线性规划在解决股票黑市崩溃带来的破产问题中的应用doc.docx

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线性规划在解决股票黑市崩溃带来的破产问题中的应用

（TheUseofLinearProgramminginDisentangling

theBankruptciesofAl-ManakhStockMarketCrash）

本文编译自OperationsResearchVol.44,No.5（1996）,

原作者:

A.A.Elimam（美国）,M.Girgis（美国）,S.Kotob（科威特）

一个成熟的股票交易市场的支柱是建立在重要的却很少被人了解票据交换和清算过程，它通过收支平衡机制来维持产业金融的整体性。

例如，在美国，这个过程由清算中心以及有组织的交易来完成。

除了普通的操作以外，清算中心还要保证每项交易成功执行，防备潜在的违约发生。

出于这个目的，他们制造了许多的规定和规则。

他们还控制了信用交易，以保证合同方和他们代理人之间的资金交割。

总的来说，他们采用的四种基本的保证措施（Edwards1984,Rutz1984）：

1）征收用于清算支付和价格变动的保证金。

发出当日的变动保证金催缴书，以减少在大规模价格变动中产生的风险；

2）清算基金存款。

清算成员在他们各自的票据交易所存入初始的保证金以清算他们的帐户，并防范违约风险和变现力风险；

3）风险管理信息系统。

包括确定最小的资金需求和顾客的部位限制，维持大规模的顾客报告系统，以及关于清算成员的日常运作风险分析。

4）估价权。

一个票据交易所有明确的权力来结算其成员特定的，用于恢复由于清算成员违约带来的损失的费用。

这个系统包含了立法和政府干预，它足以对付个别的非市场关系的特有风险。

另一方面，联邦储备银行正如它在1987年的危机中表现的一样，能成功地通过低费用的变现方式来转移系统的大规模的市场风险。

1982年科威特证券市场的崩溃是一个完全的对照。

科威特是一个小国家，它的经济很大部分依赖于它的丰富的石油资源。

在1979第三次石油大跌价之初，政府的石油收入在二年内翻了一番，即从23亿科威特元涨至58亿科威特元（这里一个科威特元大约项相当于3.5美元）。

这致使公共开支上升很大，在同一段时间内从17.53亿科威特元上升至22.95亿科威特元。

由于投资机会受到限制和这段时间内经济的顺利发展等因素，产生了一个与科威特官方证券交易市场（KuwaitStockExchange,KSE）并存的非官方证券交易市场。

