解得
故函数v（x）的表达式为
v（x）＝
（2）依题意并由
（1）可得
f（x）＝
当0≤x≤20时，f（x）为增加的，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤x≤200时，f（x）＝
x（200－x）
≤
[
]2＝
，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f（x）在区间[20,200]上取得最大值
.
综上，当x＝100时，f（x）在区间[0,200]上取得最大值
≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
7．（2012·江苏卷，17）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－
（1＋k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？
说明理由．
[解析]
（1）令y＝0，得kx－
（1＋k2）x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝
＝
≤
＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10km.
（2）因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－
（1＋k2）a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6（km）时，可击中目标．
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