中考复习之统计与概率.docx
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中考复习之统计与概率
概率统计
知识要点
一、统计
1．总体与样本：
所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分各题叫做总体的一个样本，样本中各题数目叫做样本的容量。
例如：
全班同学的身高数据构成一个总体，其中每一个同学的身高叫做个体，现取出10个同学的身高进行研究，这10个同学的身高数据就是全班同学身高数据这个总体的一个样本，10就是这个样本的样本容量。
2．众数，中位数
众数：
一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数。
例如：
10，11，15，11，13，12，15，10，11，11，15这一组数据中，11出现了4次，次数最多，所以11就是这组数据的众数。
中位数：
将一组数据按从大到小的顺序依次排列，处在最中间位置的数据叫做中位数；需要注意的是，如果数据的个数是偶数个，则中位数是中间两个数字的算术平均值。
例如：
18，17，15，13，13，10这一组数据中，因为数据的个数是偶数个，所以中位数是中间两个数的算术平均值，就是15和13的平均数14。
3．求平均数的两个公式
（1）
个数
、
……
的平均数为：
；
（2）如果在
个数中，
出现了
次，
出现了
次……
出现了
次，则这组数据的平均数为：
。
4．极差与方差
（1）一组数据中，用这组数据的最大值减去最小值所得的差就是极差，极差是用来反映这组数据的变化范围的统计量，即：
极差=最大值-最小值；
（2）一组数据的方差为：
方差是用来表示一组数据的集中程度的统计量。
5．常用统计图
（1）扇形统计图：
扇形统计图中的圆心角等于这部分所占总体的比例乘以360°；
（2）条形统计图
（3）折线统计图
６．频数和频率
⑴频数：
每个对象出现的次数
⑵频率：
每个对象出现的次数与总次数的比值
⑶频数、频率均能反映每个对象出现的频繁程度．
二、概率
1．概率的定义
表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事物的概率，可记作“P”．
2．可能还是确定
⑴“不可能”发生：
指每次都完全没有机会发生，即发生的机会是０．
⑵“必然”发生：
指每次一定发生，即发生的机会是１００％．
⑶可能发生：
指有时会发生，有时不会发生，即发生的机会介于０和１００％之间，但不包括０和１００％．
⑷“不太可能”：
指发生的机会很小，可以小到很小，但仍然会发生，即它的可能性不是０．
3．估计随机事件发生的概率的方法
⑴通过多次重复试验的方法；
⑵通过逻辑分析用列举法（包括列表、画树状图）计算的方法．
4．频率与概率的关系
频率与概率在实验可以非常接近，但不一定相等．
5．实例
⑴投针实验
投针实验力图使学生通过亲身的实验、统计过程获得用实验方法估计复杂事件发生的概率的体验，使扎实的认识到当实验次数较大时实验频率稳定于理论概率，但在投针实验中须注意要从一定高度随意抛针，保证投针的随机性．
⑵游戏公平吗
看一个游戏是否公平，只要看游戏的双方是否各有５０％赢的机会，如果不是，那么这个游戏就是不公平的，要想使它变成公平，就要修改游戏规则．
一个公平的游戏，出现双方可能性的机率是相等的．
有的游戏可以通过试验，也可以用列表的形式进行穷举．
典例解析
1.（2011广东广州市，22，12分）某中学九年级（3）班50名学生参加平均每周上网时间的调查，由调查结果绘制了频数分布直方图（图6），根据图中信息回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）用列举法求以下事件的概率：
从上网时间在6~10小时的5名学生中随机选取2人，其中至少1人的上网时间在8~10小时．
解：
（1）a=50－6－25－3－2=14
（2）设上网时间为6~8小时的三个学生为A1，A2，A3，上网时间为8~10个小时的2名学生为B1，B2，则共有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，
A2A3，A2B1，A2B2
A3B1，A3B2
B1B2
10种可能，其中至少1人上网时间在8~10小时的共有7种可能，故
P（至少1人的上网时间在8~10小时）=0.7
2.（2011四川南充市，16，6分）在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4.随机地摸取出一张纸牌然后放回，在随机摸取出一张纸牌.
（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；
（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜。
这是个公平的游戏吗？
请说明理由.
解：
用树状图法
第一次：
1234
1234123412341234
和2345345645675678
解法二：
列表法
列表如下：
甲乙
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
.3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等.
（1）两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P（A）=
=
（2）这个游戏公平，理由如下：
两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P（B）=
=
两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有8个，P（C）=
=
两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平.