后者被人们称为Soukal-Manakh（本文译为黑市），它最初开始于那些的以在领近海湾国家注册的公司的股票交易。

这样可以避免重新在科威特注册一家新公司，它也参与地下的科威特联合股票公司的股票交易，这些股份公司不能在KSE挂牌。

由于缺乏规章的限制和过量的流通性，股价急剧上升。

而同时，交易仍由投机需求占主导。

这诱使大量资金涌入这个黑市，同时又创造了对新股票的强烈的需求。

在18个月内，不少于80家新公司相继成立，而其中有许多家并没有进行运作。

事实上，许多公司一开始就没有打算要运作，因为他们是为投机的目的而建立的。

在一个股票发行的最初几个礼拜里，它的黑市价在其票面价值上上涨一千倍也是很平常的。

另外，一旦一个价格确定以后，它几乎就不会再回降了。

1982年夏季之前，大约有6000个个人和公司在这个市场里进行火暴的交易。

在这样的局势下，股价在几周之内涨一倍时，人们更多地认为是正常的。

在黑市上交易开始以投机气泡为特征，这个事实被全体市场参与者所共有的牟利后的乐观情绪所掩盖。

与规范的工业国家股票市场相比，股票黑市的主要特征为：

1）它是非法的，它们建立从来没有经过政府的批准；

2）大部分股份属于不进行运作的公司；

3）股价与公司的经营情况几乎无关；

4）清算和交易由个别交易者执行，因而彼此规则大不相同；

5）该黑市既不受中央银行监督，也不受政府的监督；

6）只有极少部分的交易者才保留有适当的交易记录；

7）股价几乎一直上升，这就导致了让人无法接受的杠杆水平；

8）超额的利润和过量的意外收获波及经济的其它方面，特别是价值受到很大吹捧的房

地产市场。

9）过期支票成为交易清算的承兑工具，并通常附有60%~200%的保险金，这个保险金的比例依赖于清算期的长短。

简要地说，股票黑市就是一个无政府的股票交易场所，这里证券经常由无执照的，没有受过训练的经纪人以惊人的P/E比率进行交易。

他们常采用粗糙的不合法的交易方式，并且在没有任何规章或任何机构的监督下进行工作。

而这个气泡都早晚要破灭。

这在1982年一个大交易者违约时发生了。

在那时之前，这个黑市已经运行了2年。

随之而来市场崩溃给经济的其它方面也带来了冲击，使得其余资产失去了相当部分黑市消失之前具有的价值。

例如，官方的KSE股价指数下降了53%，而黑市上的证券失去了它们高峰价值的60%~98%。

同样，不动产价值也从黑市崩溃前价值上下降了40%~60%。

另外，政府和中央银行都无法防止这个结果。

更糟糕的是，没有一个机构知道发生当时交易的数量大小，例如交易者的数量，交易的规模，债务平衡，经记人的财务状况等等。

没有人知道谁欠谁多少。

那些直接进行交易的交易者只剩下手写的“IOU”（Ioweyou）的欠条，过期支票，不同公司的股票（包括已破产的公司），一些不动产以及现金余额。

大部分的这样的交易者陷入他们在先前交易中积攒下的“IOU”字条和过期支票的乱网之中。

由于黑市的崩溃直接或间接影响了一大部分人，它引发了一个全国性的均衡危机。

政府成立了一个特别工作队，由财政部长领导来解决这个危机。

这个特别工作队开始重新建立交易的记录，而随之暴露的事实让人感到震惊：

1）这次危机的卷入者不仅包含个体投机者，还包含合法的银行，工业企业和商业公司；

2）总债务累计达940亿美元，大约为国民生产总值的4.3倍；

3）过期支票面值超过320亿科威特元；

4）95%的总帐面债务仅包含18个交易者；

5）在危机发生过程中的前几天宣布破产的企业达350家。

黑市崩溃后的混乱难以解决是有许多原因的。

首先，在崩溃时没有交易者间的交易记录。

即使这些记录可以获得，他们的作用也会因为资产价值的逐日下降（这个下降在不同资产间不成比例）而受到限制。

其次，即使这两个障碍不产生任何影响，由于破产的交易者同时的彼此间的依赖性和Domino效应，也使得一次性解决该危机成为不可能。

为了解释清楚，假设有一个交易者A，在黑市崩溃之日，他的应收款项和现有的资产不够支付他应支付的债务。

