常微分方程数值解.docx
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常微分方程数值解
数学与计算科学学院
实验报告
实验项目名称常微分方程数值解
所属课程名称微分方程数值解法
实验类型验证
实验日期
班级
学号
姓名
成绩
一、实验概述：
【实验目的】
掌握求解常微分方程的欧拉法，Runge-Kutta方法（二阶的预估校正法，经典的四阶R-K法）
【实验原理】
1，欧拉法的格式如下：
其中n从0开始取值，
为微分方程中的dy/dx的值，而
是我们根据题目设定的初值。
2，预估校正法格式如下：
其中第一个式子为预报格式，第二个式子为校正格式，第三个式子也是给定的初值。
3，经典四阶Runge-Kutta格式，亦即R-K法格式如下：
【实验环境】
MicrosoftVisualC++6.0
二、实验内容：
【实验方案】
用欧拉法，预估校正法,经典的四阶龙格库塔方法求解初值问题
dy/dx=
，初值y（0）=1；将计算结果与精确解为
比较
在区间[0,1]上分别取步长h=0.1;0.05时进行计算。
对三个算法的收敛性进行分析比较，
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
1，部分算法代码：
（1）欧拉算法代码
voidruler（doublex[n+1],doubley[n+1],doubleh）//欧拉法
{
intj;
for（j=0;j{
y[j+1]=y[j]+h*f（x[j],y[j]）;
}
}
（2）预步校正法代码
voidyugu_jz（doublex[n+1],doubley[n+1],doubleh）//预估校正法
{
doubleyy[n+1][2];
intj;
yy[0][1]=y[0];
for（j=0;j{
yy[j+1][0]=yy[j][1]+h*f（x[j],yy[j][1]）;
yy[j+1][1]=yy[j][1]+h/2*（f（x[j],yy[j][1]）+f（x[j],yy[j+1][0]））;//预估校正法的解
y[j+1]=yy[j+1][1];
}
}
（3）Runge_Kutta法代码
voidRunge_Kutta（doublex[n+1],doubley[n+1],doubleh）//Runge_Kutta法
{
doublek1,k2,k3,k4;
inti;
for（i=0;i{
k1=f（x[i],y[i]）;
k2=f（x[i]+h/2,y[i]+h/2*k1）;
k3=f（x[i]+h/2,y[i]+h/2*k2）;
k4=f（x[i]+h,y[i]+h*k3）;
y[i+1]=y[i]+h/6*（k1+2*k2+2*k3+k4）;
}
}
（4）目标函数及解析解
doublef（doublea,doubleb）//目标函数
{
doublefun;
fun=a*exp（-a）-b;
returnfun;
}
voidprecise（doublex[n+1],doubley[n+1]）//精确解
{
intj;
for（j=0;j{
y[j+1]=（pow（x[j+1],2）+2）*exp（-x[j+1]）/2;
}
}
2，结果分析：
根据下面的实验结果，可以得出：
当步长取0.1时，三种算法收敛性的关系为：
欧拉法<预步校正法，略高于欧拉法，Runge_Kutta法的精确度达到
，远远优于欧拉法和预步校正法。
当步长取0.05时，三种算法收敛性的关系不变，但三种方法的精确度均有提高，相对于步长0.1时，Runge_Kutta法收敛速度高于另外两种，可得其误差项阶数高于欧拉法和预步校正法，即结果均与理论相符。
【实验结论】（结果）
当步长为0.1时，结果及误差如下：
当步长为0.05时，结果及误差如下：
【实验小结】（收获体会）
通过本次实验，我熟悉了欧拉法，预步校正法以及Runge_Kutta法的算法思想，还有它们之间的收敛性差异，精确度差异，同时对也提高了自己的上机编程能力，感受到了理论与实践相结合的乐趣。
三、指导教师评语及成绩：
评语
评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强
2.实验方案设计合理
3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）
4实验结论正确.
成绩：
指导教师签名：
批阅日期：
附录1：
源程序
#include
#include
#definen10
voidprecise（doublex[n+1],doubley[n+1]）;//精确解
voidruler（doublex[n+1],doubley[n+1],doubleh）;//欧拉法
voidyugu_jz（doublex[n+1],doubley[n+1],doubleh）;//预估校正法
voidRunge_Kutta（doublex[n+1],doubley[n+1],doubleh）;//Runge_Kutta法
doublef（doublea,doubleb）;//定义函数
voidmain（）
{
printf（"***该程序解决微分方程y`=x*e^（-x）-y的数值解问题***\n"）;
printf（"***区间为[0,1]，步长h=0.1\n\n"）;
doublex[n+1],y[4][n+1];
doubleh;
inti,k;
h=0.1;//步长赋值
//初值赋值
x[0]=0.0;
for（i=0;i<4;i++）
y[i][0]=1;
for（i=1;ix[i]=x[0]+h*i;
precise（x,y[0]）;
ruler（x,y[1],h）;
yugu_jz（x,y[2],h）;
Runge_Kutta（x,y[3],h）;
printf（"x精确解欧拉法的解预估校正法Runge_Kutta\n"）;
for（k=0;k{
printf（"%-3.2lf%-12.8lf%-12.8lf%-12.8lf%-12.8lf\n",x[k],y[0][k],y[1][k],y[2][k],y[3][k]）;
}
printf（"x精确解欧拉法误差预校法误差R_K法误差\n"）;
for（k=0;k{
printf（"%-3.2lf%-12.8lf%e%e%e\n",x[k],y[0][k],fabs（y[1][k]-y[0][k]）,fabs（y[2][k]-y[0][k]）,fabs（y[3][k]-y[0][k]））;
}
}
voidprecise（doublex[n+1],doubley[n+1]）//精确解
{
intj;
for（j=0;j{
y[j+1]=（pow（x[j+1],2）+2）*exp（-x[j+1]）/2;
}
}
voidruler（doublex[n+1],doubley[n+1],doubleh）//欧拉法
{
intj;
for（j=0;j{
y[j+1]=y[j]+h*f（x[j],y[j]）;
}
}
voidyugu_jz（doublex[n+1],doubley[n+1],doubleh）//预估校正法
{
doubleyy[n+1][2];
intj;
yy[0][1]=y[0];
for（j=0;j{
yy[j+1][0]=yy[j][1]+h*f（x[j],yy[j][1]）;
yy[j+1][1]=yy[j][1]+h/2*（f（x[j],yy[j][1]）+f（x[j],yy[j+1][0]））;//预估校正法的解
y[j+1]=yy[j+1][1];
}
}
voidRunge_Kutta（doublex[n+1],doubley[n+1],doubleh）//Runge_Kutta法
{
doublek1,k2,k3,k4;
inti;
for（i=0;i{
k1=f（x[i],y[i]）;
k2=f（x[i]+h/2,y[i]+h/2*k1）;
k3=f（x[i]+h/2,y[i]+h/2*k2）;
k4=f（x[i]+h,y[i]+h*k3）;
y[i+1]=y[i]+h/6*（k1+2*k2+2*k3+k4）;
}
}
doublef（doublea,doubleb）//目标函数
{
doublefun;
fun=a*exp（-a）-b;
returnfun;
}
附录2：
实验报告填写说明
1．实验项目名称：
要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：
目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：
简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：
实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：
这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：
写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：
根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：
本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：
指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
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