八年级数学上册单元教案第十四章整式的乘法与因式分解.docx
《八年级数学上册单元教案第十四章整式的乘法与因式分解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学上册单元教案第十四章整式的乘法与因式分解.docx（41页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
八年级数学上册单元教案第十四章整式的乘法与因式分解
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．1 整式的乘法
14．1.1 同底数幂的乘法
教学目标
1.通过计算、观察，理解同底数幂的乘法法则．
2.会运用法则，熟练地进行同底数幂的乘法运算．
预习反馈
阅读教材P95～96“探究及例1”，完成下列问题．
1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an＝a（m＋n）（m，n都是正整数）．
2.计算：
（1）52×53＝5×5×5×5×5＝5（5）；
（2）32×34＝3×3×3×3×3×3＝3（6）；
（3）a3·a4＝（a·a·a）·（a·a·a·a）＝a（7）；
（4）103×105＝10（8）；
（5）（－2）10×（－2）5＝（－2）15；
（6）bm·bm＋1＝b2m＋1．
名校讲坛
例1 （教材P96例1）计算：
（1）x2·x5；
解：
x2·x5＝x2＋5＝x7.
（2）a·a6；
解：
a·a6＝a1＋6＝a7.
温馨提示：
a＝a1，不要漏掉单独字母的指数1.
（3）（－2）×（－2）4×（－2）3；
解：
（－2）×（－2）4×（－2）3＝（－2）1＋4＋3＝（－2）8＝256.
（4）xm·x3m＋1.
解：
xm·x3m＋1＝xm＋3m＋1＝x4m＋1.
【点拨】 从三方面正确理解“同底数幂的乘法法则”：
（1）底数必须相同；
（2）相乘时，底数不能发生变化；
（3）指数相加的和作为结果幂的指数．
例2 （教材P96例1的变式）计算：
（1）－x6·（－x）10；
解：
原式＝－x6·x10＝－x16.
【点拨】 把不同底数幂转化为同底数幂时要注意符号的变化．
（2）（a＋2）2·（a＋2）3；
解：
原式＝（a＋2）2＋3＝（a＋2）5.
【点拨】 当底数为一个多项式时，把这个多项式看成一个整体．
（3）am·an·ap.
解：
原式＝am＋n＋p.
【点拨】 如果三个或者三个以上的同底数幂相乘，同底数幂的法则同样适用．
【跟踪训练1】 （《名校课堂》14.1.1习题）计算：
（1）a·a9；
解：
原式＝a1＋9＝a10.
（2）（－
）2×（－
）3；
解：
原式＝（－
）2＋3＝（－
）5.
（3）x3n·x2n－2.
解：
原式＝x3n＋2n－2＝x5n－2.
例3 （教材补充例题）已知ax＝2，ay＝3（x，y为整数），求ax＋y的值．
解：
ax＋y＝ax·ay＝2×3＝6.
【点拨】 同底数幂的乘法法则的逆用：
1.法则的逆用：
am·an＝am＋n（m，n都是正整数）从右向左为am＋n＝am·an（m，n都是正整数），以此类推ap＋…＋q＝ap·…·aq（p，…，q都是正整数）．
2.逆用的条件：
当幂的指数是和的形式时，可考虑变为同底数幂的乘法，结合已知条件灵活变形，使计算简便．
【跟踪训练2】 （《名校课堂》14.1.1习题）已知4x＝8，4y＝32，求x＋y的值．
解：
4x·4y＝8×32＝256＝44，而4x·4y＝4x＋y，
∴x＋y＝4.