他无法确认他对他每欠的一元实际可以偿还多少，这是因为当破产的交易者B可收到的应收帐款可能依赖于C时，A并不知道B能对他欠自己的每一元债务偿还多少。

一个本来有偿付能力交易者可能也就因为他的一个或多个债务人破产或他们资产的市场价值下降了而破产。

特别工作队第一要做的就是要掌握该危机的规模。

他们收集每个交易者资产和负债的财务信息，并估计他们不动产的市场价值。

接下来，它再要派一下特别的分析小组，在本文作者主持下，提出一个合适的方案，来解决股票黑市的崩溃问题。

小组一开始想到采用一个模拟的线性等式系统来产生一组资产负债比率，以便于消除危机。

财政部长认为该建议是中肯的，他也意识到要解决问题就不可避免地要运用运筹学的方法。

他直接地领导小组的工作，并调查了“数学”解的政治含义。

当小组提供了他们提出的线性规划的六种不同的目标函数时，这是相当有用的。

本文提出的数学模型提供了法庭作决策所依赖的基础。

它们同时也提供了政府最后解决方案的基础，该方案包含对债权人如何作出补偿和债务人再偿还债务的计划。

这些模型被证明是有效的，公正的，而且是有力的。

财政部长在最后解决方案的新闻公布会上总结了这一点。

因此本文的目的，就是报告在解决黑市崩溃后产生的破产问题中所运用的数学方法。

特别地，本文还致力于

1）把有清偿能力的交易者从已破产的交易者分辨出来；

2）决定每个交易者的债务清偿比例；

3）依据交易者持有的资产的类型分配债务的清偿比率。

运用模拟线性等式系统并根据资产类型分配债务清偿比率后，本人提出了产生解决黑市问题方案的线性模型。

本文还用了有具体数字的例子来解释该方法。

在文章结尾时，还列出了一些主要的关于数学方案实际运用的文献。

1．问题的定义

股票交易者i∈l被划分为四类：

不会破产的交易者；看起来不会破产的交易者；具有应收款项的肯定会破产的交易者和没有应收款项的肯定会破产的交易者。

可如下归类：

不会破产的交易者：

I1={i∈l|qi>pi}，其中，

qi为交易者i除应收款项外所拥有的全部资产，

pi为交易者i对所有交易者的全部债务。

看起来不会破产的交易者：

I2={i∈l|qi

Ri为交易者i所有的应收款项

Ri=ΣNj=1，jirij

（1）

rij为交易者i对交易者j拥有的应收款项,

N为交易者的总数。

这群交易者被称为看起来不会破产的交易者，可以这样来想象：

对交易者i，即使他总共的现有资产加上应收款项超过他的债务，但是当他的一些债务人违约不足额清偿债务时，他拥有的现有实际资产与能收回的应收款项之和就可能小于他所负的债务。

这时，一个原来有清偿能力的交易者也会变得无力清偿债务。

与这类市场导出的破产相比照，一个交易者可能会因抱着市场会转为对他有利的希望，而通过保证金交易和类似的方法在市场上过度扩张，这种特有的个别违约可的用以下两种类型来描述。

有债权的肯定会破产的交易者：

I3={i∈l|qi0}。

没有债权的肯定会破产的交易者：

I4={i∈l|qi

并假设I3和I4非空。

2．一种线性规划方法

我们提出了一个线性规划的模型来区分在所有的看似破产的交易者中哪些已经由于市场环境的恶化而肯定地要破产。

另外，这个模型同时还能求出债务的清偿比率i，即每个交易者i实际偿还的对市场崩溃倒塌前所欠债务的比率。

这个模型是在一个推广的与每个交易者的债权债务及资产有关的线性等式系统基础上建立起来的。

我们做了两个重要的假设。

第一个是每个破产的交易者对他的债权人一视同仁，将以相同的清偿比率偿还给他们的债务。

如果说法律上规定在将资产分配给债权人之前应先将资产用于清偿某些法律条文规定的事项，那么我们只能将余额纳入模型中来。

第二条假设是所有资产都是同质的，完全可替代的，并有相同的风险。

在问题归结初期首先要做的决策是，哪些交易者应该纳入模型中加以考虑。

注意到很大部分的黑市交易者由小的没破产的交易者构成，在判定哪些交易者破产时，我们先排除那些I1定义的肯定不会破产的交易者和由I4定义的无债权的肯定会破产的交易者。