3.（2011宁波市，20，6分）在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球1个，摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，请用列表或树形图法求两次都摸到红球的概率．
【答案】解：
树形图如下：
列表如下：
白
黄
红
白
白白
白黄
白红
黄
黄白
黄黄
黄红
红
红白
红黄
红红
则P（两次都摸到红球）＝．
4.（2011浙江衢州，20,6分）
研究问题：
一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球于黄球.这样估算不同颜色球的数量？
操作方法：
先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，在进行摸球实验.摸球实验的要求：
先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中再继续.
活动结果：
摸球实验活动一共做了50次，同级结果如下表：
球的颜色
无记号
有记号
红色
黄色
红色
黄色
摸到的次数
18
28
2
2
推测计算：
有上述的摸球实验可推算：
盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
盒中有红球多少个？
解：
（1）由题意可知；50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球30次，
所以红球所占百分比为
黄球所占百分比为
答：
红球占
黄球占
（2）由题意可知，50次摸球实验活动中，出现有记号的球4次，所以总球数为
。
所以红球数为
。
答：
盒中红球有40个。
跟踪训练
1.（2011广东东莞，4，3分）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（）
A．
B．
C．
D．
2.（2011福建福州，8，4分）从1,2,-3三个数中,随机抽取两个数相乘,积是正数的概率是（）
A．0B．
C．
D．1
3.（2011山东滨州，4，3分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（）
A.
B.
C.
D.1
4.（2011山东日照，8，3分）两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为（）
（A）
?
（B）
?
（C）
（D）
5.（2011山东泰安，16，3分）袋中装有编号为1，2，3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号后，放入袋中搅匀，再从袋中随机取出一球，两次所取球的编号相同的概率为
A.B.C.D.
6（2011浙江金华，14，4分）从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是.
7.（2011浙江省舟山，12，4分）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是 ．
8.（2011福建福州，12，4分）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为
:
.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上,则落在陆地上的概率是.
9.（2011山东德州15,4分）在4张卡片上分别写有1~4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是
10.（2011山东菏泽，13，3分）从－2、－1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程
的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是．
11.（2011山东济宁，14，3分）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是.
12.（2011山东泰安，24，3分）甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表，其中乙的第5次成绩的个位数字被污损
则乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是。
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
90
88
87
93
92
乙
84
87
85
98
9
13.（2011山东烟台，15,4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是.
14（2011浙江温州，21，10分）一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个球是白球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；
（3）现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为
，求n的值．
15.（2011四川重庆，23，10分）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？
并将该条形统计图补充完整；
（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．
16．（2011江西，18，6分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，
⑴请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
⑵若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率。
17.（2011福建泉州，22，9分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y.
（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数
的图象上的概率；
（3）求小明、小华各取一次小球所确定的数x、y满足
的概率.
高效培优
1.（2011浙江绍兴，7，4分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为
，则黄球的个数为（）
A.2B.4C.12D.16
2.（2011浙江义乌，9，3分）某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷
锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（）
A．B．C．D．
3．（2011浙江省嘉兴，12，5分）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是 ．
4.（2011台湾台北，3）表
（一）表示某签筒中各种签的数量。
已知每支签被抽中的机会均相等，自此筒中抽出一支签，则抽中红签的机率为何？
A.
B.
C.
D.
5.（2011台湾全区，23）一签筒内有四支签，分别标记号码1、2、3、4．已知小武以每次取一支且取后不放回的方式，取两支签，若每一种结果发生的机会都相同，则这两支签的号码数总和是奇数的机率为何？
A．
B．
C．
D．
6.（2011甘肃兰州，7，4分）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是
A．m=3，n=5B．m=n=4C．m+n=4D．m+n=8
7.（2011江苏连云港，6，3分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为
，下列说法正确的是（）
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
8.（2011广东汕头，4，3分）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（）
A．
B．
C．
D．
9.（2011山东聊城，6，3分）下列事件属于必然事件的是（）
A．在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾；
B．明天我市最高气温为56℃；
C．中秋节晚上能看到月亮
D．下雨后有彩虹
10.（2011安徽，5，4分）从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M：
“这个四边形是等腰梯形”．下列判断正确的是（）
A．事件M是不可能事件B．事件M是必然事件
C．事件M发生的概率为D．事件M发生的概率为
11.（2011山东济宁，7，3分）在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是
A．１B．
C．
D．
12．（2011广东省，4，3分）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（）
A．
B．
C．
D．
13.（2011山东临沂，10，3分）如图，A、B是数轴上的亮点，在线段AB上任取一点C，则点C到表示－1的点的距离不大于2的概率是（）
A．
B．
C．
D．
14.（2011浙江湖州，13，4）某校对初三
（2）班40名学生体育考试中“立定跳远”项目的得分情况进行了统计，结果如下表：
根据表中数据，若随机抽取该班的一名学生，则该学生“立定跳远”得分恰好是10分的概率是____
15．（2011浙江省，12，3分）如图，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P（3），指针指向标有“4”所在区域的概率为P（4），则
P（3）P（4）,（填“>”、“=”或“<”）
16.（2011浙江台州，12,5分）袋子中装有2个黑球，3个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同，随机从袋子中取出一个白球的规概率是
17.（2011四川重庆，15，4分）有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程＋2＝有正整数解的概率为．
18.（2011浙江丽水，14，4分）从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是.
