六年级奥数之拓展篇.docx
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六年级奥数之拓展篇
第1讲分数数列计算
内容概述
建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．
典型问题
拓展篇
1．计算：
2．计算：
3．计算：
4．计算：
5．计算：
6．计算：
7.计算：
8.计算：
9.计算：
10.计算：
11.计算：
12.计算：
第2讲比例解应用题
内容概述
涉及两个或多个量之闻比例的应用题．熟练掌握比的转化和运算；对条件较多的应用题，学会通过列表的方法逐步分析求解；了解正比例与反比例的概念，掌握行程问题和工程问题中的正反比例关系．
典型问题
拓展篇
1．学校组织体检，收费标准如下：
老师每人3元，女生每人2元，男生每人1元，已知老师和女生的人数比为2:
9，女生和男生的人数比为3:
7，共收体检费945元．那么老师、女生和男生各有多少人？
2．徐福记的巧克力糖每6块包成一小袋，水果糖每15块包成一大袋．现有巧克力糖和水果糖各若干袋，而且巧克力糖比水果糖多30袋．如果巧克力糖的总块数与水果糖的总块数之比为7:
10，那么它们各有多少块？
3．甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比丙多付了680元，请问：
（1）甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？
（2）这台电视机售价多少钱？
4．一把小刀售价3元，如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2:
5；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:
13.小明原来有多少钱？
5．两根粗细相同、材料相同的蜡烛，长度比为29:
26，燃烧50分钟后，长蜡烛与短蜡烛的长度比为11:
9，那么较长的那根还能燃烧多少分钟？
6．某俱乐部男、女会员的人数比是3:
2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:
8:
7，甲组中男、女会员的人数比是3:
1，乙组中男、女会员的人数比是5：
3．求丙组中男、女会员的人数比．
7．某次数学竞赛设一、二、三等奖，已知：
①甲、乙两校获一等奖的人数比为1:
2，但它们一等奖人数占各自获奖总人数的百分数之比为2:
5；
②甲、乙两校获二等奖人数占两校获奖人数总和的25%，其中乙校是甲校的3.5倍；
③甲校三等奖获奖人数占该校获奖人数的80%．
请问：
乙校获三等奖人数占该校获奖人数的百分比是多少？
8．如果单独完成某项工作，甲需24天，乙需36天，丙需48天，现在甲先做，乙后做，最后由丙完成．甲、乙工作的天数比为1：
2，乙、丙工作的天数比为3：
5．问：
完成这项工作一共用了多少天？
9．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同，猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同，猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，求猫、狗和兔的速度之比.
10．星期天早晨，哥哥和弟弟都要到奶奶家去，弟弟先走5分钟，哥哥出发25分钟后追上了弟弟，如果哥哥每分钟多走5米，出发20分钟后就可以追上弟弟．问：
弟弟每分钟走多少米？
11．一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，就可比预定时间提前20分钟赶到；如果先按原速度行驶72千米，再将车速提高三分之一，就可比预定时间提前30分钟赶到，问：
这支解放军部队一共需要行多少千米？
12．一项工作由甲、乙两人合作，恰可在规定时间内完成，如果甲效率提高三分之一，则只需用规定时间的
即可完成；如果乙效率降低四分之一，那么就要推迟75分钟才能完成，请问：
规定时间是多少小时？
第3讲方程解应用题
内容概述
掌握一元一次方程的解法，多元一次方程组的解法，以及具有对称性的多元一次方程的特殊解法．能从已知条件中寻找出等量关系，列出方程或方程组并求解。
典型问题
拓展篇
1．解下列方程：
2．一个分数，分子与分母的和是122.如果分子、分母都减去19，得到的分数约分后是
，那么原来的分数是多少？
3.130克含盐5%的盐水，与若干含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水．请问：
最后配成的盐水有多少克？
4．如图3-2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是以．图3-3中的短除式表明：
这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a的2倍，求这个自然数．
5．给六年级五班的同学分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个．已知第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果，问：
该班一共有多少名学生？
6．解下面的方程组：
7．商店里有大盒、中盒、小盒共27盒筷子，其中大盒中装有18双筷子，中盒中装有12双筷子，小盒中装有8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍，问：
三种包装的筷子各有多少盒？
8．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先出发2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先出发2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问：
甲、乙两人每小时各走多少千米？
9．一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡．如果从右盘中取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡．如果从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，那么需要再给右盘加50克砝码，两边才能平衡．问：
白球、黑球每个各重多少克？
