数模挑战赛论文.docx
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数模挑战赛论文
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：
B
所属学院（请填写完整的全名）：
通信与信息工程学院
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
日期：
2013年10月30日
评阅编号（教师评阅时填写）：
车库泊车优化模型
摘要
该题属于车库停车泊位优化模型，根据题目给定条件，要求在每辆车都能没有碰撞开出车库的情况下，合理规划，尽量使车库的利用率达到最大，在问题三中还要考虑到使在角落中的车开出所用时间最少。
首先，针对停车场泊车位的规划问题，我们首先设计出理想的停车场结构规划，以尽可能多地发挥空间效率与时间效率为目标，建立了停车场优化停车设计模型,采用线性规划进行求解,得出车库的最优停放布局为大车（车二）以倾角为84.53°，小车（车一）以倾角为84.95°的倾斜方式放置,（如图2），对于问题一，在靠近宽边的两侧分别放置一排，在与门相对的长边一侧放置一排，在门的两侧其他位置两排相对放置，具体放置如图3所示，此时，可放小车3306辆，可放大车3080辆，故停车总数介于3080-3306之间。
对于问题二，在车辆无法调出时，可以先将阻碍的车辆开出车库外，在这种情况下，我们考虑除两侧外，在其他位置以n列车为一个模块放置，只考虑小车时，当n=3时，可放3643辆，当n=4时，可放3827辆，n=5时可放4011辆，n=6时可放辆；只考虑大车时，当n=3时，可放3598辆，当n=4时，可放3788辆，n=5时可放3914辆；并设一个评价因子Q=让道车数（K）/停车总数（N）,最后得出评价因子和停车总数的线性规划模型；综合考虑N和Q后得出当n=5时最好,此时，大车3914辆，此时有1456辆车需要让道；小车可放4011辆，此时有1452辆车需要让道。
对于问题三，在问题二的基础上，车的前轮可左右旋转90°，为了使角落里的车辆开出的时间最短，仍采用n=5时的模型，但此时车水平停放，车头垂直于宽边，具体放置模型如图5所示。
此时，可停放小车4177辆，大车3784辆。
关键词：
车库泊车位；整数规划模型；最小转弯半径；层次分析法；模糊理论；
一、问题重述
1.1问题背景
随着越来越多的小汽车进入城市普通家庭,如何解决汽车停放问题已经成为一个不容忽视的问题。
“停车难，乱停车”现象日益严重，这严重影响了投资环境和社会经济的发展，车位的配备与住区的档次、区位、小区居民的经济水平等因素都密切相关,各小区的停车规划指标并没有一个统一的标准。
同时停车管理的力度相差较大,从管理上来说,由于管理水平参差不齐,乱停乱放严重,造成停车数量少,部分车位闲置,所以，解决停车问题就显得十分重要。
1.2问题的基本分析
某汽车制造厂有一大型仓库存放成品小型汽车，厂方希望将尽可能多的汽车贮存在车库内。
在满足一定要求的条件下，尽可能提高仓库的利用率。
设车库形状为200米╳300米的矩形，仓库只有一个门，位于矩形长边的正中央，门宽5米。
假设汽车形状只有两种形式，从网上查出以上两种型号汽车的形状尺寸。
要求：
1、在任何时刻只有一辆汽车开出仓库大门，开出过程中不得有任何碰撞；
2、摆放时任意两辆汽车之间至少保持40cm的间距，不重叠；
3、出门时必须车头先出，不得使用任何其他辅助设备。
试建立合理的数学模型，解决以下问题。
1、在每辆车都可顺利开出车库的条件下，如何摆放，可提高车库利用率。
2、假设在车辆无法调出时，可以先将阻碍的车辆开出车库外，在这种情况下，给出车辆摆放的优化数学模型。
3、对问题2的车俩摆放模型，假定每辆汽车开出仓库时的速度均相同，且汽车前轮可以左右转动90度，给出将车库4个角落的汽车全部开出所需最少时间的调运方案。
从网上查到，这两种车分别为奔驰E500和起亚嘉华，其具体参数如下：
参
数
长（mm）
宽（mm）
最小转弯半径R1（mm）
轴距L（mm）
车
一
4818
1822
5700
2854
车
二
4930
1895
6300
2910
1.停车场泊车位规划是指在有限的空间区域内，设计车位布局，求解所需参数，尽可能多地发挥空间效率与时间效率。
