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股指期货定价分析

股指期货定价研究

课题研究人：

边慎

选送单位：

XX申银万国证券研究所XX

内容提要

2007年，我国即将推出股指期货，这是我国推出的首个真正意义上的金融衍生品，把握好期货的定价方法，对于金融期货的平稳发展具有重大意义。

期货合约的定价方法可以分成不同的流派，最简单的是用远期合约的持有成本法来近似作为期货定价，但许多学者都已证明期货定价显著偏离远期定价。

另一种较为普遍的方法是认为期货合约等于未来现货价格的期货值，这种方法从投机者的角度分析期货价格，忽略了套利者在定价中的作用。

本文将这两种方法结合起来，提出一种新的期货定价方法，并对其进行实证研究。

一方面，套利者是期货定价与现货之间保持一个相对稳定的关系；另一方面，期货的每日结算制度，又使其含有未来现货价格的信息，但期货价格反映的不是交割日的现货价格期望值，而是整个期货合约存续期间，每日指数和无风险利率变化的综合反映。

1、引言

金融商品的定价问题历来是学者与投资者普遍关注的问题，股指期货作为2007年中国证券市场的重大创新，即是一种充满活力的配置工具，又蕴含了高风险，把握其定价及运行特征，是用好这一工具的首要前提。

自期货诞生之日起，对其定价方法就存在许多争议，它不像股票代表了实实在在的资产，完全是一种虚拟证券。

本文的第二部分回顾了有关期货定价的各种理论。

通过回顾期货定价理论可以发现，期货价格含有对未来的预期，而远期价格则完全是由套利决定的，造成两者价格差异的主要原因在于每日结算制度。

第三部分从每日结算制度出发，融合持有成本与预期两种方法，建立了一个即含有套利因素、又含有预期因素的期货定价模型。

此外，通过合理的预测，交易者可以进行动态保证金管理。

第四部分采用两种不同的方法对期货定价模型进行实证检验。

首先，如果期货定价与远期定价有显著差别，将会改变套利机会，即期货定价可能无法揭示远期定价所揭示的套利机会，而远期定价也有可能无法揭示期货定价所揭示的套利机会，或者两者揭示不同的套利机会，通过是否存在套利机会的计算，可以从一个侧面反映市场存在哪一种均衡价格。

另外，本文根据期货定价模型建立计量经济模型，使用AR-GARCH模型进行实证检验。

第五部分给出结论。

2、理论综述

远期和期货合约都是规定在将来某一特定的时间和地点交割一定数量标的物的标准化合约。

Fama和French（1987）将远期和期货合约的定价方法分为两类：

一是由Kaldor（1939），Working（1949）和Telser（1958）提出的持有成本假说（theCost-of-Carryhypothesis），认为期货价格和现货价格的差（即持有成本）由三部分组成：

融资利息，仓储费用和便利收益；二是由Houthakker（1968）和Dusak（1973）提出的风险溢价假说（theRiskPremiumhypothesis）,认为期货价格等于现货价格的预期值加上风险溢价。

许多经济学家对持有成本假说进行了检验，Fama和French（1987）对多种标的物的1个月、2个月、3个月和6个月期货合约的实证分析显示，各合约月度基差的标准偏差从1.5%至22.2%，无法完全用便利收益来解释。