这样做仅是为了简便，并不影响最终的结果。

既然肯定不会破产的交易者能全部地清偿他们所欠的债务，我们可以将他们排除。

而I4内的交易者被排除是因为他们没有应收帐款可以收回。

I1与I4内交易者对I2和I3内交易者的债务直接在线性模型之外一个单独的算法中计算出来，并用来相应的增加I2与I3内顾客的资产（不是指应收帐款）。

所以，I1内交易者的债务将全额的加进去，而I4内交易者的贡献则依其总现有资产与债务的比率来计算。

这样，问题可简化为从一个较小的不确定是否破产的交易者集合中找出那些不破产的交易者以及估计I2和I3内交易者的债务清偿比率，这些交易者的资产应用于债务清偿。

这些交易者的资产分布为：

ai=qi+ΣNj∈I1rij+ΣNj∈I4λjrij,i∈I2∪I3,

（2）

这里ai为交易者i的包括实际从I1和I4内交易者收到的应收帐款在内的所有资产，λj为肯定破产的交易者j偿还其所有债权人的债务的清偿比率。

然而，作为该方法相应的结果，I2内的某交易者可能是不会破产并能将其归并到集合I1里面。

类似地，I3里的某交易者也可能会归并入I4内。

这样，我们需要重复地计算I1和I4交易者资产的分布若干次，直到剩下的I2与I3内的交易者不能再归并入I1和I4内。

所有交易者之间的一般关系可以表示为：

pi-Σj=1,2,…,i-1,i+1,…,Nrij≤（或≥）ai,i=1,2,……N（3）

由于某些交易者会破产，pi和rij都不会全额清偿。

问题的解应能分辨出这样的一些交易者，他们的债务小于其资产加上他实际能收回的应收帐款。

并且，模型将决定出债务清偿比率，这会使不平衡趋近于平衡。

关系式Dλ=A以矩阵形式代表了公式（3）。

这里，D是债务矩阵。

λ为债务清偿比率组成的向量，A为资产向量。

D可以这样给出：

P1-r12……-r1N

-r21P2……-r2N

-r31-r32……-r3N

D=...

...

...

