学年广东省深圳市高一下学期期中考试 数学理科8.docx

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学年广东省深圳市高一下学期期中考试数学理科8

第二学期期中考试

高一理科数学

本试卷由两部分组成。

第一部分：

高一第一学期基础知识和能力考查，选择题题号为1、4、7、9、11题，共25分，解答题题号为19、22题，共24分；第二部分：

高一第一学期后的基础知识和能力考查，选择题题号为2、3、5、6、8、10、12题，共35分，填空题题号为13、14、15、16题，共20分，解答题题号为17、18、20、21题，共46分。

全卷共计150分，考试时间为120分钟。

一．选择题：

（共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

）

1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝（　　）

A．[－2，－1]B．[－1，2）C．[－1，1]D．[1，2）

答案A　

2.点A（sin2013°，cos2013°）在直角坐标平面上位于（　　）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

答案　C

3.D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（　　）．

A．－＋B．－－C.－D.＋

答案　A

4.函数f（x）＝＋lg（1＋x）的定义域是（　　）．

A．（－∞，－1）B．（1，＋∞）C．（－1,1）∪（1，＋∞）D．（－∞，＋∞）

答案　C

5.若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为（　　）．

A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2

答案　B

6.在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ＝（　　）．

A.B.C.D.

答案　C

7.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（　　）．

A．[0，π）B.∪C.D.∪

答案　B

8.已知函数f（x）＝sin（x＋θ）＋cos（x＋θ）是偶函数，则θ的值为（）．

A．0B.C.D.

答案　B

9.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个三视图相同的是（　　）．

A．①②B．①③C．①④D．②④

答案　D

10.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，（2a＋b）·b＝0，则a与b的夹角为（　　）．

A．30°B．60°C．120°D．150°

答案　C

11.方程x2＋x－1＝0的解可视为函数y＝x＋的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，若x4＋ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点（i＝1,2，…，k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是（　　）．

A．RB．（-1,6）C．（－6,6）D．（－∞，－6）∪（6，＋∞）

答案　D

12.已知cos＋sinα＝，则sin的值是（　　）．

A．－B.C．－D.

答案　C

二、填空题：

（共4小题，每小题5分，共20分。

）

13.若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋=0；

14.设向量a＝（1,2），b＝（2,3），若向量λa＋b与向量c＝（－4，－7）共线，则λ＝___2_____.

15.已知ω>0，，直线和是函数f（x）=sin（ωx+φ）图像的两条相邻的对称轴，则φ=

16.．函数f（x）＝2cos2x＋sin2x的最小值是__　1－______．

三、解答题：

（共6小题，共70分。

）

17.（10分）

（1）化简：

（2）已知f（x）＝，求f的值

解析　

（1）原式＝

＝＝

＝－＝－·＝－1.

（2）∵f（x）＝

＝－cosx·tanx＝－sinx，

∴f＝－sin＝sin

＝sin＝sin＝.

18.（12分）已知向量a＝（cosx，sinx），b＝（－cosx，cosx），c＝（－1,0）．

（1）若x＝，求向量a与c的夹角；

（2）当x∈时，求函数f（x）＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．

解析　

（1）设a与c夹角为θ，当x＝时，a＝，

cosθ＝＝

＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.

（2）f（x）＝2a·b＋1＝2（－cos2x＋sinxcosx）＋1＝2sinxcosx－（2cos2x－1）＝sin2x－cos2x＝sin，

∵x∈，∴2x－∈，

故sin∈，∴当2x－＝，即x＝时，f（x）max＝1.

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

（1）求证：

平面AEC⊥平面PDB；

（2）当PD＝AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

（1）证明　

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，

∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB.

（2）解　设AC∩BD＝O，连接OE.

由

（1）知，AC⊥平面PDB于点O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．

∵点O、E分别为DB、PB的中点，

∴OE∥PD，且OE＝PD.

又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.

在Rt△AOE中，OE＝PD＝AB＝AO，∴∠AEO＝45°.

即AE与平面PDB所成的角为45°.

20.如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．

（1）求sin∠COA；

（2）求cos∠COB.

解析　

（1）根据三角函数定义可知sin∠COA＝.