巩固训练
1.化简a2·a的结果是（B）
A.a2B.a3C.a4D.a5
2.下列各式中，计算正确的是（B）
A．m5·m5＝2m10B．m4·m4＝m8
C．m3·m3＝m9D．m6＋m6＝2m12
3.已知a2·ax－3＝a6，那么x的值为7．
4.一个长方形的长是4.2×104cm，宽是2×104cm，求此长方形的面积及周长．
解：
根据长方形的面积公式，得
4．2×104×2×104＝8.4×108（cm2）．
根据长方形的周长公式，得
4．2×104×2＋2×104×2＝8.4×104＋4×104＝12.4×104＝1.24×105（cm）．
课堂小结
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？
在运用时要注意什么？
14.1.2 幂的乘方
教学目标
1.通过计算、观察，理解幂的乘方法则．
2.会运用法则，熟练地进行幂的乘方的运算．
预习反馈
阅读教材P96～97“探究及例2”，完成下列问题．
1.幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（am）n＝a（mn）（m，n都是正整数）．
2.计算：
（1）（52）3＝52×52×52＝5（6）；
（2）（an）2＝an·an＝a（2n）；
（3）（102）4＝108；（4）（x2）3＝x6；
名校讲坛
例1 （教材P96例2）计算：
（1）（103）5；
（2）（a4）4； （3）（am）2； （4）－（x4）3.
解：
（1）（103）5＝103×5＝1015.
（2）（a4）4＝a4×4＝a16.
（3）（am）2＝am×2＝a2m.
（4）－（x4）3＝－x4×3＝－x12.
例2 （教材P96例2的变式）计算：
（1）（am＋1）3；
解：
原式＝a3m＋3.
【点拨】 将a的指数（m＋1）看作一个整体与3相乘．
（2）[（x－y）3]2；
解：
原式＝（x－y）6.
【点拨】 把（x－y）看作一个整体进行幂的乘方运算．
（3）[（x2）3]7.
解：
原式＝（x6）7＝x42.
【点拨】 多重乘方可以重复运用幂的乘方法则，即[（am）n]p＝amnp（m，n，p都是正整数）．
【跟踪训练1】 （《名校课堂》14.1.2习题）计算：
（1）（102）8；
解：
原式＝102×8＝1016.
（2）（xm）2；
解：
原式＝xm×2＝x2m.
（3）[（－a）3]5；
解：
原式＝（－a）3×5＝（－a）15＝－a15.
（4）－（x2）m.
解：
原式＝－x2×m＝－x2m.
例3 （教材补充例题）若92n＝38，求n的值．
解：
依题意，得92n＝（32）4，即92n＝94.
∴2n＝4.∴n＝2.
【点拨】 幂的乘方法则的逆用：
amn＝（am）n＝（an）m（m，n都是正整数）．
【跟踪训练2】 （《名校课堂》14.1.2习题）已知：
10m＝3，10n＝2，求
（1）103m；
（2）102n；（3）103m＋2n的值．
解：
（1）103m＝（10m）3＝33＝27.
（2）102n＝（10n）2＝22＝4.
（3）103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
巩固训练
1.计算（－a3）2的结果是（D）
A．－a5B．a5C．－a6D．a6
2.下列运算正确的是（D）
A．a·a3＝a3B．2（a－b）＝2a－b
C．（a3）2＝a5D．a2－2a2＝－a2
3.计算（a3）2·a2的结果是（B）
A．a7B．a8C．a10D．a11
4.计算：
（1）（－x2）3·x5；
（2）（y4）2＋（y2）3·y2.
解：
（1）原式＝－x11.
（2）原式＝2y8.
课堂小结
1.幂的乘方法则：
（am）n＝amn（m，n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2.拓展：
（1）推广：
[（am）n]p＝amnp（m，n，p都是正整数）；
（2）逆用：
amn＝（am）n＝（an）m（m，n都是正整数）.14.1.3 积的乘方
教学目标
1.通过计算、观察，理解积的乘方的运算性质及其推导过程．
2.正确地运用积的乘方法则进行计算．
预习反馈
阅读教材P97～98“探究及例3”，完成下列问题．
1.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n＝a（n）b（n）（n为正整数）．
2.计算：
（1）（ab）2＝（ab）·（ab）＝a·a·b·b＝a
（2）b
（2）；
（2）（3b）4＝（3b）·（3b）·（3b）·（3b）＝3×3×3×3·b·b·b·b＝3（4）b（4）＝81b4；
（3）（xy）5＝x（5）y（5）；
（4）（
c）3＝
c3．
名校讲坛
例1 （教材P97例3）计算：
（1）（2a）3；
（2）（－5b）3； （3）（xy2）2； （4）（－2x3）4.