2.设计一个完整的指标体系对停车场效度进行评价。
3.针对某居民小区的一个露天停车场，对该停车场泊车位进行规划设计。
4.运用上文建立的评价体系对居民小区停车场效度进行评价，并指出哪些车位最不受欢迎。
二、模型基本假设
（1）为了减少通道的宽度,节省停车场中的面积,假设停车场中的通道一律是单行的,这样可以相对增大停车面积。
（2）为了保持通道空间及停车面积,假设每一通道的所有车位都保持相同的车位角度排列。
（3）假设每个停车位置必须便于进出,即不存在先进后出的情况。
（4）假设所有通道宽度相同。
（5）假设驾驶员技术娴熟。
（6）假设在问题二，三中车辆间距为0时，无碰撞发生。
三、符号说明
序号
符号
具体含义
序号
符号
具体含义
1
Ra
小车最小转弯半径
10
Rb
大车最小转弯半径
2
D
通道宽度
11
K
需要挪动的车数
3
LW
车的末端与墙壁间距离
12
N
停车总数
4
W
停车位宽度
13
判断矩阵的最大特征根
5
L
停车位长度
14
U
停车场的布局
6
W1
小车加上间隔后车的宽度
15
7
L1
小车加上间隔后车的长度
16
8
W2
大车加上间隔后车的宽度
17
9
L2
大车加上间隔后车的长度
18
四、模型的建立及求解
4.1停车场车位布局设计
首先我们根据所给车库的形状及面积，一般来说,尽可能多的把车塞进停车场的最好办法是以直角停靠的方式一辆挤一辆的排成行,但这样车很多时,不便于车自由进出,可能导致先进后出,后进先出。
另一方面,如果车从通道进来有一个足够大的“转弯半径”的话,通道就必须宽一些,通道越宽容纳的车辆就越少。
我们的目标是：
在满足车辆能够自由行驶的情况下，进行停车位置和停车通道的设计，使停车场能停放更多的车辆,从而获得最大的经济效益。
一般停车场设计有三个主要目标：
对停车场使用者来说，停车设施必须是方便的、安全的；对经济运营来说，停车设施必须为停车留有足够的空间，同时要满足停车设施经济需求；停车场的设计应综合考虑周围环境因素。
4.1.1模型的准备
由于车辆出入停车位需要转弯，因此必须设计一个最小转弯半径。
所谓最小转弯半径，就是汽车转弯时，转向中心到外侧车轮的距离。
根据我们从网上得到的数据，可设小车最小转弯半径为Ra=5.7m，大车最小转弯半径为Ra=6.3m，由于小车宽1.798m，转弯时转向中心到内侧车轮的距离为R=Ra-1.798=3.902m，如图1所示。
图1小车转弯半径
大车宽1.89m，转弯时转向中心到内侧车轮的距离为R=Ra-1.89=4.41m
4.2对问题一所建模型
4.2.1只考虑小车的局部车位排布
由于大车和小车车位面积相差很大，因此会分区停放，现在我们只考虑小车的局部车位排布。
现小车的最外端在半径为5.7m的圆周上行驶,然后以∅角度进入停车位（0
∅
）,其中∅=
就是垂直从车道驶入车位，∅=0就是平行从车道驶入车位。
为减少停车面积，假设所有的车都以相同的角度停放，见图2
图2泊车位的停放角度
具体研究小车驶入车位的情况，如图3。
其中Ra为最小转弯半径，D为通道宽度，且小车的内端半径在R圆周上运动，以∅角停入车位。
由图3可见通道宽度:
D=Ra-Rcos∅
图3转弯半径示意图
由假设
（2）,每辆车均以角∅停放,如图2所示,用W表示停车位宽度,L表示停车位长度,Lw表示停车位末端的距离,易见它们分别是角∅的函数,且
W=2.2/sin∅
L=5.2sin∅+2.2cos∅
Ld=5.2cos∅+2.2ctg∅cos∅
同时用matlab编程，可计算出通道宽度D（见附录1），现按照图二所示，计算每辆车所占的车位面积S（∅），考虑最佳排列的极限情况，假设车位是无限长的，忽略掉该排车位两端浪费掉的面积
W*Lw，因为他们相对于每个车位的面积很小，可以忽略不计。
从车辆所占的停车位来看，它占据的面积为
，另外，它所占据的通道面积为
，由于对面的一排车可以相互借用此道，因此该面积应该减半，为
，于是我们得到
S（∅）=
+
=W1*L1+
（1）
我们的目标是求S（∅）的最小值。
把Ra=5.7m，R=3.902m，L1=5.2m，W1=2.2m带入
（1）式，可得
，求导后得
，所以当
，即
时,也即我们以78.9°停放时，S（∅）达到最小，且
因此，我们对局部停车位的分析表明，当
时，
。
