高三数学一轮复习第八章立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质夯基提能作业本理.docx
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高三数学一轮复习第八章立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质夯基提能作业本理
2019-2020年高三数学一轮复习第八章立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质夯基提能作业本理
1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则（ ）
A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直
2.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件为（ ）
A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,a⊂α,b⊂β
C.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α
3.已知ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,则下列判断中正确的是（ ）
A.AB⊥PCB.AC⊥平面PBD
C.BC⊥平面PABD.平面PBC⊥平面PDC
4.PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB、PC、PA、AC、BD,则一定互相垂直的平面有（ ）
A.8对B.7对C.6对D.5对
5.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①·≠0;②∠BAC=60°;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.
其中正确的是（ ）
A.①②B.②③C.③④D.①④
6.
如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线是 ;与AP垂直的直线是 .
7.（xx课标全国Ⅱ,14,5分）α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .（填写所有正确命题的编号）
8.
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）
9.如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:
（1）直线PA∥平面DEF;
（2）平面BDE⊥平面ABC.
10.（xx四川,17,12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.
（1）在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;
（2）证明:
平面PAB⊥平面PBD.
B组 提升题组
11.（xx辽宁大连模拟）已知互不重合的直线a,b,互不重合的平面α,β,给出下列四个命题,其中错误的命题是（ ）
A.若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥b
B.若α⊥β,a⊥α,b⊥β,则a⊥b
C.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则a⊥α
D.若α∥β,a∥α,则a∥β
12.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.给出四个结论:
①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面BDF⊥平面BFC;④平面DCF⊥平面BFC.在翻折过程中,可能成立的结论是（ ）
A.①③B.②③C.②④D.③④
13.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,点E是AC的中点,则下列命题中正确的是 （填序号）.
①平面ABC⊥平面ABD;
②平面ABC⊥平面BCD;
③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;
④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.
14.（xx甘肃兰州实战考试）设平面α∩平面β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,现有下面四个条件:
①AC⊥α;②AC与α,β所成的角相等;③AC与BD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.
其中能成为增加条件的是 .（把你认为正确的条件序号都填上）
15.（xx河北石家庄一模）在平面四边形ACBD（图①）中,△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB,设AB=2,∠BAD=30°,∠BAC=45°,将△ABC沿AB折起,构成如图②所示的三棱锥C'-ABD.
（1）当C'D=时,求证:
平面C'AB⊥平面DAB;
（2）当AC'⊥BD时,求三棱锥C'-ABD的高.
答案全解全析
A组 基础题组
1.D 对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.
2.C 对于选项A,若a⊥c,b⊥c,则直线a与b可能异面,可能平行,也可能相交,所以A项错误;对于选项B,若α⊥β,a⊂α,b⊂β,则直线a与b可能异面,可能平行,也可能相交,所以B项错误;对于选项C,若a⊥α,b∥α,则a⊥b,所以C项正确;对于选项D,易知a∥b,所以D项错误,故选C.
3.C 由题意画出几何体的图形,如图.
∵AB∥CD,CD不垂直于PC,∴AB⊥PC不正确;设BD交AC于O,连接PO,易知AC不垂直于PO,所以AC⊥平面PBD不正确;因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,因为BC⊥AB,且PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,C项正确;易知D项不正确,故选C.
4.B 由于PD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,
故平面PAD⊥平面ABCD,
平面PDB⊥平面ABCD,
平面PDC⊥平面ABCD,
平面PDA⊥平面PDC,
平面PAC⊥平面PDB,
平面PAB⊥平面PAD,
平面PBC⊥平面PDC,共7对.
5.B 因为DA,DB,DC两两垂直,所以BD⊥平面DAC,则BD⊥AC,故①错;易知平面ADC与平面ABC不垂直,故④错;因为DA=DB=DC,所以易知△ABC为正三角形,故②③正确,故选B.
6.答案 AB,BC,AC;AB
解析 ∵PC⊥平面ABC,
∴PC垂直于直线AB,BC,AC.
∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,
∴AB⊥平面PAC,
∴AB⊥AP,故与AP垂直的直线是AB.
7.答案 ②③④
解析 由m⊥n,m⊥α,可得n∥α或n在α内,当n∥β时,α与β可能相交,也可能平行,故①错.易知②③④都正确.
8.答案 DM⊥PC（或BM⊥PC）
解析 连接AC,∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,
又AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时,即有PC⊥平面MBD,
又PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
9.证明
（1）因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,
所以直线PA∥平面DEF.
（2）因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4.
又因为DF=5,所以DF2=DE2+EF2,
所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.
又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.
因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC.
又DE⊂平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABC.