Pindyck（1993）用标的资产未来现金流的贴现值代表便利收益（对于指数期货，即

中的q），在无套利假设下检验持有成本价说，发现期货价格偏离其理论定价，且无法用便利收益来解释。

风险溢价假说从投机者的角度分析期货价格，将期货看作与股票一样的风险资产，于是在股票投资中通用的风险-收益法则也可以应用在远期和期货合约上。

但几十年来，对于期货价格是否能够预测未来以及是否包含风险溢价，仍存在分歧。

Keynes（1930）把期货合约看作是标的现货持有者的一种保险，他认为，套期保值者持有净空头，而投机者持有净多头，因此期货的价格低于预期的现货价格，即

，因为套期保值者愿意为保险而付费，投机者则要求风险溢价。

所以，期货价格是对未来现货价格的向下有偏的估计，Keynes称之为贴水（NormalBackwardation）。

Houthakker（1968）将该理论拓展到套期保值者持有净多头，投机者持有净空头的情况，此时期货价格出现升水（NormalContango）。

Richard和Sundaresan（1981）则发现，期货价格究竟是升水或是贴水取决于套期保值者的能力。

除了风险溢价外，很多学者认为投机者能从他的预测能力中获益。

Telser（1958）和Bilson（1981）认为投机者的参与使得期货价格基本等于未来的现货价格（

）。

Houthakker（1957）和Rockwell（1967）的研究表明，尽管相较于小型投机者，大型投机者可以获益于其出色的预测能力，但他们都没有拿到风险溢价。

Telser（1958）则证明由于竞争和自由准入使投机者得不到任何风险溢价，期货价格是未来现货价格的无偏估计。

Fama和French（1987）对21种期货的2个月、6个月、10个月合约的实证研究发现，期货价格对未来现货价格有预测作用，但是无法确定是否存在风险溢价。

Dusak（1973）将期货看作是一般风险资产，并使用CAPM模型来衡量风险溢价，他对1952年至1967年间三种期货合约的双周数据进行了实证分析，无法拒绝风险溢价为0的原假设。

Bodie和Rosansky（1980）同样运用CAPM模型，对1950年至1976年23种期货合约的年收益进行了实证研究，发现存在超额收益，他们认为这表明期货价格存在贴水。

Grauer和Litzenberger（1979）则发现期货价格等于名义债券的与实际利率的比，乘以预期的未来现货价格、通胀溢价、和期货合约风险溢价的和。

尽管远期合约和期货合约的定价可以统一在一个规X的框架之内，但它们的具体定价仍有显著的差别。

Richard和Sundaresan（1981）认为期货实际上是一种交割随机数量标的物的远期。

Coxetal.（1981），Jarrow和Oldfield（1981），以及RichardandSundaresan（1981）显示，只有当利率是一个稳定的时间序列时，期货价格才等于远期价格，如果利率不稳定，并且与标的物价格正（负）相关时，期货价格将会高于（低于）远期价格。

MacKinlay和Ramaswamy（1988）对指数期货所作的研究表明，尽管期货价格与远期价格相差不太大，但这种差别在统计意义上是显著的。

期货的每日结算制度决定了其价格不可能只取决于某日（交易当日或结算日）的标的现货价格。

Turnovsky（1983）认为期货价格是现货现价与未来预期价格的加权平均。

Brenner和Kroner（1995）使用维纳过程将持有成本假设和风险溢价假设统一起来，Amin和Jarrow（1991）在此基础上提出期货价格等于远期价格加上盯市因子（MarkingtoMarketFactor），盯市因子含有标的现货预期价格的信息。

3、保证金管理与期货定价模型

3.1期货定价特征

远期合约（forwardcontract）和期货合约（futurescontract）的主要区别在于，远期合约的盈亏在交割时进行结算，而期货合约的盈亏则每日结算。

图1所示的是期货套利原理，从中可以发现其定价与远期的差别。

尽管期货与远期的定价条件都是无套利机会，但与远期交易相比，期货合约还需要占用保证金，这部分资金占用会摊薄套利利润，原本在远期交易下存在的套利机会，在期货交易时可能会消失。

远期合约套利的原理是，市场价格与理论价格的差决定是否存在套利机会，其差额就是套利利润，获取套利利润的行为使市场价格等于理论价格。

期货套利的原理是，市场价格与理论价格的差，扣除套利期间保证金占用成本后，其差额是套利利润。

图1、期货定价原理

根据期货单利定价公式

，有四个因素会影响套利者的持有成本

，标的指数价格S，挂牌期内红利收益的贴现值，无风险利率r，以及剩余挂牌期限T-t。

表1、股指期货多头保证金占用成本演示

交易日

…

剩余期限（T–t）

…

标的指数S（点）

1500

1400

1450

…

回购利率r

10%

…

红利收益D（点）

0.0

0.5

0.0

…

远期定价

（点）

1510.4

1409.3

1407.2

1406.8

1406.5

1454.8

…

盈亏

（元）

-30330

-630

-120

-90

14490

…

剩余保证金（元）

36249.6

5919.6

5289.6

5169.6

5079.6

19569.6

…

冻结资金

（元）

36249.62

30330

630

120

-14990

…

冻结天数（T–t）

…

潜在收益率r

10%

…

保证金持有成本（元）

251.73

202.2

32.2

5.87

0.42

-49.97

…

表1演示了一X虚拟的25天后到期的虚拟期货合约由于剩余期限T-t、标底指数S、红利收益D、回购利率r这四个因素发生变化对期货交易保证金以及套利机会和套利利润的影响。