4.2.2只考虑小车的全局车位排布
由理想情况可知，当所有的车都朝一个方向排列时，
能达到最小占位面积19.2平方米，此时两排相对的车占用相同的通道。
考虑到通道为单行道，因此通道两边的∅应该相对
对于每一排车位，其一边为通道，另一边是停车场的边缘或者是另一排车。
因此，停车排数Nc最多为车道数Nm的2倍，即
Nc<=2*Nm
经过对车道和车位的排列，我们小组发现，当排成一排车位，一列车道，一排车位这样3列一组时，可达到Nc=2Nm，即最大容量，因此我们选择这样的排布方法。
当每排车位数相当大时，忽略掉车位两端浪费掉的面积，可近似为理想情况。
此时小车
，大车
为最佳排布。
4.2.3只考虑大型车的局部车位排布
将模型4.1.2修改为
（2）
并将相应数据Ra=6.3m，R=4.41m，L2=5.4，W2=2.3m带入
（2）得到：
，求导后得
使S’（∅）=0得到，
即
时，也即以角度84.53°停放时S（∅）达到最小，最小
因此，我们对局部停车位的分析表明，当
时，
。
在模型一中具体停车示意图如下：
4.2.4基于整数型线性规划下的车库整体布局
经过以上分析所有停车方式的通道宽度以及车位所占单位面积后。
计算得出汽车摆放最佳角度，在对问题二的分析中部分继续沿用这种分析方式，在边角可以有其他停放的方式。
在整体设计中，基于整数型线性规划必须遵守一下原则：
（1）道路宽度不得小于既定宽度D，以防摩擦或碰撞
（2）车与车之间的距离至少为40cm
（3）在保证车库利用率较高的情况下，计算出最多停放的大车属于小车数，只要车辆数小于等于最多容纳数，都可以在车库中放置。
在此情况下：
MaxN=2ni*m
ni*（2
300-D
（W+0.4）m
200-D
m
S.t.=ni
ni,m取整数
其中N为停车总数，L为车长，D为通道宽度，W为车的宽度，ni为车的排数，m为车的行数用lingo编程（附录2），求解出上述模型的目标函数的最终结果为小车最多可停放3306辆，大车最多可停放3080辆。
4.3对问题二所建模型
问题二增设了在车辆无法调出时可以先将阻碍车辆开出车库外的条件，此时车辆可以一辆挨着一辆的紧密地排放，我们部分沿用问题一的分析方式，在此基础上，我们考虑除两侧外，在其他位置以n排车为一个模块放置，分别计算当n=3,4,5,6的情况，在此基础上设Q为评价因子，Q=让道车数（K）/停车总数（N）,
在不脱离实际的情况下，在确定最佳方案时不仅考虑到要使停放车的数目最多，还要让评价因子的值比较小。
这样得出的方案才比较优化。
在该方案中具体停放模型图图如下：
图4停车模型图
在该问中根据所所给限定条件，继续运用整形规划模型：
N=3N3+4N4+5N5+6N6+……
L+D+Lw+mW
200
2L+D+3L+D+4
2L+D+4L+D+4
2L+D+5L+D+4
2L+D+6L+D+4
设需要让道车数位K:
1/3*N3*2*92,N=3时，
2/4*N4*2*92,N=4时
K=2/5*N5*2*92,N=5时
3/6*N6*2*92,N=6时
根据以上规划模型，得出当只考虑小车时：
当n=5时可停车数较多，而且评价因子较小，最多大车可停放4011，小车可停3914辆。
此时大车评价因子Q=0.399，小车的评价因子Q=0.362。
4.4对问题三所建的模型
4.2停车场的评价指标
在对停车场进行综合评价分析时,必须先确定对停车场进行评判的评价指标。
停车场信息通常分为静态、准静态和动态信息.静态信息指信息不随时间而变化,如停车场内的车辆泊位数;准静态信息是指在某较长的时间段内（1d）不会改变的信息,如周转率、利用率、平均停放时间和高峰停放指数等;动态信息是指停车场内时刻变化的信息,如停车场内的实时剩余车位等。
因此，我们小组查找了大量停车场的静态和动态信息,并通过对这些统计数据的分析处理,从而获得所需的准静态数据,并以此作为评价城市停车场的重要指标。
上述评价指标是对停车场的设施及实际运营状况的客观反映,然而对于停车场的评判还应包括停车者在车辆存放后,从停车场到达目的地的实际步行距离以及停车场收费等,与停车者理想愿望之间的差距,从而形成停车者对停车场合理性的主观评价。
因此,在实际的评价分析时,评价指标还应包含驾车者在停车后对停车场满意程度的主观感受。
图5评价指标选取步骤流程图