解：
（1）（2a）3＝23·a3＝8a3.
（2）（－5b）3＝（－5）3·b3＝－125b3.
（3）（xy2）2＝x2·（y2）2＝x2y4.
（4）（－2x3）4＝（－2）4·（x3）4＝16x12.
【点拨】 积的乘方运算时的“三点注意”：
（1）当底数为多个因式时，易漏掉某些因式乘方；
（2）进行积的乘方时，易忽略系数因数的“－”号；
（3）进行积的乘方时，易将系数直接与幂指数相乘．
例2 （教材P97例3的变式）计算：
（1）（－3a2b3）4；
解：
原式＝（－3）4·（a2）4·（b3）4＝81a8b12.
【点拨】 积的乘方法则对于三个或三个以上因式的积的乘方仍然适用，即（abc）n＝anbncn（n是正整数）．
（2）（
）2017×（
）2018.
解：
原式＝（
×
）2017×
＝1×
＝
.
【点拨】 逆用积的乘方法则anbn＝（ab）n（n为正整数）可使计算简便．
【跟踪训练】 （《名校课堂》14.1.3习题）计算：
（1）（2ab）3；
解：
原式＝23·a3·b3＝8a3b3.
（2）（－3x）4；
解：
原式＝（－3）4·x4＝81x4.
（3）（xmyn）2；
解：
原式＝（xm）2·（yn）2＝x2my2n.
（4）（－3×102）4.
解：
原式＝（－3）4×（102）4＝81×108＝8.1×109.
巩固训练
1.计算：
（ab2）3＝（C）
A．3ab2B．ab6C．a3b6D．a3b2
2.计算（－2a2b）3的结果是（B）
A．－6a6b3B．－8a6b3C．8a6b3D．－8a5b3
3.若xn＝4，yn＝9，则（xy）n＝36．
4.计算：
（1）（－2x3y2z）3；
解：
原式＝－8x9y6z3.
（2）（3a2）3＋（a2）2·a2；
解：
原式＝28a6.
（3）a·a3·a4＋（－a2）4＋（－2a4）2.
解：
原式＝6a8.
课堂小结
1.积的乘方法则：
（ab）n＝anbn（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．拓展：
（1）推广：
（abc）n＝anbncn（n是正整数）；
（2）逆用：
anbn＝（ab）n（n为正整数）.
14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
教学目标
1.理解单项式与单项式相乘的法则．
2.运用单项式与单项式的乘法法则进行计算．
预习反馈
阅读教材P98～99“思考及例4”，完成下列问题．
1单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2.计算：
（1）2xy·3xyz＝（2×3）·（x·x）（y·y）·z＝6x2y2z；
（2）（2a）2·（－3a2b）＝4a2·（－3a2b）＝[4×（－3）][a
（2）·a
（2）]·b＝－12a4b；
（3）3x2y·（－2xy3）＝－6x3y4；
（4）（3x2y）3·（－4x）＝－108x7y3．
名校讲坛
例1 （教材P98例4）计算：
（1）（－5a2b）（－3a）；
（2）（2x）3（－5xy2）．
解：
（1）（－5a2b）（－3a）＝[（－5）×（－3）]（a2·a）·b＝15a3b.
（2）（2x）3（－5xy2）＝8x3·（－5xy2）＝[8×（－5）]（x3·x）·y2＝－40x4y2.