表中的前5行均为假设值，合约乘数假定为300，保证金率假定为8%，并且交易者总是将保证金维持在初始的水平。

第6行是使用远期定价公式计算的理论价格。

如果套利者在第一个交易日以1510.4点卖出远期合约，同时以1500点买入标的指数，持有到期交割，年化收益率刚好是10%。

因此对于套利者来说，购买指数进行套利交易或购买1500点的等值国债都能获得10%的收益率，于是1510.4点就是均衡条件下的远期定价。

对于期货套利者，以1500点买入标的指数，同时以1510.4点卖出远期合约，此外还要冻结36249.6元的初始保证金25天，初始保证金的持有成本为251.73。

由于期货的每日结算制度，整个持有期内，还会产生保证金的收付。

表1第7行列出了期货的每日盈亏；第9行为相应的保证金变化，正数表示交易者需要追加保证金并为此支付持有成本，负数表示投资者可以取出盈余保证金并获取再投资收益。

现在考虑最简单的情况，假设整个持有期内，套利者的保证金未低于维持保证金，不产生保证金收付。

那么上述的期货套利者的实际收益为2868.27（

）元，年化收益率为9.18%，低于当日10%的无风险收益率，也就是说套利者投资于回购市场比进行期货套利可以得到更高的利润率，因此1510.4点不是期货合约的均衡定价。