10.奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种．小悦买了一个大号的、三个中号的和两个小号的，共花了360元；冬冬买了两个大号的、一个中号的和一个小号的，共花了270元；阿奇买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了300元．请问：
商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少？
11.如图3-4，墙边放着一块木板，一只猫淘气，爬了上去，使得木板向下滑动了一段距离，现在已知图中的三段长度（单位：
厘米），你能求出这块木板的长度吗？
12.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17.这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？
第4讲浓度问题与经济问题
内容概述
实际生活中与浓度或经济有关的百分数应用题．掌握浓度问题中溶液、溶质、浓度的概念，熟练处理两种溶液混合的问题．掌握经济问题中成本、利润、利润率等概念，熟悉相关问题的计算，体会浓度问题与经济问题的联系和区别．
典型问题
拓展篇
1.一个瓶子内最初装有25克纯酒精，先倒出5克，再加入5克水后摇匀，这时溶液的深度是多少？
接着又倒出5克，加入5克水，此时溶液的深度变为多少？
2．阿奇从冰箱里拿出一瓶100%的汇源纯果汁，一口气喝了五分之一后又放回了冰箱．第二天妈妈拿出来喝了剩下的五分之一，觉得太浓，于是就加水兑满，摇匀之后打算明天再喝，第三天阿奇拿出这瓶果汁，一口气喝得只剩一半了．他担心妈妈说他喝得太多，于是就加了些水把果汁兑满，请问：
这时果汁的浓度是多少？
3．
（1）有浓度为20%的糖水500克，另有浓度为56%的糖水625克，将它们混合之后，糖水的浓度是多少？
（2）将浓度为75%的糖水32克稀释成浓度为30%的糖水，需加入水多少克？
4．有浓度为20%的硫酸溶液450克，要配制成35%的硫酸溶液，需要加入浓度为65%的硫酸溶液多少克？
5．有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为63%，42%，28%，其中甲瓶有11千克．先将甲、乙两瓶中的糖水混和，浓度变为49%；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为35%的糖水．请问：
原来丙瓶有多少千克糖水？
6．甲、乙、丙三瓶糖水各有30克、40克、20克，将这三瓶糖水混合后，浓度变为30%．已知甲瓶的浓度比乙瓶和丙瓶混合溶液的浓度高9%，甲瓶的浓度比乙瓶的浓度高8%．请求出丙瓶糖水的浓度．
7．如果取40克甲种酒精溶液和60克乙种酒精溶液混合，那么浓度为62%；如果取同样质量的甲种酒精和乙种酒精混合，那么浓度为61%．请问：
甲、乙两种酒精溶液的浓度分别是多少？
8．某台空调按30%的利润率定价，换季促销时打8折售出后，获得了100元利润．请问：
（1）这台空调的成本是多少元？
（2）最后的利润率是多少？
9．A、B两种商品，A商品成本占定价的80%，B商品按20%的利润率定价．冬冬的妈妈一次性购买了l件A商品和1件日商品，商店给她打了九折后，还获利36元．现在知道B商品的定价为240元，求A商品的定价．
10．大超市和小超市出售同一种商品，大超市的进价比小超市的进价便宜10%．大超市按30%的利润率定价，小超市按28%的利润率定价，大超市的定价比小超市的定价便宜22元．请问：
（1）大超市这种商品的进价是多少元？
（2）大超市每件商品赚多少元？
小超市每件商品赚多少元？
11．某玩具厂生产某种款式的变形金刚，如果按原定价销售，每个可获利润48元．现在打八八折促销，结果销售量增加了一倍，获得的利润增加了25%．请问：
打折后每个变形金刚的售价是多少元？
12．某家商店购人一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的70%卖出，这样所得的总利润就只有原计划的
．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．问：
这批苹果一共有多少千克？
第5讲立体几何
内容概述
掌握长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式；学会计算由基本立体固形通过切割、拼接而构成的复杂立体固形的体积和表面积；掌握平面固形通过折叠、旋转所得立体图形的相关计算．
典型问题
拓展篇
1．如图5-11，将三个表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）．求这个大正方体的体积．
2．一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求这个长方体的表面积．
3．如图5-12所示，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：
这个立体图形的表面积等于多少？
4．如图5-13所示，将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为4的正方体，得到如图5-14所示的立体图形，这个立体图形的表面积是多少？
如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？
5．一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图5-15所示），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米．请问：
原正方体的体积是多少？
6．图5-16是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？
如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？
7．一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米，已知木板厚1厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？
这个木盒的容积又是多少？
8．有一根长为20厘米，直径为6厘米的圆钢，在它的两端各钻一个4厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图5-17所示）．这个零件的体积为多少立方厘米？
（л取3.14）
