北京市丰台区届高三下学期一模数学试题含答案解析.docx
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北京市丰台区届高三下学期一模数学试题含答案解析
北京市丰台区2022届高三下学期一模数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知命题
：
，
，那么
是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．若复数
（a，b为实数）则“
”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
4．已知圆
，则圆心
到直线
的距离等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若数列
满足
，且
，则数列
的前
项和等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在△
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
7．在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（ ）
A．19种B．20种C．30种D．60种
8．已知
是双曲线
的一个焦点，点
在双曲线
的一条渐近线上，
为坐标原点．若
，则△
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
无最小值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．对任意
，若递增数列
中不大于
的项的个数恰为
，且
，则
的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
二、填空题
11．函数
=
的定义域是_________.
12．已知向量
，
．若
，则
______．
13．设函数
的定义域为
，能说明“若函数
在
上的最大值为
，则函数
在
上单调递增“为假命题的一个函数是__________.
14．如图，在棱长为2的正方体
中，
分别是棱
的中点，点
在线段
上运动，给出下列四个结论：
①平面
截正方体
所得的截面图形是五边形；
②直线
到平面
的距离是
；
③存在点
，使得
；
④△
面积的最小值是
．
其中所有正确结论的序号是______．
三、双空题
15．已知抛物线
的焦点为
，则
的坐标为______；设点
在抛物线
上，若以线段
为直径的圆过点
，则
______．
四、解答题
16．已知函数
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使
的解析式唯一确定．
（1）求
的解析式；
（2）设函数
，求
在区间
上的最大值．
条件①：
的最小正周期为
；
条件②：
为奇函数；
条件③：
图象的一条对称轴为
．
注：
如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
17．如图，在直角梯形
中，
，
，
．以直线
为轴，将直角梯形
旋转得到直角梯形
，且
．
（1）求证：
平面
；
（2）在线段
上是否存在点
，使得直线
和平面
所成角的正弦值为
？
若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
18．为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量
为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求
的分布列和数学期望
；
（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的
人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为
．当
为何值时，
最小．（结论不要求证明）
19．已知椭圆
（
）的左、右顶点分别为
，
，且
，离心率为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
是椭圆
上不同于
，
的一点，直线
，
与直线
分别交于点
．若
，求点
横坐标的取值范围．
20．已知函数
．
（1）当
时，求曲线
的斜率为1的切线方程；
（2）若函数
恰有两个不同的零点，求
的取值范围．
21．已知集合
（
且
），
，且
．若对任意
（
），当
时，存在
（
），使得
，则称
是
的
元完美子集．
（1）判断下列集合是否是
的3元完美子集，并说明理由；
①
； ②
．
（2）若
是
的3元完美子集，求
的最小值；
（3）若
是
（
且
）的
元完美子集，求证：
，并指出等号成立的条件．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用并集的定义计算即可.
【详解】
∵集合
，
，
∴
.
故选：
D.
2．B
【解析】
【分析】
由特称命题的否定，直接判断得出答案.
【详解】
解：
已知命题
：
，
，
则
为：
，
.
故选：
B.
3．B
【解析】
【分析】
根据当
且
时，复数
z为纯虚数判断即可.
【详解】
解：
根据复数的概念，当
且
时，复数
z为纯虚数，
反之，当复数
z为纯虚数时，
且
所以“
”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件
故选：
B
4．C
【解析】
【分析】
求出圆心的坐标，即可求得圆心
到直线
的距离.
【详解】
圆
的标准方程为
，圆心为
，故圆心
到直线
的距离为
.
故选：
C.
5．C
【解析】
【分析】
由等比数列定义和通项公式可得
，然后由前n项和公式可得.
【详解】
因为
，且
，所以数列
是以2为公比的等比数列，又
，得
，所以
.
故选：
C
6．A
【解析】
【分析】
先求出
，再借助正弦定理求解即可.
【详解】
由
得
，由正弦定理得
，
，解得
，又
，故
，
.
故选：
A.
7．A
【解析】
【分析】
利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.
【详解】
6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有
种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有
种.
故选：
A
8．C
【解析】
【分析】
由等腰三角形的性质结合渐近线方程得出点
的坐标，再求面积.
【详解】
不妨设
为双曲线
的左焦点，点
在渐近线
上，因为
，
，所以
，
，即△
的面积
.
故选：
C
9．D
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的性质，作出函数函数
与直线
的图象，利用数形结合即得.
【详解】
对于函数
，
可得
，
由
，得
或
，由
，得
，
∴函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
∴函数
在
时有极大值2，在
时有极小值
，
作出函数
与直线
的图象，
由图可知，当
时，函数
有最小值
，当
时，函数
没有最小值.
故选：
D.
10．C
【解析】
【分析】
先由条件得出
，进而结合等差数列前n项和列出不等式，解不等式即可.
【详解】
由递增数列
中不大于
的项的个数恰为
可知
，又
，故
，即
，解得
或
，又
，故
的最小值为10.
故选：
C.
11．
【解析】
【详解】
∵函数
=
∴要使函数有意义，则
∴
∴函数
=
的定义域为
故答案为
12．4
【解析】
【分析】
利用两向量共线的条件即求.
【详解】
∵向量
，
，
，
∴
，解得
.
故答案为：
4.
13．
，
，（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据题意，可以构造在定义域为
上，先减后增的函数，满足最大值为1，即可得答案.
【详解】
根据题意，要求函数
的定义域为
，在
上的最大值为
，但
在
上不是增函数，
可以考虑定义域为
上，先减后增的函数的二次函数，
函数
，
符合，
故答案为：
，
，（答案不唯一）.