-rN1-rN2PN（4）

D的主对角线上的元素代表总的交易者债务，第i行的非主对角线的元素为他的应收帐款。

第j列的非主对角线元素则代表他所欠的应付帐款。

破产者的确认和债务清偿比率的计算可通过解下面规划（P）同时完成。

maxi=1NCii（5）

s.t.piλi-ΣNj=1，jirijλjai,i=1,2,……,N（6）

λi1i=1,2,……,N（7）

λi0i=1,2,……,N（8）

其中，Ci为一正数。

目标函数目的在于求λj的正线性组合的最大值。

选择这样的目标函数出自于这样的考虑：

1）如果所有的交易者都全额清偿他们所欠的债务，那债务处理问题就自然小时了。

所以，目标函数目标在于极大化λj的正线性组合。

2）为了减缓这次市场崩溃对经济的总的冲击力，通过极大化λj的值来最小化不能清偿的债务是很慎重的。

既然那些破产者会失去所有的财产，这样就显得更合理了。

3）为了公平，所有的交易者都应公平对待。

另外，对应任意正数Cj的规化的最优解其实与严格小于1的λj对应的行和列的组成的线性方程Dλ=A的解是相同的。

换句话说，就是规划（P）的最优基本可行解与Cj的取值无关，只要Cj保持正值（证明过程见附录）。

这可用含两个交易者的问题来解释：

（图1）2-交易者问题的最优解

这个图表明可行域的形状和最优基本可行解会根据两个交易者或其中一个交易者是否有完全清偿能力而变动。

四种可能的解在图中画出来：

1）两个交易者都不破产，即由两个交易者对应的不等式约束交于e。

在这种情况之下，唯一的极点a对应最优的基本可行解，在该点l1=1，l2=1；

2）两个交易者都破产，这时解用两条虚线的交点b给出，最优解为l1<1，l2<1；

3）交易者1破产，而交易者2不破产，这时点c代表了最优基本可行解，l1<1，l2=1；

4）交易者2破产，而交易者1破产，这时l1=1，l2<1，点d代表最优基本可行解。

该图还画出当两个交易者都不破产时的了目标函数对应的线。

显然无论在前述哪种情形之下，对应的最优可行解并不随Ci的取值而改变。

所以只要目标函数的系数保持取正值，他们不对最优解产生影响。

规划（P）包含有N个变量，N个由（6）给出的不等式约束，N个（7）给出的上界约束和（8）给出的非负约束。

假设Ci=1，我们用IBM的数学规划软件包MPSX370在IBM4341型计算机上求解出了该规划：

1）（6）中第i行的松弛变量xSi的值，它表示交易者最后剩下的资产的价值。

若该值大于0，则表示相应的交易者能偿还债务，不致于破产。

2）交易者在不超过上界的约束下的最大的债务清偿比率li。

不会破产的交易者可以由li=1和xSi>0确认出来。

他们的资产可调整为ai’=ai–xSi这里ai’为他们用于偿债的那部分资产。

求解出新的线性方程Dl=A’以后，结果li将与（P）的最优基本可行解一致。

我们用一个含有四个交易者的例子来解释一下I1到I4内的交易者的构成。

这个例子同时说明如何用方程

（2）来调整I2和I3内的交易者的资产。

调整后的I2和I3内的交易者的资产将用来归结为一个2-交易者的线性规划模型（如图一所描述）

设：

83-42-5-1510

D=-965-40-15Q=3

-74-2345-2085

0005030

交易者1，2，3，4分别属于I3，I2，I1和I4。

他们的所有的债务和等于所有的债权和，正好形成一个闭的系统。

求解这个例子时，能很容易地看出只有交易者3是不会破产的交易者，而交易者4是没有任何债权的肯定会破产的。

所以3=1，4=30/50=0.6。

用公式

（2）对交易者1的资产进行调整a1=24（原有的10+从交易者3收回的应收款项5+从交易者4收回的60%的应收款项1560%），同样交易者2的资产为a2=52。

为了确定l1和l2,我们归结出下面的线性模型。

值得提出的是原来的包含四个交易者的模型会产生相同的结果。

max1+2,

s.t.83142234,

-91+65252,

11,21,

10,20.

该规划的解为1=0.746，2=0.903。

图1中的点b就代表了该最优解。

这两个交易者都会破产，而前面又已知道交易者4也将破产，所以这个例子下只有一个交易者即交易者3不会破产。

破产者的资产加上他们实际收回的应收款项用于还债，交易者1只还74.6%，而交易者2与交易者4分别只还90.3%和60%。

在这个例子里，注意到一开始4个交易者共有128元资产。

到最后，交易者1，2和4均只有0元，而交易者3将拥有全部的128元。

交易者3将先将其欠交易者1和2的债务还清（分别为5元和40元），这时他从原有85元剩下40元。

当LP解决后，他从交易者1那收回55.2元（74元的74.6%），再从交易者2那收回20.8元（23元的90.3%），从交易者4那收回12元（20元的60%）。

这样他最后拥有128元。

这个简单的例子说明了我们是怎样用LP来解决问题的。

这样的方法使大规模问题也简单了一些。

在第四部分，我们提出了一个10个交易者的例子来解释另一些补充的应用问题。

3．按资产类型的清偿比例

到目前为止，讨论已进行到可以将不会破产的交易者从会破产的交易者中确认出来，并确定每个交易者的债务清偿比率。

换句话说，我们已经知道为了将债务危机消除，每一个债务应为他所欠的每一科威特元支付多少钱。

但是，这还保留了一个问题需要解决。

既然每个交易者所有的资产包括许多类型（如股票，债券，现金不动产等）这些资产具有不同的风险，那么应如何组合各些金融工具来支付给每一个债权人么？

正由于资产的价值仅代表现在名义的市场价值，我们认为只有按与债务人资产组合相同的比例来分配他们的资产给他们的债权人才是公平的。

当考虑到某些资产的所有权会在各交易者之间转移，而它的质量和形式都是无法预知时，这个问题就会变得复杂起来。

于是，有必要设计一个系统，通过它，分配交易者的资产（假如有m种），而且使分配给他的债权人资产的构成比例与他的资产构成比率相同。

这样，就能达到公正的要求。

这可以通过解决交易者间关于每种类型的资产k的债务纠纷来完成。

我们对每种类型的资产设计了一个联立的方程来解决所有交易者个之间的纠纷。

假设某交易者的资产ai等于其所有各类资产的价值和。

向量A用矩阵可表示为：

A=A1+A2+……+Am（9）

其中

a1k

a2k

Ak=.