9．现有一块长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体木块，把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？
（л取3）
10.张大爷去年用长2米、宽l米的长方形苇席围成了一个容积最大的圆柱体粮囤，今年他改用长3米、宽2米的长方形苇席来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤，请问：
今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？
11.左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6．如果按照图5-18中所示的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？
12.如图5-19一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三池水，请问：
（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？
（2）如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？
（3）如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？
第6讲逻辑推理二
内容概述
体育比赛形式的逻辑推理问题，学会将比赛双方以及胜平负关系的情况田点线图表示，借助表格来统计得分数与得失球数，有时还可利用总得分数来进行分析．需要从整体考虑或从极端情况分析的，具有一定综合性的逻辑推理问题．
典型问题
拓展篇
1．编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：
编号为6的同学赛了几盘？
2．五行（火水木金土）相生相克，其中每一个元素都生一个，克一个，被一个生和被一个克，水克火是我们熟悉的，有一个俗语叫做“兵来将挡，水来土掩”，是说土能克水．另外，水能生木，火能生土．请把五行的相生相克关系画出来．
3．A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C请问：
第五天与A队比赛的是哪支队伍？
4．A、B、C三个篮球队进行比赛，规定每天比赛一场，每场比赛结束后，第二天由胜队与另一队进行比赛，败队则休息一天，如此继续下去，最后结果是A队胜10场，B队胜12场，C队胜14场，则A队共打了几场比赛？
5．甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分，请问：
（1）一共有多少场比赛？
（2）四个人最后得分的总和是多少？
（3）如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁是最后一名，那么乙得了多少分？
6．五支足球队进行循环赛，即每两个队之间都要赛一场，每场比赛胜者得2分，输者得0分，平局两队各得1分．比赛结果各队得分互不相同．已知：
①第一名的队没有平过；②第二名的队没有输过；③第四名的队没有胜过，问：
第一名至第五名各得多少分？
全部比赛共打平过几场？
7．四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各队的总得分恰好是4个连续的自然数，问：
输给第一名的队的总分是多少？
8．甲、乙、丙、丁、戊五个同学的各科考试成绩如图6-2所示，已知：
①每门功课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5；
②五个人的总分互不相同，且从高到低的顺序排列是：
甲、乙、丙、丁、戊；
③丙有四门功课的分数相同．请你把图6-2补充完整．
语文
数学
英语
音乐
美术
总分
田
24
乙
丙
丁
4
戊
3
5
图6-2
9．一次足球赛，有A、B、C、D四个队参加，每两队都赛一场，按规则，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，B队得5分，A队得1分．所有场次共进了9个球，B队进球最多，共进了4个球，C队共失了3个球，D队1个球也未进，A队与C队的比赛比分是2：
3．问：
A队与B队的比赛比分是多少？
10．A、B、C、D四个足球队进行循环比赛．赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如图6-3：
问：
D赛了几场？
D赛的几场的比分各是多少？
11．九个外表完全相同的小球，重量分别是1，2，…，9．为了加以区分，它们都被贴上了数字标签，可是有一天，不知被哪个调皮鬼重新乱贴了一通．我们用天平做了两次称量，得到如下结果：
（1）①②>③④⑤⑥⑦；
（2）③⑧=⑦，请问：
⑨号小球的重量是多少？
12．A、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到五年级数学竞赛获得第一名的那位同学的情况：
A打听到的：
姓李，是女同学，13岁，东城区；
B打听到的：
姓张，是男同学，11岁，海淀区；
C打听到的：
姓陈，是女同学，13岁，东城区；
D打听到的：
姓黄，是男同学，11岁，西城区；
E打听到的：
姓张，是男同学，12岁，东城区．’
实际上第一名同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名的同学应该是哪个区的，今年多少岁呢？
第7讲几何综合一
内容概述
复杂的长度、角度计算；复杂的直线形比例关系；具有一定综合性的直线形计算问题．
典型问题
拓展篇
1．如图7-11，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图7-11中的字母表示相应部分的长度，问：
A、B中阴影部分的周长哪个长？
长多少？
2．如图7-12．ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，∠BFE等于多少度？
3．一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图7-13所示，问：
图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？
4．
在图7-14中大长方形被分为四个小长方形，面积分别为12、24、36、48.请问：
图中阴影部分的面积是多少？
5．三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图7-15，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积．