10.解析
（1）取棱AD的中点M（M∈平面PAD）,点M即为所求的一个点.理由如下:
连接CM.因为AD∥BC,BC=AD,
所以BC∥AM,且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.
又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
（说明:
取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点）
（2）证明:
由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,
因为AD∥BC,BC=AD,
所以直线AB与CD相交,
所以PA⊥平面ABCD.
从而PA⊥BD.
因为AD∥BC,BC=AD,
所以BC∥MD,且BC=MD.
连接BM,则四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
B组 提升题组
11.D 易知A、B正确;C中,在α内取一点A,过A分别作直线m垂直于α,β的交线,直线n垂直于α,γ的交线,则由线面垂直的性质知m⊥β,n⊥γ,则m⊥a,n⊥a,由线面垂直的判定定理知a⊥α,正确;D中,满足条件的a也可能在β内,故D错,故选D.
12.B 因为BC∥AD,AD与DF相交但不垂直,所以BC与DF不垂直,则①不成立;设点D在平面BCF上的射影为点P,如图,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,又AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使BP⊥CF,所以②成立;当点P落在BF上时,DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BFC,所以③成立;因为点D在平面BFC上的射影不可能落在直线FC上,所以④不成立.选B.
13.答案 ③
解析 由AB=CB,AD=CD,点E为AC的中点,知AC⊥DE,AC⊥BE,又因为DE∩BE=E,所以AC⊥平面BDE,故③正确.由已知条件推不出①②④正确.
14.答案 ①③
解析 要使BD⊥EF,结合EF⊥CD,EF⊥AB,则需EF⊥平面BCD,EF⊥平面ABD,即需平面BCD与平面ABD重合,故要使BD⊥EF,只需AB,CD在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件.
15.解析
（1）证明:
当C'D=时,取AB的中点O,连接C'O,DO.
在Rt△AC'B和Rt△ADB中,AB=2,则C'O=DO=1,
又∵C'D=,
∴C'O2+DO2=C'D2,即C'O⊥OD.
由题可知△ABC'为等腰直角三角形,
∴C'O⊥AB,又AB∩OD=O,AB,OD⊂平面DAB,
∴C'O⊥平面DAB,
∵C'O⊂平面C'AB,
∴平面C'AB⊥平面DAB.
（2）当AC'⊥BD时,
∵AC'⊥BC',BD∩BC'=B,
∴AC'⊥平面BDC',
又∵C'D⊂平面BDC',
∴AC'⊥C'D,∴△AC'D为直角三角形,
易得AD=,BC'=AC'=,BD=1,
由勾股定理可得,
C'D===1.
∴C'D2+BD2=C'B2,
∴△BDC'为直角三角形,
∴S△BDC'=×1×1=.
VA-BDC'=×S△BDC'×AC'=××=,
S△ABD=×1×=.
设三棱锥C'-ABD的高为h,
∵VC'-ABD=VA-BDC',
∴×h×=,
解得h=.
∴三棱锥C'-ABD的高为.
2019-2020年高三数学一轮复习第八章立体几何第四节直线平面平行的判定与性质夯基提能作业本文
1.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,且m,n⊂α,则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）
A.①③B.②③C.①④D.②④
3.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:
①若a∥b,b⊂α,则a∥α;
②若a∥b,a∥α,则b∥α;
③若a∥α,b∥α,则a∥b.
其中真命题的个数是（ ）
A.0B.1C.2D.3
4.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:
①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;
②若m∥l,且m∥α,则l∥α;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;
④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.
其中正确命题的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
5.（xx湖北襄阳模拟）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是（ ）
A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行
6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1cm,过AC作平行于对角线BD1的截面,则截面面积为 cm2.
7.（xx课标全国Ⅲ,19,12分）如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
（1）证明MN∥平面PAB;
（2）求四面体N-BCM的体积.
8.如图所示的几何体ABCDFE中,△ABC,△DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.
（1）求几何体ABCDFE的体积;
（2）证明:
平面ADE∥平面BCF.
B组 提升题组
9.如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
（1）求证:
AP∥平面BEF;
（2）求证:
GH∥平面PAD.
10.（xx河北石家庄检测）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,E为PD的中点,F在AD上,且∠FCD=30°.
（1）求证:
CE∥平面PAB;
（2）若PA=2AB=2,求三棱锥P-ACE的体积.
11.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
（1）证明:
GH∥EF.
（2）若EB=2,求四边形GEFH的面积.
12.如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.
（1）求三棱锥A-PDE的体积;
（2）线段AC上是否存在一点M,使得PA∥平面EDM?