【点拨】 单项式乘单项式的“三点注意”：
（1）在计算时，应先确定积的符号；
（2）按计算顺序进行；
（3）不要丢掉只在一个单项式里含有的字母．
例2 （教材补充例题）计算：
（1）3ab2c·（2a2b）·（－abc2）3；
解：
原式＝3ab2c·（2a2b）·（－a3b3c6）＝－6a6b6c7.
【点拨】 在混合运算中：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有同类项的一定要合并同类型，使结果最简．
（2）－6x2y·（a－b）3·
xy2·（b－a）2.
【点拨】 将（a－b）看作一个整体，一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些．
解：
原式＝－6x2y·
xy2·（a－b）3·（a－b）2
＝－2x3y3（a－b）5.
【跟踪训练】 （《名校课堂》14.1.4第1课时习题）计算：
（1）2x2y·（－4xy3z）；
解：
原式＝[2×（－4）]（x2·x）·（y·y3）·z＝－8x3y4z.
（2）5a2·（3a3）2；
解：
原式＝5a2·9a6＝45a8.
（3）（－
x2y）3·3xy2·（2xy2）2.
解：
原式＝－
x6y3·3xy2·4x2y4＝－
x9y9.
巩固训练
1．计算3a·2b的结果是（D）
A.3abB.5abC.6aD.6ab
2．计算－3a2·a3的结果是（A）
A.－3a5B.3a6C.－3a6D.3a5
3．下列运算中，正确的是（C）
A．（－a）2·（a3）2＝－a8B．（－a）（－a3）2＝a7
C．（－2a2）3＝－8a6D．（ab2）2（a2b）＝a3b5
4．计算：
（1）3a·a3－（2a2）2；
（2）2x6y2·x3y＋（－25x8y2）（－xy）；
（3）（－2a2）·（－ab2）3·2a2b3.
解：
（1）原式＝－a4.
（2）原式＝27x9y3.（3）原式＝4a7b9.
课堂小结
单项式乘单项式的“三点规律”：
（1）利用乘法交换律、结合律转化为数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄；
（2）不论几个单项式相乘，都可以用这个法则；
（3）单项式乘单项式的结果仍是单项式．
第2课时 单项式与多项式相乘
教学目标
1.理解单项式与多项式相乘的法则．
2.运用单项式与多项式的乘法法则进行计算．
预习反馈
阅读教材P100“例5”，完成下列问题．
1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
2.计算：
（1）5a（a2－b）＝5a·（a2）＋5a·（－b）＝5a3－5ab；
（2）（－2x）（x2－3x）＝（－2x）·（x2）＋（－2x）·（－3x）＝－2x3＋6x2；
（3）3a（a－1）＝3a2－3a；
（4）（－2a2）（3ab2－5ab3）＝－6a3b2＋10a3b3．
名校讲坛
例1 （教材P100例5）计算：
（1）（－4x2）（3x＋1）；
（2）（
ab2－2ab）·
ab.
【点拨】 把单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题．
解：
（1）（－4x2）（3x＋1）＝（－4x2）（3x）＋（－4x2）×1＝（－4×3）（x2·x）＋（－4x2）＝－12x3－4x2.
（2）（
ab2－2ab）·
ab＝
ab2·
ab＋（－2ab）·
ab＝
a2b3－a2b2.
【方法归纳】 单项式与多项式相乘：
理论依据是乘法的分配律；单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；计算时都要注意符号问题，多项式中每一项都包括它的符号，同时要注意单项式的符号．
例2 （教材补充例题）先化简，再求值：
x2（3－x）＋x（x2－2x）＋1，其中x＝3.
解：
原式＝3x2－x3＋x3－2x2＋1＝x2＋1.
当x＝3时，原式＝32＋1＝10.
【点拨】 所谓的化简即去括号，合并同类项．
【跟踪训练】 （《名校课堂》14.1.4第2课时习题）计算：
（1）（2xy2－3xy）·2xy；
解：
原式＝2xy2·2xy－3xy·2xy＝4x2y3－6x2y2.