4.2.1停车场评价指标体系的建立
评价指标体系的建立应遵循以下原则:
（1）整体完备性原则。
应该从不同侧面反映停车场服务水平的特征和状况。
（2）客观性原则。
保证评价指标体系的客观公正,保证数据来源的可靠性、准确性和评估方法的科学性。
（3）科学性原则。
指标的选择与指标权重的确定,数据的选取、计算与合成必须以公认的科学理论为依据。
（4）非线性原则。
对于一个复杂的系统,评价指标选取应遵循非线性原则,实现指标体系的最优化。
（5）实用性原则。
评价工作的意义在于分析现状,认清所处阶段和发展中存在的问题,更好地指导实际工作,因此,尽量选取日常统计指标或容易获得的指标,以便直观、简便地说明问题。
涉及停车场的服务水平的评价指标有很多,但是精确地量化并不能使评价很准确。
本文从平均周转率，停车场利用率，平均车位占面积，车辆出入泊位难易程度，高峰时段停放指数和停车者满意程度6个主要因素考虑,选取指标评价[1,2]。
指标体系如图6所示。
图6评价指标体系
4.2.2停车平均周转率
停车平均周转率是指停车场内,每个停车泊位在工作时间内的平均停车次数,即
式中:
F为停车平均周转率（车次/泊次）；n为工作时间内总停车量（车次）；N为停车场的泊位数。
若F较大,反映了停车场停车泊位较拥挤;若F过低,则反映停车场实际的停车泊位在较长时间内空闲,造成基础设施资源的浪费,不利于停车场的发展建设,并可在一定程度上反停车场设置的合理性。
4.2.3停车场利用率
停车场利用率是指单位停车泊位在工作小时内的使用效率,即
式中：
G为停车场利用率；ti为第i车辆的停车时间。
T为工作时间,取min。
G反映了停车场的使用强度,其大小取决于停车场的位置、容量、停车规划和停车管理水平,G过高或者过低都不好。
若G过低,会形成停车设施的闲置浪费；而G过高,又会引起停车设施的饱和及停车拥挤。
4.2.4平均车位占面积
平均车位占面积是指停车场内每个车位平均占地多少，即
S均=
式中：
S均为平均车位占面积；S为停车场总面积。
K越小越好
4.2.5车辆出入泊位难易程度
车辆出入泊位难易程度是指以时间来衡量的难易程度，出入时间越短，越简单；出入时间越长，越难。
式中：
H为车辆出入泊位难易程度，N为车位
4.2.6高峰时段停放指数
高峰时段停放指数是指某一停车设施,在高峰时间段内停放车数与该停车设施泊位容量之比,它反映了停车的拥挤程度,即
式中：
S为高峰时段停放指数；n’为该时段停车数。
4.2.7停车者满意程度
该指标是停车者在停车场车辆存放后,对由停车场到达目的地的实际步行距离,以及停车场的收费等与停车者理想愿望的差距,并由此产生对停车场合理性判断的主观评价。
该指标的确定,可由调查者在停车场向停车需求者进行问卷调查。
调查问卷内容可包含驾车者的出行目的、停车时间、由停车场到达目的地的实际步行距离,以及对停车场收费等问题进行的细致调查,并通过对调查后的数据进行统计分析获得停车者的满意程度。
4.3停车场综合评价模型
利用模型4.2构建的评价指标体系，采用多属性决策方法来确定权重，然后构建模糊物元对露天停车场效度进行评价
4.3.1构建模糊评判因素集和评价集
为构建停车场评价体系,我们小组对停车场的静态和动态信息进行了查找,并由对统计数据进行处理所得的停车平均周转率，停车场利用率，平均车位占面积，车辆出入泊位难易程度，高峰时段停放指数和停车者满意程度等指标组成。
令停车场评价对象因素集为U={U1,U2,U3,U4，U5，U6},其中各评价因素按序号分别为停车平均周转率，停车场利用率，平均车位占面积，车辆出入泊位难易程度，高峰时段停放指数和停车者满意程度。
同时设评价集为V={好,较好,一般,较差,差},建立停车场模糊评判因素集和评价集。
4.3.2构建评价因素的权重集
在上述构建的停车场评价体系中,由于其中各个因素对停车场综合评判结果的影响程度各不相同,应分别给每一个因素赋以相应的权重值。
实际上,所赋权重反映了各项指标在评价体系中的重要程度。
令该层因素的权重集向量为A=（a1,a2,a3,a4，a5，a6）,其中ai为该层次中第i个因素Ui的权重,通常各权重数应满足归一性和非负性条件,即
4.4.2模型的简要分析
根据已建模型，泊车位尺寸位一律为5.2*2.2。
由分析可知因变量为泊车位停放角度，记第2排的倾斜角度为