19.（2011湖南邵阳，14，3分）已知粉笔盒内共有4支粉笔，其中有3支白色粉笔盒1支红色粉笔，每支粉笔除颜色外，其余均相同。
现从中任取一支粉笔是红色粉笔的概率是_____。
20.（2011湖南益阳，13，4分）在
，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，过P点画双曲线
，该双曲线位于第一、三象限的概率是．
21.（2011广东株洲，16，3分）如图，第
（1）个图有1个黑球；第
（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；
；则从第（
）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是.
22.（2011四川广安，15，3分）在一只不透明的口袋中放人只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球
个，搅匀后随机从中摸取—个恰好是黄球的概率为
，则放人的黄球总数
=_____________
23.（2011重庆江津，17，4分）在一个袋子里装有10个球,6个红球,3个黄球,1个绿球,这些球除颜色外、形状、大小、质地等完全相同,充分搅匀后,在看不到球的条件下,随机从这个袋子中摸出一球,不是红球的概率是__________.
24．（2011重庆綦江，15，4分）在不透明的口袋中，有四个形状、大小、质地完全相同的小球，四个小球上分别标有数字
，2，4，
，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为平面直角坐标系中点P的横坐标，且点P在反比例函数
图象上，则点P落在正比例函数
图象上方的概率是．
25.（2011江苏淮安，16，3分）有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个.为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为.
26.（2011四川凉山州，16，4分）如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是。
27.（2011湖南衡阳，12，3分）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为．
28.（2011湖南永州，6，3分）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖箱中有200张抽奖卡，其中有一等奖5张，二等奖10张，三等奖25张，其余抽奖卡无奖．某顾客购物后参加抽奖活动，他从抽奖箱中随机抽取一张，则中奖的概率为_________．
29.（2011湖南湘潭市，14，3分）端午节吃粽子是中华民族的习惯.今年农历五月初五早餐时，小明妈妈端上一盘粽子，其中有3个肉馅粽子和7个豆沙馅粽子，小明从中任意拿出一个，恰好拿到肉馅粽子的概率是_____.
30.（2011湖北黄冈，17，6分）为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取18瓶进行检测，检测结果分成“优秀”、“合格”、“不合格”三个等级，数据处理后制成以下折线统计图和扇形统计图．
⑴甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？
⑵在该超市购买一瓶乙品牌食用油，请估计能买到“优秀”等级的概率是多少？
31.（2011湖北黄冈，19，7分）有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．
⑴先后两次抽得的数字分别记为s和t，则︱s－t︱≥1的概率．
⑵甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：
若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B方案：
若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．
请问甲选择哪种方案胜率更高？
32.（2011湖北黄石，21，8分）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国内掀起一股网球热，某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：
他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明听讲座。
（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因。
（2）若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由。
33.（2011贵州贵阳，19，10分）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3、4、5、x．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为8”出现的频数
2
10
13
24
30
37
58
82
110
150
“和为8”出现的频率
0.20
0.50
0.43
0.40
0.33
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
解答下列问题：
（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近．估计出现“和为8”的概率是______；
（2）如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以取7吗？
请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值．
34.（2011广东茂名，19，7分）从甲学校到乙学校有
、
、
三条线路，从乙学校到丙学校有
、
二条线路．
（1）利用树状图或列表的方法表示从甲学校到丙学校的线路中所有可能出现的结果；
（2）小张任意走了一条从甲学校到丙学校的线路，求小张恰好经过了
线路的概率是多少？
35（2011广东肇庆，18，6分）如图是一个转盘,转盘分成8个相同的扇形,颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
（2）指针指向黄色或绿色．
36.（2011江苏盐城，21，8分）小明有３支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为白色、灰色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用．试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．
37.（2011贵州安顺，22，10分）有A、B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字－l，－2和－3．小强从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为a，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为b，这样就确定点Q的一个坐标为（a，b）．
⑴用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；
⑵求点Q落在直线y=x－3上的概率．
38.（2011河北，21，8分）如图11，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形）.
（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；
（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”.用列表法（或画树状图）求两人“不谋而合”的概率.
39.（2011湖南湘潭市，22，6分）（本题满分6分）九年级某班组织班团活动，班委会准备买一些奖
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