若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
A组 基础题组
1.A 若m,n⊂α,α∥β,则m∥β且n∥β;若m,n⊂α,m∥β且n∥β,则α与β相交或平行,即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.
2.C 对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.
3.A 对于①,若a∥b,b⊂α,则应有a∥α或a⊂α,所以①是假命题;对于②,若a∥b,a∥α,则应有b∥α或b⊂α,因此②是假命题;对于③,若a∥α,b∥α,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面,因此③是假命题.综上,选A.
4.B 对①,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故①正确;对②,直线l还可能在平面α内,故②错误;对③,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故③错误;对④,结合线面平行的性质定理可判断其正确,综上,①④正确,故选B.
5.D 如图,连接C1D,
在△C1DB中,MN∥BD,故C正确;
∵CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴CC1⊥BD,
∴MN与CC1垂直,故A正确;
∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN与AC垂直,故B正确;
∵A1B1与BD异面,MN∥BD,
∴MN与A1B1不可能平行,故D错误,选D.
6.答案
解析 如图所示,截面ACE∥BD1,平面BDD1∩平面ACE=EF,其中F为AC与BD的交点,∴E为DD1的中点,
计算可得AE=CE=cm,AC=cm,
则EF⊥AC,EF=cm,
∴S△ACE=××=（cm2）.
7.解析
（1）证明:
由已知得AM=AD=2,
取BP的中点T,连接AT,TN,
由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,故TNAM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.
（2）因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,
所以N到平面ABCD的距离为PA.
取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.
由AM∥BC得M到BC的距离为,
故S△BCM=×4×=2.
所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=·S△BCM·=.
8.解析
（1）取BC的中点O,ED的中点G,连接AO,OF,FG,AG.
则AO⊥BC,又AO⊂平面ABC,平面BCED⊥平面ABC,
∴AO⊥平面BCED.同理,FG⊥平面BCED.
∵AO=FG=,
∴VABCDFE=×4××2=.
（2）证明:
由
（1）知AO∥FG,AO=FG,
∴四边形AOFG为平行四边形,∴AG∥OF.
又∵DE∥BC,DE∩AG=G,DE⊂平面ADE,AG⊂平面ADE,FO∩BC=O,FO⊂平面BCF,BC⊂平面BCF,
∴平面ADE∥平面BCF.
B组 提升题组
9.证明
（1）连接EC,∵AD∥BC,BC=AD,∴BCAE,
∴四边形ABCE是平行四边形,∴O为AC的中点.
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
又FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,∴AP∥平面BEF.
（2）连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,又FH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,
∴FH∥平面PAD.
∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,又OH⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
10.解析
（1）证明:
∵∠ACD=90°,∠CAD=60°,
∴∠FDC=30°.
又∠FCD=30°,∴∠ACF=60°,
∴AF=CF=DF,即F为AD的中点.
又E为PD的中点,
∴EF∥PA,
∵AP⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
又∠BAC=∠ACF=60°,
∴CF∥AB,同理可得CF∥平面PAB.
又EF∩CF=F,
∴平面CEF∥平面PAB,而CE⊂平面CEF,
∴CE∥平面PAB.
（2）∵EF∥AP,AP⊂平面APC,EF⊄平面APC,
∴EF∥平面APC.
又∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=60°,PA=2AB=2,
∴AC=2AB=2,CD==2.
∴VP-ACE=VE-PAC=VF-PAC=VP-ACF=××S△ACD·PA=×××2×2×2=.
11.解析
（1）证明:
因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,
且平面PBC∩平面GEFH=GH,
所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC,
因此GH∥EF.
（2）连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.
因为PA=PC,O是AC的中点,
所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,
所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK,则GK⊥底面ABCD,
从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
从而KB=DB=OB,即K为OB的中点.
再由PO∥GK得GK=PO,即G是PB的中点,
则GH=BC=4.
由已知可得OB=4,PO===6,
所以GK=3.
故四边形GEFH的面积S=·GK=×3=18.
12.解析
（1）因为PD⊥平面ABCD,
所以PD⊥AD.
又四边形ABCD是矩形,所以AD⊥CD.
因为PD∩CD=D,所以AD⊥平面PCD,
所以AD是三棱锥A-PDE的高.
因为E为PC的中点,且PD=DC=4,
所以S△PDE=S△PDC
=×=4.
又AD=2,
所以VA-PDE=AD·S△PDE
=×2×4=.
（2）存在.取AC的中点M,连接EM,DM,
因为E为PC的中点,所以EM∥PA.
又因为EM⊂平面EDM,PA⊄平面EDM,
所以PA∥平面EDM.
易知AM=AC=.
即在线段AC上存在一点M,使得PA∥平面EDM,AM的长为.
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