.

ank

aik为交易者i拥有的k类资产的价值量。

将（6）中不等式换为等式，并替换A，得到一个线形等式系统：

D=A1+A2+……+Am

所以

=D-1A1+D-1A2+……+D-1Am（10）

设

k=D-1Ak,（k=1,……,m）（11）

那么

=1+2+……+m（12）

等式（12）说明一个交易者的债务清偿比率等于他所拥有的各种资产的债务清偿比率之和。

而且D-1显然不依赖于各种资产类型k。

所以，只需要求得D的逆阵并将D-1乘上m个资产向量Ak来得到m个k的值。

可把前面所讲的根据资产类型来分配债务清偿包含在一个稍大LP内以直接提供每种资产k的k。

这可通过重新改写约束（6）完成，每个约束将向量k做为变量，向量Ak作为右边值。

应付款项pi和应收款项rij无论资产类型都保持一样。

再另给参数k来表示不破产的交易者用完各种资产的优先级。

这样，可扩展规划P，以求出k=（1k,2k,…,Nk）：

（Pk）maxi=1Ni=1NCikik

s.t.piλik-ΣNj=1，jirijλjkaik,i=1,2,…,N,k=1,2,…,m,

Σk=1mλik1,i=1,2,…,N,

λik0,i=1,2,…,N,k=1,2,…,m.

规划（Pk）含有Nm个变量，N（m+1）个约束和Nm个非负约束，而规划（P）仅含有N变量，N个约束，N个上界限制和N个非负限制，所以规划（Pk）比（P）要大。

求解（Pk）比求解（P）也要复杂。

我们可以有两种选择来求解（Pk）。

即直接求解和依据等式（11）按步求解（P）。

在结果中的k可用来计算实际的交易者的各种资产的债权债务清偿数。

这个方法保证了一个唯一而且公平的资产支付方式和解决所有交易者间债务问题的方法。

4.模型的应用：

一个有具体数字的解释性例子

到目前为止，本文给出了三个模型：

线性规划模型（P），债务清偿分配的线形系统等式（11），以及扩展后的线性规划模型（Pk）。

有两种选择可以应用这些模型。

一是用（P）将不会破产的交易者从破产的交易者中分辨出来，如果所有的交易者都要破产，那么按等式（11）来资产类型非债务清偿比率。

但如果某些交易者不会破产，那我们就要根据一些事先定好的偏好系统按资产类型调整不会破产的交易者的资产价值。

在当前的问题里，资产被分为四类：

现金及KSE资产，不动产从不会破产的交易者那里收回的债权，以及黑市的股票。

政府规定的资产优先级为现金，不动产，债权和黑市公司股票。

调整后的新的资产向量用在等式（11）中计算按资产类型分配的债务清偿比例。

我们也可以一开始就用（Pk）一次性求解。

下面这个包含有10个交易者的数值性例子，就解释了前一种方法。

债务矩阵D和资产向量Q定义如下：

28-2-4-2-1-20-1-2-220

-1220-3-6-2-4-3-5-2-210

-3-40150-10-8-1-2-4-5-260

-2-15-10800-250-10-4-27

D=0-10-12-960-5-6-5-3-2Q=18

-6-12-15-2-7100-20-6-280

-1-4-10-12-2-250-2-3-19

-4-8-20-4-2-10-360-3-32

000000004005

-1-2-3-10-2-1-2-22022

矩阵满足下列条件

1）所有对角线元素为正；

2）所有非对角线元素非正；

3）对每个交易者，债务和严格小于债权之和。

依据四种