（2）－x（2x＋3x2－2）；
解：
原式＝－x·2x＋（－x）·3x2＋（－x）·（－2）＝－2x2－3x3＋2x.
（3）－2ab（ab－3ab2－1）．
解：
原式＝－2ab·ab＋（－2ab）·（－3ab2）＋（－2ab）·（－1）＝－2a2b2＋6a2b3＋2ab.
巩固训练
1.计算2a（a2－1）的结果是（A）
A．2a3－2aB．2a3＋a
C．2a3＋2aD．a3＋2a
2.计算（－4m2）·（3m＋2）的结果是（C）
A.－12m3＋8m2B．12m3－8m2
C.－12m3－8m2D．12m3＋8m2
3.一个三角形的底边为4m，高为m＋4n，它的面积为（C）
A．m2＋4mnB．4m2＋8mn
C．2m2＋8mnD．8m2＋4mn
4.先化简，再求值：
3a（2a2－4a＋3）－2a2（3a＋4），其中a＝－2.
解：
原式＝－20a2＋9a.
把a＝－2代入上式，得原式＝－20×4＋9×（－2）＝－98.
课堂小结
单项式与多项式相乘的理论依据是乘法的分配律；单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；计算时都要注意符号问题，多项式中每一项都包括它的符号，同时要注意单项式的符号．
第3课时 多项式与多项式相乘
教学目标
1.理解多项式与多项式相乘的法则．
2.运用多项式与多项式的乘法法则进行计算．
预习反馈
阅读教材P100～101“问题3和例6”，完成下列问题．
1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2.计算：
（1）（a－4）（a＋10）＝a·a＋a·10＋（－4）·a＋（－4）·10＝a2＋6a－40；
（2）（x－1）（x－2）＝x·x＋x·（－2）＋（－1）·x＋（－1）·（－2）＝x2－3x＋2；
（3）（xy＋1）（xy－1）＝xy·xy＋xy·（－1）＋1·xy＋1·（－1）＝x2y2－1；
（4）（2a＋1）（2a＋1）＝2a·2a＋2a·1＋1·2a＋1·1＝4a2＋4a＋1．
名校讲坛
例1 （教材P101例6）计算：
（1）（3x＋1）（x＋2）；
（2）（x－8y）（x－y）；
（3）（x＋y）（x2－xy＋y2）．
解：
（1）（3x＋1）（x＋2）＝（3x）·x＋（3x）×2＋1·x＋1×2＝3x2＋6x＋x＋2＝3x2＋7x＋2.
（2）（x－8y）（x－y）＝x2－xy－8xy＋8y2＝x2－9xy＋8y2.
（3）（x＋y）（x2－xy＋y2）＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3.
【点拨】 多项式与多项式相乘需注意：
（1）相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数等于原多项式的项数之积；
（3）相乘后，若有同类项，则合并同类项．
例2 （教材补充例题）先化简，再求值：
（x－2y）（x＋3y）－（2x－y）（x－4y），其中x＝－1，y＝2.
解：
原式＝x2＋3xy－2xy－6y2－（2x2－8xy－xy＋4y2）
＝x2＋3xy－2xy－6y2－2x2＋8xy＋xy－4y2
＝－x2＋10xy－10y2.
当x＝－1，y＝2时，原式＝－（－1）2＋10×（－1）×2－10×22＝－61.
【点拨】 第二个多项式与多项式相乘的结果先用括号括起来，再去括号，这样避免出现符号问题，乘完要合并同类项．
【跟踪训练】 （《名校课堂》14.1.4第3课时习题）计算：
（1）（m＋1）（2m－1）；
解：
原式＝2m2－m＋2m－1＝2m2＋m－1.
（2）（2a－3b）（3a＋2b）；
解：
原式＝6a2＋4ab－9ab－6b2＝6a2－5ab－6b2.