，记第1排和第3排的倾斜角一致为
。
约束条件为停车场的长和宽，由于倾斜角与尺寸关系为非线性，车位数为整数，即建立整数非线性规划模型来求解。
4.4.3整数非线性规划模型的建立
由评价模型的分析可知：
车道宽度:
D=Ra-Rcos∅
停车位宽度：
W=2.5/sin∅
停车位长度：
L=5sin∅+2.5cos∅
停车位末端距离：
Ld=5cos∅+2.5ctg∅cos∅
基于以上分析，可以建立方程：
W1=2.5/sin（
）;W2=2.5/sin（
）
X1=67.74/W2;
X2=（45.64+6.76）/W2;
X3=（45.64+6.76）/W1;
X4=（45.64+6.76）/2.5;
X5=（76.19-7）/2.5;
W<=
=5.5902如图7所示。
在满足设计要求的前提下,为充分利用停车场的空间,设计出尽可能多的停车位数，即：
目标函数：
Max
2（5sin（
）+2.5cos（
））+5sin（
）+2.5cos（
）+D<=19.98;
s.t.D=Max（2*（5.5-3cos（
）,2*（5.5-3cos（
））
>0（i=1~5）,并且取整数
0<
<π/2
4.4.4模型的求解
我们利用matlab的fmincon函数对模型求解，求解程序详见附录一。
由于只能求出局部解，并且受初值
的影响比较大，我们分别取不同的初值求解并取最优值，如下表所示：
0.9,0.9
0.9,0.8
0.9,0.7
0.9,0.6
0.8,0.9
0.8,0.8
0.7,0.9
0.7,0.8
0.6,0.9
0.47420.4670
0.85880.7879
0.85880.6827
0.88160.5905
0.79800.8857
0.45740.5115
0.69700.8857
0.50040.5161
0.59630.8857
最优值
78
103
98
94
106
80
104
81
102
表1车位局部最优解
其中
=sin（
）,
=sin（
）.
可得最优解为:
=0.7980,
=0.8857，最优值
=106.即
=
，
=
。
且每排车位数
=23，
=18，
=16，
=21，
=27，总车位数为105；
车道宽度
=3.69，
=3.44，
=6.72，其中
表示第i排和第j排之间的车道宽，如图7。
图8泊车位示意图
4.5停车场综合评价
4.5.1权重的求解及停车场的效度评价
在4.3模型的基础上求解。
考虑到时间问题，我们小组收集数据时，采取了利用计算机模拟给出，在对各项属性值进行具体的随机产生时，我们考虑到了各属性值的实际分布范围，如下表：
表3各属性值的实际分布范围
车行便捷满意度步行便捷满意度收费满意度环境满意度停车平均周转率
0.4—0.90.2—0.80.4—10.5—1>0
停车场利用率平均车位占面积车出入泊位难易度高峰时段停放指数
0--115--300--10.5---2
所以在对产生的随机数进行了适当的限制，我们利用C程序（见附录二），得到了符合实际的主观和客观决策矩阵：
表4客观决策矩阵A
主观时间
停车平均周转率
停车场利用率
平均车位占面积
车出入泊位难易度
高峰时段停放指数
1月
3.45
0.321
20
0.231
1.38
2月
5.12
0.704
18
0.748
1.67
3月
2.17
0.306
25
0.214
1.19
4月
3.15
0.526
23
0.512
1.54
5月
3.45
0.266
19
0.313
0.98
6月
4.13
0.322
25
0.385
1.25
7月
2.16
0.235
21
0.241
0.91
8月
3.53
0.453
18
0.419
1.36
9月
2.45
0.372
19
0.385
1.18
10月
4.21
0.533
21
0.296
1.51
11月
4.24
0.684
19
0.621
1.58
12月
5.34
0.629
17
0.687
1.63
表5主观决策矩阵B
客观时间
车行便捷满意度
步行便捷满意度
收费满意度
环境满意度
1月
0.75
0.54
0.68
0.87
2月
0.57
0.38
0.76
0.91
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