实际上，保证金占用影响了期货合约的理论定价，使其偏离远期理论定价，而各项交易费用则限定了期货或远期套利的价格上下限。

当期货定价低于（高于）远期定价某一幅度时，期货套利区间也将低于（高于）远期套利区间近似幅度，如图2所示，蓝色表示远期定价区间，红色表示相同条件下的期货定价区间。

图2、远期与期货定价差异

3.2期货定价规X模型

期货合约的每日结算制度相当于每日平仓远期合约并开立新的远期合约。

由此，建立期货理论定价的规X模型为：

（1）

其中，

S：

当天的标的指数；

D：

贴现到期初的红利收益；

M：

当天的期货初始保证金；

r：

当天的无风险利率；

：

期货挂牌期内每天除权后的标的指数；

：

期货挂牌期内每天的无风险利率。

（1）式右边的积分项是期货合约每日持有成本之和。

这是由每日结算制度产生的。

期货可以看作一系列的一天期远期合约，即以每日结算价平仓，并开新仓。

而每一X远期合约都可以用持有成本法对其定价，因此，期货持有成本就是这一系列一天起远期合约持有成本之和。

远期合约可以看作是持有期内标的指数与无风险利率不波动的期货合约，即

、

，并且初始保证金为0。

当没有红利收益的时候，

（1）式可以简化为

当有红利收益的时候，积分项中的

是除权后的指数，可以表示成

，

（1）式简化为

可以将

（1）式写成级数形式：

（2）

其中，

：

期货挂牌期内每天除权后的标的指数；

：

期货挂牌期内每天的无风险利率。

从公式

（1）、

（2）可以看到，确定期货定价需要对整个持有期内的标的指数、无风险利率进行预测。

3.3动态管理保证金

产生套利机会的前提是期货价格偏离其理论定价，有两种情况最有可能出现这种持续的偏离，一是当市场处于上涨市，一是当市场处于下跌市。

当市场处于上涨通道时，投资者普遍预期指数将会继续上涨。

股指期货交易手续费低、且有保证金杠杆作用，投资者会更乐于买入股指期货。

当买方力量大于卖方力量的时候，股指期货价格就会上升，并超越远期定价上限，产生正向套利机会。

套利者卖出期货、买入现货套利。

由于市场处于上升期，作为空方的套利者会不断亏损，为了维持套利头寸不变，就必须持续地垫付保证金。

尽管他的现货多头部位是盈利的，但现货部位是账面盈利，期货部位却是实际亏损。

如表1第2个交易日所示。

当市场处于下跌通道时，则容易产生反向套利机会，同样，作为多方的反向套利者也面临着不断垫付保证金的风险，如表1第6个交易日所示。

此外，发放红利收益（表1第4个交易日）、利率变动（表1第3个交易日）、交割日临近都会影响到交易者的保证金管理。

投机者和套期保值者通过预测市场变化，买卖期指，其头寸一般都与期指走势保持一致，套利者逆势而为，保证金管理就显得非常重要。

根据公式

（1）、

（2），除了当天的期货价格与标的指数外，整个持有期内，标的指数、红利收益、无风险利率的变化也非常重要。

实际上，当市场达到均衡时，期货定价已反映了整个持有期内各因素的可能变化之和（公式1左边的积分项），投资者可以据此制定保证金管理策略。

4、实证检验

4.1期货定价改变套利机会

根据公式

（1）和公式

（2），只有当标的指数、无风险利率、红利收益，在整个持有期内保持不变式，期货定价才会等于远期定价，一般情况下，期货定价不等于远期定价，这种差异会改变套利机会。

图3、远期与期货套利机会比较

远期与期货合约一种可能的定价区间如图3所示，黑色曲线表示期货的市场价格。

期货价格围绕期货定价波动，从图3中看到，由于期货定价区间低于远期定价区间，根据期货定价与远期定价会得出不同的套利机会。

当期货价格低于蓝色虚线下限，但高于红色虚线下限时，根据远期定价判断出现套利机会，根据期货定价判断则未出现套利机会。

类似的，当期货价格高于红色虚线上限，但低于蓝色虚线下限时，根据远期定价判断未出现套利机会，根据期货定价判断则出现套利机会。

这就提供了一种对期货定价的检验方法。

对1998年6月19日至12月17日之间的S&P500指数期货进行实证，考察是否存在套利机会。

选取这一时间段主要基于两个原因，一是，该时间段正好可以划分为两个市场阶段：

（1）从6月19日起到9月份期货合约的最后交易日9月17日之间，是一个下跌市，指数下跌了200点；

（2）从9月18日起到12月份期货合约的最后交易日12月17日之间，是一个上升市，指数上上涨了200点回到最初的水平。

图4：

1998年6月19日至12月17日S&P500指数期货远期定价

二是在这两个时间段内，美国91天期国债收益率相对比较稳定，波幅不超过50个基点，而且红利收益差距也不大，经济环境没有发生明显的改变，因此可以直接比较下跌市与上升市的期货价格特征与相应的套利机会。