（3）（2x－3y）（4x2＋6xy＋9y2）；
解：
原式＝8x3＋12x2y＋18xy2－12x2y－18xy2－27y3＝8x3－27y3.
（4）
（2x－y）（x＋y）；
解：
原式＝
（2x2＋xy－y2）＝x2＋
xy－
y2.
（5）a（a－3）＋（2－a）（2＋a）．
解：
原式＝a2－3a＋4＋2a－2a－a2＝－3a＋4.
巩固训练
1.计算：
（x＋1）（x－2）＝（A）
A．x2－x－2B．x2＋x－2
C．x2－x＋2D．x2＋x＋2
2.若（a＋3）（2a－5）＝2a2＋ma－15，则m的值是（C）
A．－2B．2
C．1D．－1
3.若多项式乘法（mx＋8）（2－3x）的展开式中不含x项，则m的值为（C）
A．－12B．3C．12D．24
4.计算：
（1）（2a－3b）（a＋2b）－a（2a－b）；
（2）（x＋7）（x＋5）－（x＋1）（x＋5）．
解：
（1）原式＝2ab－6b2.
（2）原式＝6x＋30.
课堂小结
多项式与多项式相乘时，必须做到不重不漏，并注意合并同类项．
第4课时 整式的除法
教学目标
1.掌握同底数幂的除法运算法则及应用，了解零指数幂的意义．
2.掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用．
3.掌握多项式除以单项式的运算法则及其应用．
预习反馈
阅读教材P102～103“例7”“例8”，完成下列问题．
1.同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an＝a（m－n）（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．
2.任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a0＝1（a≠0）．
3.单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
4.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
5.计算：
（1）a6÷a＝a5；
（2）（－1）0＝1；
（3）8a3÷2a＝（8÷2）·a（3－1）＝4a2；
（4）12a2x5÷3ax2＝4ax3；
（5）（6x3y＋2xy2）÷2xy＝6x3y÷2xy＋2xy2÷2xy＝3x2＋y．
（6）（a2＋ab）÷a＝a＋b．
名校讲坛
例1 （教材P103例7）计算：
（1）x8÷x2；
（2）（ab）5÷（ab）2.
解：
（1）x8÷x2＝x8－2＝x6.
（2）（ab）5÷（ab）2＝（ab）5－2＝（ab）3＝a3b3.
【点拨】 运用同底数幂的除法法则需注意：
（1）被除式与除式的底数必须相同，且不为0；
（2）指数相减不要错用为用除；
（3）有些题目从表面看不能用同底数幂的除法法则，但通过适当变形可化为同底数幂相除的形式；
（4）注意法则的逆运用，即am－n＝am÷an，当幂指数是差的形式时可考虑化为同底数的幂相除．
【跟踪训练1】 （《名校课堂》14.1.4第4课时习题）计算：
（1）（－a）6÷（－a）2；
解：
原式＝（－a）4＝a4.
（2）（－ab）5÷（－ab）3；
解：
原式＝（－ab）2＝a2b2.
（3）（x－y）5÷（y－x）2.
解：
原式＝（x－y）5÷（x－y）2＝（x－y）3.
例2 （教材补充例题）
（1）计算：
（3.14－π）0＝1；
（2）当（2x－4）0＝1时，x的取值范围是x≠2．
【点拨】 正整数指数幂与零指数幂的“两个区别”：
（1）二者的来源不同：
正整数指数幂是由相同因数的积得来的，零指数幂是由同底数幂的除法得来的；
（2）二者底数的条件不同：
正整数指数幂的底数可以是任何实数，而零指数幂的底数不能为0.
例3 （教材P103例8）计算：
（1）28x4y2÷7x3y；
（2）－5a5b3c÷15a4b；
（3）（12a3－6a2＋3a）÷3a.
解：
（1）28x4y2÷7x3y＝（28÷7）·x4－3·y2－1＝4xy.
（2）－5a5b3c÷15a4b＝[（
升级会员 