14．①③
【解析】
【分析】
作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④.
【详解】
对于①，如图直线
与
、
的延长线分别交于
，连接
分别交
于
，连接
，
则五边形
即为所得的截面图形，故①正确；
对于②，由题可知
，
平面
，
平面
，
∴
平面
，故点
到平面
的距离即为直线
到平面
的距离，
设点
到平面
的距离为h，由正方体
的棱长为2可得，
，
，
∴
，
，
∴由
，可得
，
所以直线
到平面
的距离是
，故②错误；
对于③，如图建立空间直角坐标系，则
，
设
，
∴
，又
，
∴
，
，
假设存在点
，使得
，
∴
，整理得
，
∴
（舍去）或
，
故存在点
，使得
，故③正确；
对于④，由上知
，所以点
在
的射影为
，
∴点
到
的距离为：
，
∴当
时，
，
∴故△
面积的最小值是
，故④错误.
故答案为：
①③.
15．
5
【解析】
【分析】
由题可得
，设
，结合条件可得
，
，进而可得
，即得.
【详解】
∵抛物线
，
∴
，设
，则
，
又以线段
为直径的圆过点
，
∴
，即
，又
，
∴
，解得
，
，
∴
.
故答案为：
；5.
16．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算
，再计算
即可；
（2）先求出
整体的范围，再结合单调性求最大值即可.
（1）
选择条件①②：
由条件①及已知得
，
所以
．
由条件②得
，
所以
，即
．
解得
．
因为
，
所以
，
所以
．
经检验
符合题意．
选择条件①③：
由条件①及已知得
，所以
．
由条件③得
，
解得
．
因为
，
所以
．
所以
．
（2）
由题意得
，
化简得
．
因为
，
所以
，
所以当
，即
时，
的最大值为
．
17．
（1）证明见解析
（2）存在；
【解析】
【分析】
（1）证明出四边形
为平行四边形，进而证明出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
（1）
证明：
由题意得
，
，
所以四边形
为平行四边形．
所以
．
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）
线段
上存在点
，使得直线
和平面
所成角的正弦值为
，理由如下：
由题意得AD，AB，AF两两垂直．
如图，建立空间直角坐标系
．
设
，则
，
，
，
，
，
．
所以
，
，
，
．
设
，则
设平面
的一个法向量为
，
所以
，即
令
，则
，
．
于是
设直线
和平面
所成角为
，
由题意得：
，
整理得：
，
解得
或
．
因为
，
所以
，即
．
所以线段
上存在点
，当
时，直线
和平面
所成角的正弦值为
．
18．
（1）
（2）分布列见解析；期望为
（3）
【解析】
【分析】
（1）用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；
（2）先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；
（3）由方差的意义可得.
（1）
由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为
．
（2）
由题意得，样本中
名毕业生选择“继续学习深造”的频率为
．
用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为
．
随机变量
的所有可能取值为0，1，2，3．
所以
，
，
，
．
所以
的分布列为
0
1
2
3
．
（3）
易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以
．
19．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）直接由条件计算
即可；
（2）设出点
坐标，分别写出直线
，
的方程，表示出
坐标，由
得到不等式，解不等式即可.
（1）
由题意得
解得
，
．
所以椭圆
的方程是
．
（2）
设
（
），
由已知得
，
，
所以直线
，
的方程分别为
，
．
令
，得点
的纵坐标为
，点
的纵坐标为
，
所以
．
因为点
在椭圆
上，所以
，
所以
，即
．
因为
，所以
，即
．
所以
．
整理得
，解得
．
所以点
横坐标的取值范围是
．
20．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）直接求导，由
求出切点，写出切线方程即可；
（2）求导后分类讨论确定函数的单调性，结合零点存在定理确定零点个数即可求出
的取值范围.
（1）
当
时，
，
所以
．
令
，解得
．
因为
，所以切点坐标为
．
故切线方程为
．
（2）
因为
，
所以
令
，解得
．
当
时，由
，得
，
所以
，则
在定义域
上是增函数．
故
至多有一个零点，不合题意，舍去．
当
时，随
变化
和
的变化情况如下表：
0
单调递增
单调递减
故
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
当
时，
取得最大值
．
若
时，
，此时
至多有一个零点；
若
时，
，又
，
由零点存在性定理可得
在区间
和区间
上各有一个零点，
所以函数
恰有两个不同的零点，符合题意．
综上所述，
的取值范围是
．
21．
（1）
不是
的3元完美子集；
是
的3元完美子集；理由见解析
（2）12
（3）证明见解析；等号成立的条件是
且
【解析】
【分析】
（1）根据
元完美子集的定义判断可得结论；
（2）不妨设
．由
，
，
分别由定义可求得
的最小值；
（3）不妨设
，有
．
是
中
个不同的元素，且均属于集合
，此时该集合恰有
个不同的元素，显然矛盾．因此对任意
，都有
，由此可得证.
（1）
解：
（1）①因为
，又
，所以
不是
的3元完美子集．
②因为
，且
，而
，
所以
是
的3元完美子集．
（2）
解：
不妨设
．
若
，则
，
，
，与3元完美子集矛盾；
若
，则
，
，而
，符合题意，此时
．
若
，则
，于是
，
，所以
．
综上，
的最小值是12．
（3）
证明：
不妨设
．
对任意
，都有
，
否则，存在某个
，使得
．
由
，得
．
所以
是
中
个不同的元素，且均属于集合
，
该集合恰有
个不同的元素，显然矛盾．
所以对任意
，都有
．
于是
．
即
．
等号成立的条件是
且
．
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