（2）∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，

又sin∠COA＝，cos∠COA＝，

∴cos∠COB＝cos（∠COA＋60°）

＝cos∠COAcos60°－sin∠COAsin60°

＝·－·＝.

21.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.

（1）求ω和φ的值；

（2）若f＝，求cos的值．

解：

（1）因为f（x）的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又因为f（x）的图像关于直线x＝对称，

所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….

因为－≤φ＜，

所以φ＝－.

（2）由

（1）得ƒ＝sin（2×－）＝，

所以sin＝.

由＜α＜得0＜α－＜，

所以cos＝＝＝.

因此cos＝sinα

＝sin

＝sincos＋cossin

＝×＋×＝.

22.（12分）已知圆M：

x2＋（y－2）2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．

（1）若Q（1,0），求切线QA，QB的方程；

（2）求四边形QAMB面积的最小值；（3）若|AB|＝，求直线MQ的方程．

解　

（1）设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，

则圆心M到切线的距离为1，

∴＝1，∴m＝－或0，

∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.

（2）∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝≥＝.

∴四边形QAMB面积的最小值为.

（3）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，

∴|MP|＝＝.

在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，

即1＝|MQ|，∴|MQ|＝3，∴x2＋（y－2）2＝9.

设Q（x,0），则x2＋22＝9，∴x＝±，∴Q（±，0），

∴MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.

第二学期期中考试

高一理科数学

本试卷由两部分组成。

第一部分：

高一第一学期基础知识和能力考查，选择题题号为1、4、7、9、11题，共25分，解答题题号为19、22题，共24分；第二部分：

高一第一学期后的基础知识和能力考查，选择题题号为2、3、5、6、8、10、12题，共35分，填空题题号为13、14、15、16题，共20分，解答题题号为17、18、20、21题，共46分。

全卷共计150分，考试时间为120分钟。

一．选择题：

（共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）

1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝（　　）

A．[－2，－1]B．[－1，2）C．[－1，1]D．[1，2）

2.点A（sin2013°，cos2013°）在直角坐标平面上位于（　　）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3.D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（　　）．

A．－＋B．－－C.－D.＋

4.函数f（x）＝＋lg（1＋x）的定义域是（　　）．

A．（－∞，－1）B．（1，＋∞）C．（－1,1）∪（1，＋∞）D．（－∞，＋∞）

5.若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为（　　）．

A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2

6.在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ＝（　　）．

A.B.C.D.

7.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（　　）．

A．[0，π）B.∪C.D.∪

8.已知函数f（x）＝sin（x＋θ）＋cos（x＋θ）是偶函数，则θ的值为（　　）．

A．0B.C.D.

9.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个三视图相同的是（　　）．

A．①②B．①③C．①④D．②④

10.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，（2a＋b）·b＝0，则a与b的夹角为（　　）．

A．30°B．60°C．120°D．150°

11.方程x2＋x－1＝0的解可视为函数y＝x＋的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，若x4＋ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点（i＝1,2，…，k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是（　　）．

A．（-1,1）B．（-1,6）C．（－6,6）D．（－∞，－6）∪（6，＋∞）

12.已知cos＋sinα＝，则sin的值是（　　）．

A．－B.C．－D.

二、填空题：

（共4小题，每小题5分，共20分。

）

13.若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则；

14.设向量a＝（1,2），b＝（2,3），若向量λa＋b与向量c＝（－4，－7）共线，则λ＝________.

15.已知ω>0，，直线和是函数f（x）=sin（ωx+φ）图像的两条相邻的对称轴，则φ=

16.．函数f（x）＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．

三、解答题：

（共6小题，共70分。

）

17.（10分）

（1）化简：

（2）已知f（x）＝，求f的值

18.（12分）已知向量a＝（cosx，sinx），b＝（－cosx，cosx），c＝（－1,0）．

（1）若x＝，求向量a与c的夹角；

（2）当x∈时，求函数f（x）＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

（1）求证：

平面AEC⊥平面PDB；

（2）当PD＝AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

20.（12分）如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．

（1）求sin∠COA；

（2）求cos∠COB.

21.（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π