二次函数应用题归类辅导讲义.docx

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二次函数应用题归类辅导讲义

二次函数应用题归类辅导讲义

【基本思想】

一、转化思想————实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。

1、方案设计最优问题：

费用最低？

利润最大？

储量最大？

等等。

2、面积最优化问题：

全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题。

二、建模思想————从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。

1、建立图像模型：

自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。

2、方程模型和不等式模型：

根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。

3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。

三、运动思想————图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。

四、分类讨论的思想————二次函数与其他知识的综合题时经常用到。

【最值的确定方法】

1．二次函数在没有范围条件下的最值：

二次函数的一般式

（

）化成顶点式

，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．

即当

时，函数有最小值，并且当

，

；

当

时，函数有最大值，并且当

，

．

2．二次函数在有范围条件下的最值：

如果自变量的取值范围是

，如果顶点在自变量的取值范围

内，则当

，

，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内

随

的增大而增大，则当

时，

，当

时，

；如果在此范围内

随

的增大而减小，则当

时，

，当

时，

．

〖中考分类汇总分析〗

一、分段函数型

1.某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件.

（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；

（2）设每月的销售利润为W，请直接写出与的函数关系式；

（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元？

二、与不等式结合型

2.某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。

调查表明：

这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。

（1）请写出每月售出书包的利润y（元）与每个书包涨价x（元）间的函数关系式；

（2）设某月的利润为10000元，此利润是否为该月的最大利润，请说明理由；

（3）请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于6000元?

3.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元？

（3）当售价的范围是是多少时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元？

三、前期投入，亏损、盈利型

4.杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元。

按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量

（万件）与产品售价

（元）之间的函数关系如图所示。

（1）求

与

之间的函数关系式，并写出

的取值范围；

（2）第一年公司是盈利还是亏损？

求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；

（3）在

（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。

四、面积有关问题

5.星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。

已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米。

（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；

（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围。

练习：

6.用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF=0.5米．（铝合金条的宽度忽略不计）

（1）求窗框的透光面积S（平方米）与窗框的宽x（米）之间的函数关系式；

（2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？

最大面积是多少？

（3）当窗框的面积不小于10平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．

五、二次函数与建模（高频型）

7.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．

（1）建立适当的平面直角坐标系．，使水管顶端的坐标为（0，2.25），水柱的最高点的坐标为（1，3），求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；

（2）如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3m，最内轨道的半径为rm，其上每0.3m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？

练习：

8.如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

（2）足球第一次落地点距守门员多少米？

（取

）

（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？

（取

）

六、细节变化、陷阱题

9.中百超市每天购进一种水产品300千克，其进货成本（含运输费）是每千克3元，根据超市规定，这种水产品只能当天销售，并且每千克的售价不能超过10元，一天内没有销售完的水产品只能按2元处理给食品深加工公司，而且这种水产品每天的损耗率是10%，根据市场调查这种水产品每天在市场上的销售量y（单位：

千克，y≥0）与每千克的销售价x（元）之间的函数关系如下图所示：

（1）求出每天销售量y与每千克销售价x之间的函数关系式；

（2）根据题中的分析：

每天销售利润w最多是多少元？

（3）请你直接回答：

当每千克销售价为多少元时，每天的销售利润不低于960元？

练习：

10.九·五股份有限公司在汉口北投资新建了一商场，黄有商铺30间，据预测，当每间的年租金为10万元时，可全部租出；每间的年租金每增加5000元，少租出商铺一间，该公司要为租出的商铺每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。

（1）当租金为13万元时，能租出多少间商铺？

（2）当每间商铺的年租金定为多少时，该公司的年收益最大？

（3）若公司要求收益不低于275万元，则年租金定在什么范围？

11.一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系：

．设经销商每月获得利润为w（元）

（1），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

最大利润是多少元？

（2）如果经销商想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果经销商想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

〖巩固练习〗

1.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．

（1）设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；

（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．

（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=Q－收购总额）？

2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润

与投资量

成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润

与投资量

成二次函数关系，如图12-②所示（注：

利润与投资量的单位：

万元）

（1）分别求出利润

与

关于投资量

的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？

他能获取的最大利润是多少？

3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图16所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图17所示），求抛物线的解析式；

（2）求支柱

的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？

请说明你的理由．

4.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积。