图5：

1998年6月19日至12月17日国债利率和S&P500红利收益

根据公式

（1），在下跌市中

，所以期货定价将会低于远期定价，即

，类似于图3所示。

用远期定价判断，下跌市容易出现反向套利机会。

S&P500下跌市中的反向套利机会多于上升市，反向套利利润也高于上升市。

下跌市中最高的反向套利利润为3530.32元/X合约，上升市中最高的反向套利利润为1839.26元/X合约。

根据期货定价公式

（2），可以发现下跌市中的反向套利机会和反向套利利润有明显的减少。

表2：

S&P500套利机会比较A

交易日

定价方式

套利机会

最小利润

1/4分位

中位数

3/4分位

最高利润

下跌市反向套利

63天

远期定价

42次

43.45

483.71

789.03

1138.97

3530.32

期货定价

40次↓

27.01↓

391.27↓

650.90↓

1119.19↓

3544.13↑

下跌市正向套利

远期定价

21次

9.09

84.24

215.62

372.73

817.63

期货定价

23次↑

7.66↓

150.96↑

263.67↑

431.06↑

813.98↓

上升市正向套利

64天

远期定价

23次

3.97

70.1

220.66

441.39

1804.04

期货定价

21次↓

4.86↑

80.97↑

192.06↓

486.08↑

1608.17↓

上升市反向套利

远期定价

41次

16.54

343.81

584.50

1194.44

1839.26

期货定价

43次↑

44.94↑

392.59↑

864.80↑

1204.47↑

2078.47↑

类似的，上升市则容易出现正向套利机会。

如表5所示，根据远期定价计算，上升市中的正向套利机会比下跌市多，套利利润比较高。

上升市中最高的正向套利利润为1804.04元/X合约，下跌市中最高的正向套利利润为817元/X合约。

根据期货定价公式

（2），可以发现上升市中的正向套利机会和正向套利利润有明显的减少。

使用远期和期货定价并扣除交易费用之后，得到如表3所示的套利机会。

表3、S&P500套利机会比较B

正向套利

反向套利

定价方式

远期定价

期货定价

远期定价

期货定价

套利空间（点）

3.79

0.54

0.56

7.44

如表3所示，在期货定价下，S&P500的套利机会已经基本消失，说明当时美国的套利者已经考虑到保证金占用对套利成本的影响，并采用期货定价进行套利交易。

4.2期货定价计量模型检验

期货定价公式

（1）、

（2）含有对未来的预测信息，为了进行实证检验，需要重新推导计量经济模型。

观察表1，可以发现，投资者在第一个交易日进行套利的持有成本为，

（3）

第二个交易日，投资者进行套利的持有成本为，

（4）

根据公式

（1），持有成本即

。

所以（3）式和（4）式也可以分别写为

（5）

和

（6）

比较（3）式和（4）式，发现从32.2这一项至最后所有的项都是相同的，这些项表示从第3个交易日到最后交割日，期货价格每日变化所引起的保证金成本之和。

假设在连续的两天，预期没有发生显著的变化，那么第二天持有成本中所有预期的部分都已包含在第一天的期货价格中，无需另作预测，利用公式（3）、（4）、（5）、（6），可以得到

（7）

其中，

CM：

初始保证金持有成本

：

由于期货价格每日结算产生的保证金持有成本

公式（7）中的初始保证金以及每日盈亏持有成本是根据表1的远期定价得出的，还需要对其进行配平，最终可以得到以下计量经济模型

（8）

方程的第一项是远期定价公式，第二项是预期调整项，第三项是持有成本，初始保证金持有成本与预期无关，可以看作费用，未包含在公式内，红利收益在每日收盘指数中直接扣除。

用公式（8）也可以确定期货定价，与公式

（1）、

（2）需要预测不同，公式（8）仅需要用到前一天期货价格、标的指数和无风险利率的历史书据，所有对未来的预测，都已包含在前一天的期货价格中了。

4.3检验结果

选取S&P500指数期货从1982年4月21日至1994年9月16日的数据进行实证研究，构建三个时间序列，每个序列包含3073个数据。

构建方法如表4所示：

表4：

时间序列构建

合约到期日

序列_0

序列_3

序列_6

1982.4.21

1982.6.17

1982.6.18

1982.9.16

1982.9.17

1982.12.16

……

1993.9.17

1993.9.18

1993.12.17

1993.12.18

1994.3.18

1994.3.19

1994.6.17

序列_0由期限小于等于3个月的期货合约构成，当一个合约到期后，随后一个季月到期的合约数据进入时间序列，即三个月滚动期货合约。

序列_3由期限大于等于3个月、小于等于6个月的期货合约构成，当一个期货合约距到期日只剩3个月时，随后第二个季月到期的合约数据进入时间序列。

序列_6由期限大于等于6个月、小于等于9个月的期货合约构成，当一个期货合约距到期日剩6个月时，随后第三个季月到期的合约数据进入时间序列。

序列_0从1982年4月21日至1982年6月17日之间的数据使用1962年6月17日到期的期货合约数据，1982年6月18日至1982年9月16日之间的数据使用1982年9月16日到期的期货合约数据，1982年9月17日至1982年12月16日之间的数据使用1982年12月16日到期的期货合约数据。

序列_3从1982年4月21日至1982年6月17日之间的数据使用1962年9月16日到期的期货合约数据，1982年6月18日至1982年9月16日之间的数据使用1982年12月16日到期的期货合约数据，1982年9月17日至1982年12月16日之间的数据使用1983年3月到期的期货合约数据。

序列_6从1982年4月21日至1982年6月17日之间的数据使用1962年12月16日到期的期货合约数据，1982年6月18日至1982年9月16日之间的数据使用1983年3月到期的期货合约数据，1982年9月17日至1982年12月16日之间的数据使用1982年6月到期的期货合约数据。

依此类推。

序列_0使用3个月期国债利率作为无风险利率，序列_3使用6个月期国债利率作为无风险利率，序列_6使用1年期国债利率作为无风险利率。

对于下述的计量方程进行回归

（9）

以下简记为

（10）

回归方程的DW统计量如下表所示：

表8：

DurbinWartson检验结果

阶

序列_0

序列_3

序列_6

2.3480

2.4453

2.4879

2.0421

1.8752

2.0585

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