6．如图7-16，三角形ABC的面积为1．D、E分别为AB、AC的中点．F、G是BC边上的三等分点．请问：
三角形DEF的面积是多少？
三角形DOE的面积是多少？
7．如图7-17，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行，那么EF的长度为多少？
8．如图7-18，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？
9．两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？
10．如图7-19，D是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？
11．如图7-20，在三角形ABC中，AE=ED，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？
12.如图7-21，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？
第8讲数论综合一
内容概述
运用已学过的数论知识，解决综合性较强的各类数论问题；学会利用简单代数式处理数论问题．
典型问题
拓展篇
1．已知
×
是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：
三位数
是多少？
2.11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？
3．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
4．有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：
“这个数能被2整除”，3号接着说：
“这个数能被3整除”……依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号一一作了验证：
只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对．问：
（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？
（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？
5．有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有编号为1至2008的2008个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？
6．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳
米，黄鼠狼每次跳
米，它们每秒钟都只跳一次，在比赛道路上，从起点开始每隔
米设有一个陷阱．请问：
当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
7．一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：
这个偶数是多少？
8．一个合数，其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数．
9．已知a与b是两个正整数，且a>b．请问：
（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？
（2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？
10．已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350.满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？
11．已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两个两位数．
12．如图8-1，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）．小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔，他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B孔，他又试着每隔4个孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6个孔跳一步，正好回到A孔．问：
这个圆圈上共有多少个孔？
第9讲计算综合二
内容概述
综合性较强的计算问题。
典型问题
拓展篇
1．计算：
2．计算：
3．计算：
4．我们规定：
符号“O”表示选择两数中较大数的运算，例如：
3.5O2.9=2.9O3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：
3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：
5．计算：
6．算式
计算结果的小数点后第2004位数字是多少？
7．古埃及人计算圆形面积的方法是：
将直径减去直径的
，然后再平方．由此看来，古埃及人认为圆周率л等于多少？
（结果精确到小数点后两位数字）
8．
（1）将下面这个繁分数化为最简真分数：
（2）若下面的等式成立，x应该等于多少？
9．已知符号“*”表示一种运算，它的含义是：
，已知
，那么：
（1）A等于多少？
（2）计算
10.已知
比较A和B的大小，并计算出它们的差．
11.根据图9-2中5个图形的变化规律，求第99个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数．
12.定义：
（1）求出
的大小；
（2）计算：
第十讲行程问题六
内容概述
灵话应用比例分析的行程问题，需考虑路程、时间、速度三个量之间的各种正反比关系；综合性较强，运动路线或路况复杂的行程问题；需零进行优化设计的行程问题．
典型问题
拓展篇
1．一辆轿车和一辆巴士都从A地到B地，巴士速度是轿车速度的
．巴士要在两地的中点停10分钟，轿车中途不停车，轿车比巴士在A地晚出发11分钟，早7分钟到达B地．如果巴士是10点出发的，那么轿车超过巴士时是10点多少分？
2．客车和货
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